天津市九校2024届高三年级下册4月联合模拟考试（一）数学试卷(含答案)

天津市九校2024届高三下学期4月联合模拟考试（一）数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知全集。={-1,0423},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},则@A)B=()

A.{-1}B.{0,l}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.设"：x>0,q：2-v>2,则2是］的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

V+3r

3.函数/（x）=的图象大致是（）

x

255

A.25B.5C.—D.-

93

5.设a=log。10.2,b—e°3,c—203,则a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问

120名高中生是否喜好阅读，利用2x2列联表，由计算可得/=4.236.

P（方>左）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

参照附表，可得正确的结论是（）

A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关

B.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关，

C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关，

D.有99%把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

7.如图，在正四棱柱A3CD-430。中，P是侧棱CC1上一点，且GP=2PC.设三棱

锥P-的体积为K，正四棱柱ABCD-A4G2的体积为％则/的值为()

22

8.已知双曲线去=1(。〉0力〉0)的左顶点与抛物线丁=2px(p>o)的焦点的距离

为4,过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(-2,2),

则双曲线的焦距为()

A.由B.26C.V50.275

9.将函数/(x)=2sin，x-m］的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数g(x)的图像，有下述四个结论：

①g(x)=2sin^x-^

②函数g⑴在上单调递增

③点［日,0)是函数g(x)图像的一个对称中心

④当xe-匹］时，函数g(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

二、填空题

10.^z=—+2i,则|2|=.

1+i

11.已知卜3+蛾］的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为.

12.圆12+/一4》+4〉—12=0与圆％2+)；2=4的公共弦所在的直线方程为.

IY?+V<Cf)

13.函数〃x)=।卜~，关于x的方程“尤)=◎有2个不相等的实数根，则

ln(x+l),x>0

实数a的取值范围是.

三、双空题

14.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的

3件产品中恰好有一件次品的概率为;取出的3件产品中次品的件数x的期望是

15.在梯形ABC。中，AB//CD,且AB=2CD,M,N分别为线段。C和A3的中点，

若AB=a,AD^b,用a,b表示MN=.若MN工BC,则NDAB余弦值

的最小值为.

四、解答题

16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Z?=3,c=l,A=2B.

(1)求a的值；

(2)求cos(2A+g］的值.

17.如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABC。所在的平

面，BC=272，/为BC的中点•

(2)求平面以M与平面ABC。的夹角的大小；

(3)求点。到平面AMP的距离.

18.已知｛4｝为等差数列，6:重数’记s.，】分别为数列｛叫，低｝的前

2。”,〃为偶数.

“项和，邑=32,7；=16.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）证明：当〃>5时，Tn>Sn.

X221

19.已知椭圆C：与+v4=1（。>5>0）的长轴长为4,离心率为上.

a~b22

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左焦点为F右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与

椭圆交于点且轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若

SASMG=6S垓HN，求直线MN的方程•

20.已知函数e*.

（1）当。=1时，讨论“龙）的单调性；

（2）当％>0时，求a的取值范围；

/1.+./1+…+,/]—+

（3）设“eN*,证明：<+1A/22+2sjn2+n

参考答案

1.答案：A

解析：丹4={-1,3},贝乂外力B={-1}.

故选：A.

2.答案：B

解析：因函数y=2*在R上单调递增，即有2，>2<=>%>1,则命题q：x>l,

而命题p：x>0,显然，qnp,且q,

所以p是q的必要不充分条件.

故选：B.

3.答案：D

-

解析：因为〃x)=Tv+3—r,所以/(—)=/3T+-V=-—3'+VL=—/(x).

%(-x)X

所以函数/(X)是奇函数，排除选项A,C.

八3?+3-241々八34+3-481+3-4656241,小、年必、生吊

因m/(2)=—=宏，/(4)=—^=——=——>—=/(2),所以排除选项

2JO4646436

B.

故选:D.

4.答案：C

14，(2"Yc225

解析：因为2"=5,Z?=log3=-log3,即2"=3，所以45==

8324(2，")39

故选：C.

5.答案：C

0303

解析：b=e>2-c>\,0<a=log0；0.2<log0；0.1=1,b>c>a.

故选：C.

6.答案：A

解析：由题意及表格知，观测值/=4.236〉3.841,所以有95%的把握认为“写作水平

与喜好阅读有关”.

故选：A.

7.答案：C

解析：在正四棱柱A3CD-AUG。中，P是侧棱CG上一点，

则K=VP-DlDB=VB_DQP=|SADiDPBC=^-DDt.CDBC=^V,

所以匕的值为L

V6

故选：C.

8.答案：D

解析：因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标

(-2,2),所以抛物线的准线方程为x=-2,从而抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为

(2,0),

22

因为双曲线方=1(。〉0力〉0)的左顶点为(一。，0)，所以2+a=4,解得。=2,

22

所以双曲线点-方=1(。〉0力〉0)的左顶点为(2,0),

又因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(-2,2),

所以h2即1匕=1,

a42

所以C=Jr?+/=逐,

双曲线的焦距为2c=26,

故选：D.

9.答案：B

解析：由题意可得：g(x)=2sin［x-"，故①错误；

因x{o,£|,则》一方"一方词］,且尸sinx在1-：个1上单调递增,

所以函数g(x)在I。?］上单调递增，故②正确；

因为=2sin^^--^=2sin7t=0,

所以点是函数g(x)图像的一个对称中心，故③正确；

因为兀,巴］,贝Ux—巴竺,巴］,

_2」3L36_

所以当x-1=-9,即x=-7i时，函数8(月的最大值为8(-兀)=251111-.］=君，故

④错误；

故选：B.

10.答案：1

解析：由复数的运算法则有：z=—+2i=^4^4+2i=—+2i=i,

1+i(l+i)(l-i)2

则：目=|i|=l.

11.答案：80

解析：由题意，令x=l,则3"=243,解得〃=5,

5\的展开式第r+1项T=C;(x3p

则r+lI=2cxi53

令15—5r=O,解得r=3,所以C："=10x8=80.

故答案为：80.

12.答案：x—y+2=0

解析：联立卜二'J以+412=0,两式相减得+2=o.

f+丁=4

故答案为：x-y+2^0.

13.答案：a<-1^0<a<l

解析：/(可=以有2个不相等的实数根，即函数y=/(x)与直线y=依的图象有2个

交点，

当。=0时，函数y=/(x)与直线y=0的图象有2个交点，符合题意;

当。>0时，由％=0是函数y=/(%)与直线y=oc的图象的1个交点,

只需函数/(x)=ln(x+l)(x>0)与直线y=ot有1个交点即可，

当直线y=与函数/(x)=ln(x+l)(x>0)相切时,

设切点为(尤o,%)，可得:且为=111(%+1),%=.，

毛+1

可得Q-l=ln〃，

因为y=x-1与y=lnx的图象只有1个交点(1,0),

可得〃二1是Q-l=ln〃的解，

所以。＜。＜1时直线y=改与y=/(%)的图象有2个交点，符合题意;

当时0时，由F=N+N(xWO),可得％2(必+2]+1_/)=0,

y=ax

要使y=/(x)与y=ox的图象有2个交点，

只需+2%+1-。2=0在尤＜0只有一解即可，

综上所述，实数。的取值范围是aw-1或OWaWl.

14.答案：—；-

155

解析：(1)从10件产品中，抽取3件，有C：o=12O种可能;

若取出的3件中恰有1件是次品，有C〉C；=56种可能;

故满足题意的概率尸=也=2.

12015

(2)根据题意，x=0,1,2,

z八、C；567z567

Pn(x=0)=----=-----=—；P(x=1)=-------

')12012015,)120120-15

8_1

P（x=2）=

120120-15

故

故答案为：—;—

155

15.答案：-a-b；逑

43

解析：如图，由已知，MN=AN-AM=|AB-（AD+DM）=|AB-AD-|DC

=-AB-AD--x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

.-.MN=-a-b.

4

设4MB=6,即a与b的夹角为，，

一一^111

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=——AB+AD=——a+b,

222

若贝l]2W.BC=0,

]；4-6}1一a。+6）=一:/+：4.6-62=一"|。『+：|。||6|cos6-1b|2=0,

又|a|>0,W〉。，,由基本不等式，

A1。『+8|刃2|a|8也|>。/|a|8|们2&

614/1|/?|61/?|6\a\y61/?|6\a\3

当且仅当皿=则，即|a|=2行|切时，等号成立.

61bl61al

故答案为："苧.

B

16.答案：（1）2y/3

⑵4、-76

18

解析：(1)由A=25,知sinA=sin25=2sinjBcos5,

^222

由正、余弦定理得a=261+。".

2ac

b=3,c=1,储=12,贝!|a=

u■，人口>>^丁中不曰4b?+c?—9+1—121

(z2x)由余弦定理得cosA=--------------二-------=—-

0<A<TI,/.sinA=Vl-cos2A=Jl-^=~~~

4^27

故sin2A=2sinAcosA=-------,cos2A=2cos2A-l=——

99

40-7百

cos(2A++=cos2Acos莹-sin2Asina=

18

17.答案：(1)证明见解析

⑵45°

(3)友

3

解析：(1)证明：等边△PCD所在的平面垂直于矩形A3CD所在的平面，

以D点为原点，分别以直线DA,DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意，可得£>(O,O,O),P(O,l,G),C(O,2,O),A(2四,0,0)，贝四,2,0),

PM=^,1-43),AM=(-72,2,0),

PM-AM=(V2,1,-V3)•(-V2,2,0)=0,

B

X

(2)设"=(羽y,z)为平面心”的法向量,

IJH-PM=0即1岳+y—6z=0

n-AM=01-后]+2y=0

取〃=（0,0,l）,显然p为平面ABCD的一个法向量,

n-py/3^2

。"…。＞二厢飞F

故平面以航与平面ABC。的夹角的大小为45。.

（3）设点。到平面AMP的距离为d,

即点D到平面AMP的距离为其I

3

18.答案：（1）4=2〃+3

（2）证明见解析

解析：（1）设等差数列｛4｝的公差为d

4-6,“为奇数

因为＜

2%,〃为偶数，

所以4=q-6,b2=2a2-2a1+2d,4=%—6=%+2d—6.

因为邑=32,£=16,

所以*+6d=32,

[(4-6)+(2al+2d)+(〃]+2d-6)=16,

解得

d=2,

所以｛4｝的通项公式为q=2〃+3.

（2）由（1）知%=2〃+3,

所以S=n[5+(2n+3)]=^2+4n

n2

当〃为奇数时，

北=(-1+14)+(3+22)+(7+30)++[(2〃-7)+

(4n+2)]+2n-3=[-1+3+7++(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+30++(4〃+2)]=

"+1/YC"一A八

三(~1+21-3)।三(14+4〃+2)=3"+5"10

22―2,

*2*4

、1,_n_rT03n+5n—10/2A\"2—3〃—10(n—5)(zi+2)

当”>5时，T-Sn=——---------("+甸=---~1~->0,

所以看>s..

当〃为偶数时，

7；=(—1+14)+(3+22)+(7+30)++[(2”一5)+(4"+6)]

=[—1+3+7++(2??-5)]+[14+22+30++(4〃+6)]=

5(-1+2"-5)-(14+4n+6)_3n2+7n

2+2-—2--

22

、1/lqec3n+7n/24\n-nn(n-l)八

当〃>5时,Tn-Sn=--——(犷+甸=。一=卷〃〉0，

所以

综上，当〃>5时，Tn>Sn.

22

19.答案：(1)土+匕=1

43

(2)y=^-x+l,y=-^-x+1

22

2a=4

解析：(i)根据题意可得£=工,

a2

a2=b2+c2

解得〃=2,c=l,b=A/3,

22

所以椭圆C的方程为三+^=L

43

(2)由(1)知厂(—1,0),G(2,0),

因为上的_1%轴，所以与=-1,

因为S在y轴的正半轴，所以“在x轴上方，

因为点H在椭圆上，所以工+64=1,解得y

432

所以1,|],即族=（，

rp>rOSGOOS2A77Z0八01

因为——=——，即0nF—=一,解得OS=1,

HFGF33

2

所以S（O,1）,所以空=工，

SG2

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁=履+1,

设M（X，x）,TV"2,%），

y=kx+1

联立<%2y,（3+4/:2）x2+8fcc-8=O,

143

所以S"一蔡①,平2二春》②，

因为SASMG=6s搽9，

所以g•|SM卜|SG|•sinNMSG=6•"SSN|-sinZHSN,

所以|SMHSG|=6|”SHSN|,所以|SM=3|SN|,

所以MS=3SN,

所以（一%,1一%）=3（々,%-1），

（3）,

即xx——3X2

由①②③，解得左=±逅，

2

所以直线肱V的方程为、=警+1,y=—冬+1,

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0,

止匕时陷=本里=2+6,不合题意.

\SN\6-i

综上可得，直线MN的方程为了=逅x+1,>=—迈x+1.

-2-2

20.答案：(1)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).

⑵a<~

2

(3)见解析

解析：(1)当a=l时，/(x)=(x-l)e\则/'(x)=xe，,

当X<0时，当x>0时，/'(%)>0