2023年广东省番禺区中考一模数学试题（解析版）

2023年九年级数学学科综合测试题T禺区一模

一、选择题（本大题共10题，共30分）

1.如图，若点A,B,C所对应的数为a,b,c,则下列大小关系正确的是（）

c

IiII

O23

A.a<b<-cB.b<—c<aC.-a<c<bD.Q<—c<—b

【答案】B

【解析】

【分析】从数轴得出ZrVO<cVa，|a|>M|>M，据此判断即可.

【详解】解：由题意可知,b<Q<c<a,且时>网习c|,

b<—c<a,故选项A不合题意；

d>—c>b,故选项B合题意；

—a<b<c,故选项C不合题意；

•**c<—b<a,故选项D符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数.

2.下列计算正确的是（）

A.叵=2B.7（-2）2=-2C.后=±2D.0=2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简，进而判断得出答案.

详解】解：A.后=〃=2,故此选项符合题意；

B.J（—2尸75/4=2,故此选项不合题意；

C.后=4=2,故此选项不合题意；

=

D.V8=-2；故此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键.

3.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解.

【详解】解：如图，

一共有5条对称轴.

故选：D

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样

的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键.

4.要使分式有意义，x的取值应满足（）

x+2

Ax片0B.x—2C.x2—2D.x>—2

【答案】B

【解析】

【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案.

【详解】解：分式有意义，

%+2

x+2w0,

xw—2.

故选：B.

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键.

5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回

并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

1113

A.—B.—C.—D.一

4324

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球

的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

第一次红绿

第二次红绿红绿

•.•共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，

...第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为

4

故选：A.

【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键.

6.若点A（-5,%）,3（1,y2）,C（5,y3）都在反比例函数y=--的图象上，则%,%，%的大小关系是

（）

A%<为<%B.%<%<%C.”<%<%D.为<乂<%

【答案】B

【解析】

【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出乂、%、%的值，即可比较得出答案.

【详解】分别将A、3、C三点坐标代入反比例函数解析式得：

555

%=-石=1、%=-j=-5、y3=--=-1•

贝ijy2<y3<y].

故选B.

【点睛】本题考查比较反比例函数值.掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关

键.

7.若关于x的一元二次方程必+无+忆=0有两个相等的实数根，则实数冽的值为（）

11

A.-4B.——C.-D.4

44

【答案】C

【解析】

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到A=0,建立关于机的方程，解答即可.

【详解】•••一元二次方程必+%+加=0有两个相等的实数根，

A=0,

••I2—4m=0.

解得m=-,故C正确.

4

故选：C.

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实

数根时A>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，A=0；当方程没有实数根时，A<0,正确掌握此三

种情况是正确解题的关键.

8.如图，在边长为6的正方形ABCD中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）

A9B.6C.6+乃D.9-71

【答案】A

【解析】

【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为。，连接BE,OE,证明5石=。石，得到弓形5E的面积

=弓形CE的面积，则S阴影=SABE=SABC—SBCE=g义6x6-gx6x3=9.

【详解】解：设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为。，连接BE,OE,

AD

•..四边形ABC。是正方形,

，ZOCE=45°,

•：OE=OC,

：.NOEC=NOCE=45。,

：.ZEOC=90°,

：.OE垂直平分BC,

BE=CE,

/.弓形BE的面积=弓形CE的面积，

••・S阴影=SABE=S.ABC-SBCE=1X6X6-|X6X3=9.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知

相关知识是解题的关键.

9.如图，在，ABC中，NB4c=120。，将，ABC绕点C逆时针旋转得到，DEC,点A,B的对应点分别

为D,E,连接AO.当点A,D,E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A.ZB=ZBCDB.CB—CDC.DE+DC=BCD.ZBCD+ZADC=90。

【答案】A

【解析】

【分析】由旋转的性质可得/EDC=/B4C=120。，AC=DC,BC=EC,证明"OC是等边三角

形，得至UNACD=60°,进一步证明CD,即可判断A；根据大角对大边即可判定B；根据三角形

三边的关系即可判断C；根据现有条件无法证明N3CD+NADC=90°,即可判断D.

【详解】解：由旋转的性质可得NEDC=4AC=120。，AC=DC,BC=EC,

当A,D,E共线时，则NA。。=60。，

AA0C是等边三角形，

ZACD=60°,

ABAC+ZACD=180°,

ABCD,

：.ZB=ZBCD,故A符合题意；

•/ZBAC=120°,

ABC>CA=CD,故B不符合题意；

,?DE+DC>CE,

：.DE+DC>BC,故C不符合题意；

根据现有条件无法证明NBCD+/4DC=90。，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形三边的关

系，证明是等边三角形是解题的关键.

10.如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB^2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线

84fAe运动到点C,同时动点。从点A出发，以相同速度沿折线ACfCD运动到点。，当一个点停

止运动时，另一点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒.则下列图象能大致反映y与无之

间函数关系的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】由菱形的性质可证AABC和AAOC都是等边三角形，可得AC=AB=2,ZBAC=60°=ZACD,分

两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求

解.

【详解】当0W光W2时，如图1,过点。作A3于点H,

图1

由题意得3P=AQ=x,

菱形ABC。中，N3=60°,A5=2,

.•.AB=3C=CD=AD=2,N3=ND=60。,

AABC和^ADC都是等边三角形，

AC=AB=2,ABAC=ZACD=60°,

sinZBAC=—,

AQ

..〃Q=AQsin60o=¥x,

△APQ的面积y=g(2_x)x

当2<x<4时，如图2,过点。作QNLAC于点M

ArD

图2

由题意得AP=CQ=x_2,

.NQ73

二sinZACD=二——，

CQ2

V3

，NQ=](x-2),

△APQ的面积y=；(x—2)x[(x—2)=¥(x—2)2,

该图象开口向上，对称轴为直线x=2,

，2<x<4时，y随x的增大而增大，

.•.当x=4时，y有最大值为由.

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次

函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

二、填空题(本大题共6题，共18分)

H.若^/^^在实数范围内有意义，则实数》的取值范围是.

【答案】x>6

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：%-6>0,

解得：x>6.

故答案为：x>6

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

12.分解因式：xy2—x—.

【答案】x(y+l)(y-l)

【解析】

【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案.

【详解】孙2—%

=%(/-1)

=x(y+l)(y-l)

故答案为：x(y+i)(y-i).

【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解.

13.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000

0007(毫米2),这个数用科学记数法表示为.

【答案】7xW7

【解析】

【详解】考点：科学记数法一表示较小的数.

分析：科学记数法就是将一个数字表示成(axlO的n次幕的形式)，其中上间<10,n表示整数.即从左

边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幕.本题0.0000007<1时，n为负数.

解：0.0000007=7x10-7.

故答案为7x10-7.

14.在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为

s币=1.45,s)=0.85,则考核成绩更为稳定的运动员是(填“甲”、“乙”中的一个)

【答案】乙

【解析】

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

【详解】解：：s差=1.45,=0.85,0.85<1.45,且平均成绩相同

射击成绩较稳定的运动员是乙，

故答案为：乙.

【点睛】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离

平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平

均数越小，即波动越小，数据越稳定.

15.把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若A5=2,则光盘的

直径是.

【答案】46

【解析】

1800-60°

【分析】如图，OA±AB,OD±BD,由切线长定理可得NOR4=NO3D==60°,则

2

AO=AB-tanAOBA=273-进而可得光盘的直径.

ODLBD,

1QQO_60。

由切线长的性质可得NOBA=ZOBD=---------=60°,

2

•*.AO^AB-tanZOBA=2』，

...光盘的直径为46,

故答案为：4G.

【点睛】本题考查了切线长定理，正切函数的定义.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

<11)

16.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y),我们把点8称为点A的“倒数

Uy)

点”.如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0),顶点E在>轴上，函数y=—(x>0)的图象与OE交于点

X

A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形0cDE的一边上，则△OBC的面积为.

【答案】上1或三3

42

【解析】

【分析】根据题意，点3不可能在坐标轴上，可对点8进行讨论分析：①当点B在边。E上时；②当点B

在边C。上时；分别求出点B的坐标，然后求出△03C的面积即可.

【详解】解：根据题意，

<11、

,点、B称为点A（x,y）的“倒数点”,

（%y）

x片0,"0,

二点8不可能在坐标轴上；

点A在函数y=—（x>0）的图像上，

21x

设点A为（％一）,则点8为（一二），

xx2

;点C为（3,0）,

OC=3,

①当点8在边。E上时；

点A与点B都在边上，

・••点A与点B的纵坐标相同，

2x

即一=—,解得：x-2,

x2

经检验，x=2是原分式方程的解；

..•点3为（；/），

13

△05C的面积为：S=-x3xl=-

22;

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

**•—=3,解得：x=—,

x3

经检验，x是原分式方程的解；

...点B为（3，!）,

6

「.△QBC的面积为：S——x3x—=—；

故答案为：上1或3

42

【点睛】本题考查了反比例函数图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关

键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析.

三、解答题(本大题共9题，共72分)

x+2〉—1

17.解不等式组「“八，并将解集在数轴上表示出来.

%-5<3(%-1)

【答案】^>-1,图见解析

【解析】

【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示即可.

x+2〉-1①

【详解】解:

x-5<3(x-l)(2)

解①得，x>-3；

解②得，%>-1:

.•.不等式组的解集是％2-1；

解集在数轴上表示如下:

-3-2-10123

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集.解题的关键在于正确的运算求解.

18.如图，点E、/在线段8c上，AB//CD,ZA=ZD，BE=CF,证明：AE=DF.

【解析】

【分析】利用44s证明△A8E会△OCF,即可得到结论.

【详解】证明：：A6//CD,

:./B=NC,

VZA=ZD，BE=CF,

AAABE^ADCF(AAS),

/.AE=DF.

【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

19.已知T=♦―92+―-—

a(a+3)~a(a+3)

Cl)化简T；

(2)若正方形的边长为a,且它的面积为9,求T的值.

【答案】(1)—;(2)—.

a3

【解析】

【分析】(1)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；

(2)由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值.

【详解】⑴T=6(a+3)(a+3>工

a(a+3)2a(a+3)2a(a+3)-a

(2)由正方形面积为9,得到a=3,则T=：.

【点睛】此题考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改

造.如图，A8表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角NB4T>=30°,于点。.为方便通行，在

不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15。.

(1)求该斜坡的高度

(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.(假设图中C,A,D三点共线)

【答案】(1)10m(2)20m

【解析】

【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

(2)根据4AD=NC+/A5C,可得加C=15。，根据等腰三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

ZBAD=30°,BD±AD,AB=20m

BD=—AB=10m

2

【小问2详解】

C,A,。三点共线，ZBAD=30°,ZACB=15°

ZABC=ZBAD-ZC=15°

AC=AB=20m

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识

是解题的关键.

21.我区某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下图所示的两幅不完整

的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题；

（1）请补全条形统计图；

（2）获得一等奖的同学中有,来自七年级，有;来自八年级，其他同学均来自九年级.现准备从获得一

等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年

级同学的概率.

【答案】（1）见解析（2）

6

【解析】

【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补

全条形统计图；

（2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所有12种

等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算.

小问1详解】

104-25%=40（人）

一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人）

如图所示

强鬟人故条形统计图

10.....................................................--

【小问2详解】

6.....................r........

4

4H-

2»

0-W««堂达随堂¥匕攀上间

用A表示七年级，3表示八年级，C表示九年级

第二次用

AB2c

第一次

A（四，A）(%A)(C,⑷

Bi（A及）（为印(C,B)

(AB)(ByB)(C,B)

B222

c(AC)（片，C）C)

综上，由12种等可能事件，分别为

（A耳）,（AB.,（AC）,（4,A）,（耳,B2）,（4,C）,（B2,A）,（2,B）,（耳,C）,

；其中有两种情况选出的两人中既有七年级又有九年级同学，故概率是尸=,

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出〃，再从中选出符

合事件4或8的结果数目典然后根据概率公式计算事件/或事件8的概率.也考查了统计图.

22.如图，平面直角坐标系xQy中，CQ4BC的边OC在无轴上，对角线AC,。3交于点函数

y=?x>0）的图象经过点4（3,4）和点M.

（1）求左的值和点M的坐标;

（2）求UQ4BC的周长.

【答案】（1）k=12,M（6,2）；（2）28

【解析】

【分析】（1）将点A（3,4）代入丁=月中求出k的值，作ADLx轴于点D,ME，x轴于点E,证明

x

MEMC112

△MEC^AADC,得到——=——=-,求出ME=2,代入y=—即可求出点M的坐标;

ADCA2x

（2）根据勾股定理求出0A=5,根据点A、M的坐标求出DE,即可得到0C的长度，由此求出答案.

【详解】（1）将点A（3,4）代入y=七中，得k=3x4=12,

x

•••四边形OABC是平行四边形，

；.MA=MC,

作AD±x轴于点D,ME±x轴于点E,

；.ME〃AD,

/.△MEC^AADC,

.MEMC1

"AD~CA~2,

.*.ME=2,

12

将y=2代入y=一中，得x=6,

x

.•.点M的坐标为（6,2）；

(2)VA(3,4),

，OD=3,AD=4,

OA=yJOD-+AD2=5>

VA（3,4）,M（6,2）,

.*.DE=6-3=3,

；.CD=2DE=6,

，OC=3+6=9,

COABC的周长=2（OA+OC）=28.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股

定理，相似三角形的判定及性质.

23.如图，AB是］。的直径，点C在。上，且AC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，交劣弧AC于点。，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，求点。到AC的距离及cosZ4CD的值.

【答案】（1）见解析（2）3,拽

5

【解析】

【分析】（1）如图，作AC的垂直平分线，与圆的交点即为连接即可；

（2）由题意知AB=JBC+AC?=I。，则半径为5,如图1,记。。与AC的交点为£,则OE是ABC

的中位线，OE//BC,OE=-BC=3,即可得点。到AC的距离是3,则OE=OD—OE=2,

2

______CE

CD=逝2+4?=2君,根据cosNACD=而，计算求解即可.

【小问1详解】

解：分别以A、C为圆心，OA的长为半径画弧，连接两弧交点，与圆的交点即为。，则OD即为AC

的垂线，连接CD,下图即为所求；

【小问2详解】

解：由题意知/AC3=90。,

•*-AB=^BC~+AC2=10，

半径为5,

如图1,记OD与AC的交点为E,

•/OD±AC,

...点E是AC中点，

OE是二ABC的中位线，

OE//BC,OE=-BC=3,

2

/.ZAEO=90°,

...点。到AC的距离是3,

DE=OD-OE=2,

CD=］展+加=2后,

CE4_275

cosZACD=-----

CD2y/5~5

.•.点。到AC的距离是3,cosNACD的值为蛀.

5

【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质，余弦函

数.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

24.已知抛物线y=ax?-2ax+c(a,c为常数，awO)经过点C(O,-1),顶点为D

(1)当a=l时，求该抛物线的对称轴，写出顶点。的坐标；

(2)当。>0时，点E(O,l+a),若DE=20DC，求该抛物线的解析式；

(3)当a<—1时，点/(0,1—a),过点C作直线/平行于无轴，M(根0)是x轴上的动点，N(m+3,—1)

是直线/上的动点.试探究当。为何值时，桢+减的最小值为2函，并求此时点N的坐标.

【答案】(1)对称轴直线x=l,。点坐标(1，-2)

1,3,

(2)y=万犬-x-1或y二,厂-3%-1

(3)点”[一：，。],点N[?,-1]

【解析】

【分析】(1)利用对称轴方程即可求解；

(2)由两点间的距离公式求得DE?=12+Q+2a)2,£)c2=l2+(-a)2,再列式计算即可求解；

(3)作〃'关于直线y=-1—a对称点当M",D,N三点共线时，E0+DN取得最小值

2屈,即M'N=2，IU，进而求解即可.

【小问1详解】

解：将点。代入y=ax?一21%+。，得。二一1,

.一2〃

对t称轴x=-----=1,

2a

a=l,则y=%?-2%-1

将x=l代入y=f—2%—1,得y=-2,

.•.点。坐标是(L—2)；

【小问2详解】

解：顶点。的坐标为(L-1-a)

DE2=F+(2+2a)2

DC2=l2+(-a)2

,•*DE=2V2DC

；•DE2=8DC2

l2+(2+2a)2=8[l2+(-a)2]

13

解得q=a或%=5，

i3

抛物线的解析式：y=-x2-x-l^y=-x2-3x-l；

【小问3详解】

解：将府向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到产(1,-1-幻和”(根+1,-2)；此时点〃会与

点。重合，将点。视为定点，作关于直线y=-l-。对称点当上T,DN三点共线时，FM+DN

取得最小值2M，即MW=2710，

M\m+\,-2a)

MW2=22+(-l+2a)2=40

57

解得。=-7，a=-(舍去)

22

5

a=,

2

^DN=kf4N

-1-3

2=-1-5

m+3—1m+3—m—1

解得加=一：7

6

•••点”〔一加，点N[0T]

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

25.（1）如本题图①，A。为的角平分线，NAOC=60。，点E在A3上，AE=AC.求证：

DE平分NADB.

（2）如本题图②，在（1）