上海市松江某中学2022-2023学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

上海市松江二中2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若集合A={1,2,3,4},8={3,4,5},则AcB的子集共有个.

2.若尤>0,y>0,且!+>=2,则上的最大值为.

XX

3.若复数z满足z+4=O,则忖=.

Z

4.已知点A（%，x）,在函数y=/（x）的图像上，若函数“X）在［国,9］上的平均变

化率为右，则直线42的倾斜角为.

5.某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布

N（1OO,/）（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人

数约为总人数的75%,则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.

6.某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价x（单位：元/个）与

每天的销量y（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量y关于销售单价x

的经验回归方程为y=-17彳+相，则771=.

单价X（元/个）

56789

销量y/个10080705030

7.设关于x的实系数方程1一3+3=0的两个虚根为B,则问+阿=.

8.一批产品的二等品率为0.3,从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，用

X表示抽到二等品的件数，则。［X］=.

9.袋中装有编号为1到5的5个球.先从袋中任取一个球，若该球不是1号球，则放回袋

中；若是1号球，则不放回；然后再摸一次.则第二次摸到2号球的概率是.

10.若关于x的不等式|x-4+|x-2|4x的解集为A,且［2,3］口4,则实数。的取值范围

是.

11.设函数/（x）=（3—x）e*—a+5/JeR,若有且仅有两个整数xt{i=1,2）满足I（%）>0,

则实数f的取值范围为.

12.己知厂为抛物线>2=4x的焦点，过尸作斜率为K的直线和抛物线交于A,8两点，延

长AM,3M交抛物线于C,。两点，直线CO的斜率为&.若M（4,0）,则?=.

、单选题

13.若则“x>N”的一个充分不必要条件可以是（

A.IxAlylB.\x\>y

D.2x~y>2

14.已知复数2=%+何（彳,、€11）,且|z-2|=l,则上的取值范围为（

A/3A/3。£

C.[-73,73]D.[-73,0)u(0,73]

15.若的展开式中各项系数之和为1024,则第四项与第五项的系数之比为（

16.中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的

曲线.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“8”形对应着数学曲线中的双

纽线.在平面直角坐标系无。了中，把与定点月（-0,0）、月（”,。）（。>。）距离之积等于/的动

点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线C.关于曲线C,有下列两个命题：

①曲线C上的点的横坐标的取值范围是[-2°,2句；

②若直线>=区与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为（f,-1]u[l,y）.

则（）

A.①为真命题，②为假命题B.①为假命题，②为真命题

C.①为真命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

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三、解答题

f3x+l]

17.已知全集。=R,集合A=B={^lm-\<x<m+3].

⑴若AB=B,求实数机的取值范围；

(2)若ZuBuR，求实数机的取值范围.

18.已知双曲线C:/=1(°>0)的一条渐近线方程为了=?，点尸&0).

a2

⑴若f=3,0为坐标原点，过点P且斜率为1的直线/与双曲线C交于AB两点，求Q4B的

面积；

⑵若点Q(x,y)是双曲线C上任意一点，当且仅当。为双曲线的顶点时，12。1取得最小值，

求实数f的取值范围.

19.“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体

优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；

方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白

球共6个球的盒子中任取3个球(这些小球除颜色不同其余均相同)，抽奖者根据抽到的红

球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：

抽到的红球个数0123

优惠折扣无折扣九折八折七折

(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的

概率；

(2)若李女士在该商场消费金额为x元(x>300),请以李女士实付金额的期望为决策依据,

对李女士选择何种优惠方案提出建议.

20.已知椭圆：「:亍+*=1(0<6<2)的离心率是5，点A是椭圆的上顶点，点P是椭圆

上不与椭圆顶点重合的任意一点.

⑴求椭圆「的方程；

(2)设圆C:Y+y2+8x_26y+7=0.若直线AP与圆C相切，且点P在V轴右方，求点尸的

坐标；

⑶若点M是椭圆r上不与椭圆顶点重合且异于点p的任意一点，点/关于x轴的对称点是

点N,直线“尸、NP分别交X轴与点E(〃?,o)、点/5,0),探究力〃是否为定值，若为定

值，求出该定值，若不为定值，说明理由.

21.设尸是直角坐标平面xOy上的一点，曲线「是函数>=/(尤)的图象.若过点P恰能作曲

线T的七条切线。©N),则称尸是函数y=/(x)的“七度点”.

(1)判断点00,0)是否为函数>=lnx的1度点，并说明理由；

(2)若点尸(0,<2)(67>0)是y=sinx,xe(0,it)的0度点，求。的最小值;

⑶求函数、=/-了的全体2度点构成的集合.

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参考答案：

1.4

【分析】首先求交集，再根据公式求子集个数.

【详解】由题意可知，A8={3,4},所以子集共有22=4个.

故答案为：4

2.1

【分析】根据基本不等式，即可求解.

【详解】2」+yN2£=2卫,所以、口41,当且仅当，=y=l时，等号成立,

XVX\XVXx

所以上的最大值为1.

X

故答案为：1

3.肥

【分析】设Z="+Ai,Q,0£R,依题意可得Z2+2=0,根据复数代数形式的乘法运算及复

数相等的充要条件得到方程，即可求出〃、b的值，从而求出其模.

2

【详解】设2=〃+历，a,beR,由z+—=。，所以Z2+2=0,

z

即(a+Z?i)+2=0,所以"—"+2々历+2=o,

所以仿鼠2_=。=—2，所以［{八2=0±疗则谓.---------

故答案为：及

71

4.-/60°

3

【分析】利用斜率的定义直接求解.

【详解】函数在国引上的平均变化率就是直线A3的斜率如，所以

设直线A3的倾斜角为。，则。«0,同，贝han8=6,所以e=g.

故直线AB的倾斜角为3.

n

故答案为：—

【点睛】函数f(同在区间［%p%2］上的平均变化率第=的几何意义是曲线

答案第1页，共13页

〃元）上两点（4））,（孙/（%））所在直线的斜率.

5.75

【分析】根据正态分布的对称性可求得尸（X2120）=0.125,即可求得答案.

【详解】由题意可知XN（100,（r2）>且尸（80<X<120）=0.75,

则尸（X>120）=J；，，=0.125,

故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为600*0.125=75,

故答案为：75

6.185

【分析】根据经验回归方程必过样本点中心（另亨），代入数值后，即可求解.

5+6+7+8+9_100+80+70+50+30”

【详解】由题意可得了==7,y=----------------------------=66,

5

贝U机=66—(—17)x7=185.

故答案为：185

7.2A/3

【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.

【详解】由题可知，邓=3,

设c=a+bi,{3=a-bi,a,

贝ijap=3=>/+/=3,

则同+期=2do2=2若.

故答案为：26

8.0.84

【分析】利用二项分布的方差公式计算即得.

【详解】依题意，X（4,0.3）,所以。[X]=4x0.3x0.7=0.84.

故答案为：0.84

9.—/0.21

100

【分析】利用条件概率与全概率公式计算即可.

【详解】设事件A为第一次取到1号球，N为第一次未取到1号球，事件8表示第二次取

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到2号球,

则尸⑷]，尸⑷=]，尸（M[，尸（B|Z）<

所以P（3）=P（4A）P（A）+P（3M）P（Z）=?5+14=亮.

21

故答案为：历丘

10.[1,4]

【分析】根据当。<2和。>2时，由x的取值分类讨论去掉绝对值解不等式，利用[2,3]=A

得。的取值范围.

【详解】（1）当aW2时：①若时，原不等式可化为a-x+2-xVx,即xN一,

又[2,3]=A,所以_W2na44,所以。（2；

②若时，原不等式可化为无一1+2—九BPx>2-tz,

又[2,3]qA,所以2—aV2=，N0,所以04。<2；

③若%>2时，原不等式可化为x-a+x-24x,即+

又[2,3]14,所以2+々之30心1,所以

综上：1WaW2；

（2）当a>2时：①若工42时，原不等式可化为。一%+2—九<x,BPx>~~~，

又[2,3]=A,所以_W2=aV4,所以2<aW4；

②若2V尤Wa时，原不等式可化为a—%+%—2W%,即犬2a—2,

又[2,3]qA,所以1一2<2=。<4,所以2<a<4；

③若时，原不等式可化为九一a+九一2<%，即xWa+2,

又[2,3]qA,所以2+々23=>々21,所以a>2；

综上：2<a«4；

由（1）（2）可得a4l,4],

故答案为：口,4].

【分析】设g（%）=（3T）e',心）=£（%-5）,利用导数求出g（x）的单调区间，即可求出其最

大值，依题意有且仅有两个整数七1=1，2）满足ga）>/i&）,即可得到g⑴-3）>0且

答案第3页，共13页

g(0)-MO)VO,从而求出参数的取值范围.

【详解】设g(x)=(3-x)e*,/!(%)=f(x-5),贝I]g'(x)=e'(2-x),

:.xe(-8,2),g,(x)>0,g(x)在(TO,2)上单调递增,

xe(2,+co),g'(x)<0,g(无)在(2,+8)上单调递减，

；.x=2时函数g(x)取极大值即最大值晨耳侬=8出=©2,

直线始)=f(x-5)恒过定点(5,0)且斜率为/,

要使有且仅有两个整数%(i=1,2)满足/(%)>0,

即有且仅有两个整数%(i=1,2)满足g(%)>//(%),

;.g⑴-/z(l)=2eT(l-5)>0且g(O)-MO)=3-(O-5)VO,

解得一即fe(-*一］.

2J】/

故答案为：］一_!'-(■

12.4

【分析】设A(&yJ,巩.％)，设过点F作斜率为匕的直线方程为：y=kl(x-i),与抛

44

物线联立，由韦达定理可得％%=-4,设C(x),%)，则%=777,%丁，

设AC,8£>所在直线方程可得X%=T6,y2y4=-16,由此可得的值.

【详解】设过点尸作斜率为左的直线方程为：y=K(x-i),

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y=4x4._

联立方程.，,消去X可得：工2-1〉-4=0,

设A（W，yJ,3（孙力），，%%=T，

设C（毛,%），。（尤4，乂），

k=Mf=」_4

则；『一十%，同理&=

设AC所在的直线方程为y=m（x-4）,

联立方程"=丁黄）’消去”得：/f-16姓。,

，%%=-16,同理可得必乂=一16,

—16—16

------1------

贝1尺_%+%=X%=W.=4

故答案为：4.

【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到

根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，

可直接使用公式H3|=X/+X2+P，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

13.D

【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.

【详解】由IxAlyl得推不出来x>y,

由|x|>y得了>y或x<—y,推不出来x>y,排除A,B；

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YY—v

由->1可得---->0,解得％>y>0或x<y<o,

yy

v

所以->1是x>y的既不充分也不必要条件，排除c；

y

由2A，>2nx>y,反之不成立，D正确，

故选：D.

14.A

【分析】先根据复数摸到运算得(尤-2『+y2=i,然后根据直线和圆的位置关系，利用判别

式法求解范围即可.

【详解】因为|Z-2『=(X-2)2+9=I,所以(X-2)2+V=I,就是以(2,0)为圆心以1为半径

的圆，

设上=3即、=依，联立](*-2)+旷=1,化为(1+左2卜2_4*+3=0,

x[y=履

因为直线>=近与圆有公共点，所以公=16-12(1+42)之。，解得一也夕

33

所以2的取值范围是一坐,g.

x|_33

故选：A

15.D

【分析】先令x=l,根据各项系数之和解得”=10,再求对应项系数计算比值即可.

【详解】的各项系数和：令x=l,贝|(-2)"=1024,

20-—r

所以〃=10,所以=弓(一3广/2,第四项的

系数：令r=3,得O

第五项的系数：令r=4,得C/(-3)4,

故选：D.

16.B

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【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为丫4+(2/+2/b2+/一2/》2=0,由关于y的

方程有解，求x的取值范围判断命题①；先判断得直线、=履与曲线C必有一个公共点，再

将V=近代入曲线C得到无非零解方程，求实数k的取值范围判断命题②.

【详解】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为：

J(x+a)、+y-,J(x-q)2+y-=»

2422

化简得/+(2尤2+2a2)y+x-2ax=0,

设y?=f,贝h20

222

方程化为t+(2尤2+2/)f+尤4-2ax=0

设上述方程的两个根为44，则。出至少有一个大于等于0

贝U需有A=(2元之+2a2丫-4(x4-2a2x2)=4a4+16a2x2>0

由/]+弓=-(2x~+2a~)<0,

%4=—-2a2x2<0,解得—s/2a<x<-J2a，

二①为假命题；

对于②：直线>=近与曲线C一定有公共点(0,0),若直线、=履与曲线C只有一个交点，

222

将V=近代入曲线C方程中得[(1+k)X+2八2一2/].尤2=0,方程无非零解，

即(1+k2yx2+2a2k2-2a2=0无实数解，故有2a平-2a22

所以/-120,解得心-1或Q1,故②为真命题.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，

横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断.

17.⑴—

(2)(-00-2)u(-1,+co)

【分析】(1)求出A,根据A3=3对3是否为空集分情况讨论即可；

(2)求出彳，分423=11和,口8彳1t两种情况求解即可.

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【详解】（1）由3三Y+上1<2,得尤工+3<。，故4=（-3,1）,

x-1x-1

因为AB=B,所以

①当5=0时，2加一1之机+3,解得加24；

m<4［m<4

②当3w0时，有<m+3<l=^><m<-2,无解；

2m-1>-3m>-\

所以实数机的取值范围为巴+8）；

（2）由题意，4=（—――3］口［1,+。），ZuBwR，

m+3>1fm>—2

右=R，=>s=>-2<m<-1

2m—1<—3[m<-l

因为Zu5wR，所以实数机的取值范围为（一°°,一2）.i（-L+oo）.

18.（1）2。

【分析】（1）根据渐近线方程得到。=2,求出双曲线方程，写出直线A3的方程，联立双曲

线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案;

（2）由>2=一一1>0,得至lJxV—2或x»2,表达出|尸0『=二一-2tx+t2-l,根据对称轴为

44

%=子4/得到不等式，求出实数，的取值范围.

11X2

【详解】（1）由题意得：上=;,所以。=2,所以双曲线。的标准方程为土-丁=1,

a24

直线AB的方程为y=x-3,设A(%,%),3(%,%),

y=x-3

联立方程组1炉2，消去)整理得3d一24X+40=0,

---y=1

[4'

A=242-4X3X40=96>0

则%+入2=8

40

玉%2=可

所以SAOB~5-I%]—x2|=—xJ(X]+X2)_4%]%2=2瓜，

答案第8页，共13页

所以Q4B的面积为2而

(2)因为——y2=l,所以,2=——1>0,所以尤(一2或x22,

4'4

所以|尸0|2=。_02+2=&_02+±_]=江_2枕+〃_],

"44

对称轴为兀=4三t，

4t55

由题意，—24—<2,—<t<—,

522

所以实数,的取值范围为-|,|

99

19.(1)——

200

（2）答案见解析

【分析】（1）先求事件抽奖的顾客获得八折优惠的概率，再根据独立重复试验的概率公式求

两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；

（2）在x>300条件下，分别求两种方案下李女士实付金额的期望，由此提出建议.

C2C19

【详解】（1）设事件4抽奖的顾客获得八折优惠，则尸（A）=、T^=面；

由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为4，

设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P,

QQQQ

贝!|P=C；—x（l——）=——；

22020200

99

所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为—.

（2）方案一：设实付金额3贝情=x-60,（x>300）.

方案二：设实付金额3则曷的可能取值有：x,0.9x,0.8x,0.7无；（x>300）.

答案第9页，共13页

c°ic]c29

P(^2=x)=-|-=；P&=0.9x)=^；

205c20

9C31

p^=m=—--尸&=0.7x)T=一；

22Cg20,

所以E⑻」x+2x2x+2x§x+_LxL=晅x

w20201020102010100

QC

①若冗一60<----x,解得300Vx<400,选择方案一;

100

②若

x-60=-^-x,解得x=400,选择方案一或方案二均可；

100

QC

③若不一60>----x,解得x>400,选择方案二

100

所以当消费金额大于300且小于400时，选择方案一;

当消费金额等于400时，选择方案一或方案二均可;

当消费金额大于400时，选择方案二.

20.⑴二+汇=1

43

J83G

⑵不一

5)

(3)%"为定值，4

【分析】(1)根据椭圆离心率的定义可得结果;

(2)设直线AP的方程为>=丘+百，由直线与圆相切求出左，联立直线与椭圆方程解方程

组得交点坐标可得结果;

(3)设),尸(肛力)，由三点共线，得由N,P,P

%一M

三点共线，得〃=包户耳,计算W可得结果.

【详解】(1)因为椭圆「工+}=1(0<b<2)的离心率是e=-=""='，解得占2=3,

4b2all

22

故椭圆方程为：—+^=1.

43

(2)@|C:x2+/+8x-2x/3y+7=0,即(x+4『+(y—百了=12,

故圆心C(-4,Jj),半径R=2jLA(0,石)，

答案第10页，共13页

设直线AP的方程为y=履+石，即左x-y+6=0，

II

直线与圆相切，则而_4k浮2f-®解得—5

因为点尸在，轴右方，所以上=-JL

O8Q35

由＜43,解得X,或x=0（舍），故尸-

DI。5

[y=—y/3x+y[3

（3）设加（看,黄,•不一苗卜尸（莅,%），

且《一殍,亨+*—4%2

3

因三点共线，则府=勿0尸，即（〃?一玉,-%）=4（当一毛,%-%），

解得加

因N,”三点共线，同理可得”

XX%力+赴“一一才Y小-

m.n=^-^x；£4—=4'

%一切-K-y.

所以小•"为定值,该定值为4.

【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是根据三点共线,得加一「，由

M尸,尸三点共线，得及=看，计算…可得结果.

21.（1）是，理由见解析

⑵无

答案第11页，共13页

⑶{(a,b)|6=-a或6

【分析】(1)转化为根据切线方程，只能求解一个切点，即可说明；

(2)首先根据切线过点P(0,a)(a>0),转化为方程a-sinf=Tcosf有解，再构造函数

G(f)=sinf-rcosr-a,再利用导数判断函数的单调性，并通过讨论，结合零点存在性定理

即可求解；

⑶利用导数的几何意义转化为-I-)=(3产恰有两个不同的实数解，再构造

函数/?⑺=2/一3a产+(a+b),转化为函数有2个不同零点，再利用导数判断函数的零点个

数求参数的取值集合.

【详解】(1)设r>0,则曲线y=lnx在点(Gn