初中数学九年级上册第24章圆

24.2点和圆、直线与圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆

的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

（二）能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题

的策略.

（三）情感与价值观要求

1.形成漏决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新

精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不屋同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的

三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一

点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索.

II.新课讲解

1.回忆及思考

投影片（§片4A）

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么？

［生］1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以48为圆心，以大于L/6长为半径画弧，在46的两侧找出两

2

交点a〃作直线CD,则直线切就是线段46的垂直平分线，直线切上的任一点到力与6

的距离相等.

［师］我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做

圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

［生］由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定

圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点4你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点/、B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分

布有什么特点？与线段有什么关系？为什么？

(3)作圆，使它经过已知点4B、以4B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的？

你能作出几个这样的圆？

［师］根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换

意见并作出解答.

［生］(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点/作圆，只要圆心确定下来,

半径就随之确定了下来.所以以点/以外的任意一点为圆心，以这一点与点力所连的线段为

半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已知点/、6都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到从6的距离相

等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端

点的距离相等，则圆心应在线段相的垂直平分线上.在的垂直平分线上任意取一点，都

能满足到从8两点的距离相等，所以在的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点

到"的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段47的垂直平分线上有无数点，因此有无

数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过48、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相

等.因为到/、8两点距离相等的点的集合是线段力8的垂直平分线，到8、C两点距离相等

的点的集合是线段正的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到4B、。三点的距离

相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

［师］大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法

1.连结46、BC

他作的圆符合要求吗？与同伴交流.

［生］符合要求.

因为连结36,作加的垂直平分线旗，则旗上任意一点到/、6的距离相等；连结6C,

作6c的垂直平分线刀G,则用上的任一点到跟C的距离相等.四与用的满足条件.

［师］由上可知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一

条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

in.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位

置有怎样的特点？

解:如下图.

锐角三角形

。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心

在三角形的外部.

IV.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业

习题3.6

VI.活动与探究

如下图，切所在的直线垂直平分线段A6.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为48两点在圆上，所以圆心必与/、8两点的距离相等，又因为和一条线段

的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在切所在的直线上.因此

使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

24.2点和圆、直线与圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

学习要求

1.能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系.

2.能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念.

3.初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明.

课堂学习检测

一、基础知识填空

1.平面内，设。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有d>rO点P在<3。；d=r=

点P在<30；d<rO点P在。0.

2.平面内，经过已知点A,且半径为R的圆的圆心P点在

3.平面内，经过已知两点48的圆的圆心P点在

4.确定一个圆.

5.在。。上任取三点4B,C,分别连结AB,BC,CA,则△ABC叫做。。的；Q0

叫做△ABC的；0点叫做△ABC的,它是△ABC的交点.

6.锐角三角形的外心在三角形的部，钝角三角形的外心在三角形的

—部，直角三角形的外心在.

7.若正△ABC外接圆的半径为R,则△ABC的面积为.

8.若正AABC的边长为a,则它的外接圆的面积为.

9.若△ABC中，ZC=90°,Z»C=10cm,BC=24cm,则它的外接圆的直径为.

10.若△ABC内接于。。，BC=12cm,O点到BC的距离为8cm,则。。的周长为.

二、解答题

11.已知：如图，△ABC.

作法：求件△ABC的外接圆0.

B

综合、运用、诊断

一、选择题

12.已知：A,B,C,D,E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点

作圆，最多能作出().

A.5个圆B.8个圆C.10个圆D.12个圆

13.下列说法正确的是().

A.三点确定一个圆B.三角形的外心是三角形的中心

C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D.等腰三角形的外心在顶角的角

平分线上

14.下列说法不正确的是().

A.任何一个三角形都有外接圆B.等边三角形的外心是这个三角形的中心

C.直角三角形的外心是其斜边的中点D.一个三角形的外心不可能在三角形的外

部

15.正三角形的外接圆的半径和高的比为().

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：V3

16.已知。。的半径为1,点P到圆心。的距离为d,若关于x的方程x2—2x+d=0有实根,

则点P().

A.在。。的内部B.在。。的外部C.在。。上D.在。。上或。。的内

部

二、解答题

17.在平面直角坐标系中，作以原点。为圆心，半径为4的。。，试确定点4—2,-3),

8(4,-2),C(—26,2)与。。的位置关系.

a

18.在直线y=±x-l上是否存在一点P,使得以P点为圆心的圆经过已知两点4—3,2),

8(1,2).若存在，求出P点的坐标，并作图.

24.2.2直线和圆的位置关系

一、教材分析

1、教材的地位和作用。

圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的

应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行

的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要

的作用.

2、教学目标：

根据学生已有的认知的基础及本课的教材的地位、作用，依据教学大纲的确定本课

的教学目标为：

（1）知识目标：

a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。

b、根据定义来判断直线和圆的位置关系，

会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。

c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。

2）能力目标：

让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径

之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。止匕外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变

化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。

3）情感目标：

在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手，像一轮红日从海平面升起

的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。让学生

感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线

的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点

的变化。

3.教材的重点难点

直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定

的应用。

4.在教学中如何突破这个重点和难点

解决重点的方法主要是：（1）由学生观察老师展示的一轮红日从海平面升起的照片提出

问题，能不能我们学过的知识把它们抽象出几何图形再展示出来（让学生尝试通过日出的情

境画出几种情况），（2）把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置

关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归

纳直线和圆的三种位置关系。是什么？）o

在说直线与圆的位置关系时，如何突破这个难点：（1）突破直线和圆不能有两个以上的公共

点，让学生讨论，最后明确否定（因为直线和圆有三个或三个以上的公共点，那么这与不在

同一条直线上的三点就可以作一个圆，相矛盾）。

（2）把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发

现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种

位置关系。

（3）突破直线和圆有唯一一个公共点是直线和圆相切（指直线与圆有一个并且只有一个公

共点，它与有一个公共点的含义不同）。

（4）突破直线和圆的位置关系的（如果圆。的半径为r,圆心到直线的距离为d,

1,直线I与圆0相交<=>d<r

2,直线I与圆O相切<=>d=r

3,直线I与圆。相离<=>d>r

（上述结论中的符号“<=>"读作"等价于"）

式子的左边反映是两个图形（直线和圆）的位置关系的性质，右边是反映直线和圆的位

置关系的判定。

二、学情分析

根据初三学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强，并且在初一，初二基础上初三学生有一定

的分析力，归纳力和根据他们的特点，联系生活实际中结合问题结合本节课适合学生的学习

材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，

进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与

圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思，进一步强

化对分类和化归思想的认识。

三、教法设计

复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的

位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这

一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。学生小结，让学生自己归纳本节课学

习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。

1,学生观察日出照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形在学生回答的

基础上，教师通过多媒体演示圆与直线的三种位置关系。

2,进一步让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线

和圆的三种位置关系。

3,强调公共点的唯一性。给出定义时，尽可能地有学生来概括和叙述，有利于提高学生的语

言表达能力。

4,有利于新旧知识的联系，培养学生的迁移能力，掌握用定量研究来解决问题的方法。在学生

回答问题的基础上，教师打出直线和圆的位置关系以及它们的数量特征。

5,通过直线到圆的距离d和半径r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。这样

很好的体现数形结合的思想，使较为复杂的问题能简单化。

6,让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。

四、学法指导

复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的

位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这

一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。

学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。

五、教学程序

创设情境---导入新课---新授----巩固练习--学生质疑一一学生小结一一布置作业

［提问］通过观察、演示，你知道直线和圆有几种位置关系？

［讨论］一轮红日从海平面升起的照片

［新授］给出相交、相切、相离的定义。

［类比］复习点与圆的位置关系，讨论它们的数量关系。通过类比，从而得出直线与圆的

位置关系的性质定理及判定方法。

［巩固练习］例1,

出示例题

例1在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，I■为半径的圆与AB有什

么样的位置关系？为什么？

(1)r=2cm；(2)r=2.4cm;(3)r=3cm

由学生填写下例表格。

直线和圆的位置关系

公共点个数

圆心到直线距离d与半径r关系

公共点名称

直线名称

图形

补充练习的答案由师生一起归纳填写

教学小结

直线与圆的位置关系，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的

能力。然后老师在多媒体打出图表。

本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了

数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性,

体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。

六，板书设计：

课题：直线和圆的位置关系

一，复习点与圆的位置关系

二，直线与圆的位置关系

1,相交、相切、相离的定义。

2,直线与圆的位置关系的性质定理。

3,直线与圆的位置关系的判定方法。

例1：

三，课堂练习

四，小结

24.2.2直线和圆的位置关系

姓名:班级：组别：评定等级

【自主学习】

(一)复习巩固：

1.直线与圆的三种位置关系.

2.如图，已知AB是。。的直径，BC切。0于点B,AC交。。于点D,AC=10,BC=6,求

AB和CD的长.

O

D

CB

（二）新知导学

1.切线的判定定理：经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线.

2.切线的性质定理：圆的切线于经过切点的.

3.与三角形各边都的圆叫做三角形的圆，圆的

叫做三角形的,这个三角形叫做圆的三角形.

4.切线长：

切线长定理及推论

【合作探究】

1.如图，AB、CD分别与半圆。切于点A、D,BC切。。于点E,若AB=4,CD=9,求。0

的半径.

【自我检测】

1.如图，PA切。。于A,PB切。。于B,0P交。。于C,下列结论错误的是（）

A.N1=N2B.PA=PBC.AB±OPD.pC=0C

2.如图，。。内切于△ABC,切点为D、E、F,若NB=50°,/C=60°,连结OE、OF、DE、

DF,则/EDF等于（）

A.45°B.55°C.650D.70°

3.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（）

A.l:5B.2:5C.3:5D.4:5

4.如图，PA、PB是。0的两条切线，切点是A、B,如果0P=4,PA=2^,那么NAOB等

于（）

A.90°B,100°C.110°D.120°

5.如图，已知。。过边长为2的正方形ABCD的顶点A、B,且与CD边相切，则圆的半径为

（）

A.-B.-C.-D.1

342

6.如图，。。为aABC的内切圆，NC=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=L则

©0的半径等于()

7.直角三角形有两条边是2,则其内切圆的半径是.

8.正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的倍.

9.如图，PA、PB是。。的切线，点A、B为切点，AC是。。的直径，

/BAC=20°,则/P的大小是—度.

10.等边三角形ABC的内切圆面积为9%贝IjaABC的周长为.

11.已知三角形的三边分别为3、4、5,则这个三角形的内切圆半径是.

12.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,求它的内切圆的半径.

第2课时切线的判定与性质

★知识管理

1、圆的切线的性质

切线的性质定理：

推论”经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2.圆的切线的判定定理：

问：判断直线与圆相切有哪些方法？

(1)：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

(2)数量关系：

(3)

3.三角形内切圆：

★热身练习

1.如图1,AB与。0切于点B,A0=6cm,AB=4cm,则。。的半径为（）

A.4^/5cmB.2A/5cmC.2V13cmD.Vf3m

2.如图2,点0是△ABC的内切圆的圆心，若NBAC=80。，则/BOC=()

A.130°B.100°C.50°D.65°

3.如图3,已知NAOB=30。，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作。M,

当0M=cm时，0M与0A相切.

4.（2010•四川）如图4,AB为半圆。的直径，CB是半圆。的切线，B是切点，AC交半圆

0于点D,已知CD=1,AD=3,那么cosZCAB=.

*颗粒归仓:

★典型例题

例：（2012•陕西）如图，PA、尸3分别与。相切于点A、3,点M在上，且。M〃AP,

MNLAP,垂足为N.

（1）求证：OM=AN；

（2）若O的半径R=3,PA=9,求OM的长.

★追踪练习

1.已知：（2006•北京）如图，AABC内接于。0,点D在0C的延长线上，sinB=L,

2

ZCAD=30°.（1）求证：AD是。。的切线；（2）若OD_LAB,BC=5,求AD的长.

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,以BC上一点0为圆心，以0B为半径的圆交AB于点M,

交BC于点N.

(1)求证：BA-BM=BCBN；

（2）如果CM是。。的切线，N为0C的中点，当AC=3时，求AB的值.

★挑战新高

（2010•河南）如图，AB为。。的直径，AC,BD分别和。。相切于点A,

与A,B重合的点，过点E作。。的切线分别交AC,BD于点C,D,连接OC,OD分另I」交AE,

BE于点M,N.

（1）若AC=4,BD=9,求。。的半径及弦AE的长；

（2）当点E在。。上运动时，试判定四边形OMEN的形状,

第2课时切线的判定与性质

教学目标

（一）教学知识点

1.能判定一条直线是否为圆的切线.

2.会过圆上一点画圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

（二）能力训练要求

1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.

（三）情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能

力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简

单的问题.

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用.

作三角形内切圆的方法.

教学难点

探索圆面切线的判定方法.

教学方法：师生共同探索法.

教具准备

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三

种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数

和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线

垂直于过切点的直径.

由上可判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探

索切线的判定条件.

II.新课讲解

1.探索切线的判定条件

投影片(§3.5.2A)

如下图，血是。。的直径，直线,经过点4，与48的夹角当/绕点/旋转时,

(1)随着/a的变化,点。到1的距离"如何变化？直线/与。。的位置关系如何变化？

(2)当Na等于多少度时，点。到,的距离d等于半径r?此时，直线/与。。有怎样

的位置关系？为什么？

［师］大家可以先画一个圆，并画出直径力8,拿直尺当直线，让直尺绕着点/移动.观

察/。发生变化时，点。到/的距离d如何变化，然后互相交流意见.

［生］(1)如上图，直线Ji与46的夹角为。，点。到/的距离为d,A<r,这时直线，

与。。的位置关系是相交；当把直线，沿顺时针方向旋转到/位置时，/a由锐角变为直角，

点。到/的距离为d,d=r,这时直线/与。。的位置关系是相切；当把直线，再继续旋转

到心位置时，/。由直角变为钝角，点。到，的距离为4,d2<r,这时直线，与。。的位

置关系是相离.

［师］回答得非常精彩.通过旋转可知，随着/。由小变大，点。到1的距离d也由小

变大，当/。=90°时，，达到最大.此时d=r；之后当继续增大时，，逐渐变小.第

(2)题就解决了.

［生］(2)当Na=90°时，点。到/的距离，等于半径.此时，直线，与。。的位置关

系是相切，因为从上一节课可知，当圆心。到直线/的距离d=r时，直线与。。相切.

［师］从上面的分析中可知，当直线，与直径之间满足什么关系时，直线,就是。。的切

线？请大家互相交流.

［生］直线1垂直于直径AB,并经过直径的一端/点.

［师］很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这

条直径的直线是圆的切线.

2.做一做

己知。。上有一点4过/作出。。的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直

于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心。和圆上一点4那么过/点的直径就可以作出

来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手.

［生］如下图.

⑴连接OA.

⑵过点/作力的垂线，，/即为所求的切线.

3.如何作三角形的内切圆.

投影片(§3.5.2B)

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心

在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：(1)作/反/C的平分线庞和5交点为/(如下图).

⑵过/作IDLBC,垂足为D.

(3)以/为圆心，以"为半径作。/.

。/就是所求的圆.

［师］由例题可知，班'和CF只有一个交点I,并且/到三边的距离相等，为什么？

［生•/在的角平分线座上，又在/C的平分线少上，，"=皿

：.ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

［师］因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于

一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的

圆只有一个.并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribedcircleof

triangle),内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter).

4.例题讲解

投影片(§3.5C)

如下图，4?是。。的直径，N497=45°,AT=AB.

求证：47是。。的切线.

分析：/T经过直径的一端，因此只要证//垂直于即可，而由已知条件可知47=48,

所以又由/血7=45°,所以//==45°.

由三角形内角和可证/窗6=90°,BPATVAB.

请大家自己写步骤.

［生］证明：•:AB=AT,///=45°.

:.NATB=NABT=45°.

.•.ZW=180°-ZABT-ZATB=90°.

：.AT±AB,即”是。。的切线.

III.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.探索切线的判定条件.

2.会经过圆上一点作圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念.

V.课后作业

习题3.8

VI.活动与探究

已知46是。。的直径，a7是。。的切线，切点为氏利平行于弦/〃

求证：加是。。的切线.

分析：要证小是。。的切线，需证2c垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半

径勿，利用平行关系推出N3=N4,又因为"=%，％为公共边，因此△切3△)〃，所

以/0DC=/0BC=9Q°.

证明：连结0D.

'：0A=OD,.*.Z1=Z2,

'：AD//0C,；./1=/3,N2=N4.

；.N3=N4.

0D=OB,0C=OC,

：./\ODC^/\OBC.

：.AODC=AOBC.

是。。的切线,

：./0BC=9Q°.

：.NODC=90°.

."C是。。的切线.

第3课时切线长定理

教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟

悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：

一、复习引入：

1.切线的判定定理和性质定理.

2.过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？

一、合作探究

1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这

点到圆的切线长。

2、切线长定理

(1)操作：纸上一个。O,PA是。0E-

折，设与点A重合的点为B。0B是。

猜PA与PB的关系？NAP0与NBP0航/

从上面的操作及圆的对称性可得：/°\

从圆外一点可以引圆的两条胡I*7二二

线平分两条切线的夹角.\

(2)几何证明.

如图，已知PA、PB是。0的两兄久/三人•<JVkir..If-\-iu?EJT-N_5—・

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点

和圆心的连线平分两条切线的夹角.

3、三角形的内切圆

思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆

的面积尽可能大呢？

三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做一一

(1)图中共有几对相等的线段

(2)若AF=4、BD=5、CE=9,则AABC周长为—0

例如图，AABC的内切圆。。与BC,CA,AB分别：

BC

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若SAABC=18>/IU,刁3十

三、巩固练习

1、如图1,PA、PB是(

(1)若PB=12,P0=13

(2)若PO=10,A0=6,

(3)若PA=4,A0=3,

(4)若PA=4,PE=2,(

2、如图2,PA、PB是。O的两条切线、A、B为切点，CD切。。于E交PA、

PB于C、D两点。

(1)若PA=12,则APCD周长为。

(2)若4PCD周长=10,则PA=

(3)若NAPB=30。,则NAOB=，M是。O上一动点，则NAMB=

3、如图RtAABC的内切圆分别与AB、AC、

AC=3、BC=4,求。。的半径。

4、如图RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6、BC

心，OC为半径作圆与AB切于D点，求。。白

5、如图，。。与4ADE各边所在直线都相切，切了

AE,AE=8,AD=10,求。O的半径

6、如图，AB是。。的直径，AE、BF切。。于A、B,EF

求证：OELOF

F

B

7、如图，。0的直径AB=12cm,AM、BN是切线，DC切。0于E,交AM于D,

交BN于C,设AD=x,BC=y.

(1)求y与x的函数关系式，并说明是什么面

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求〉

(3)求^COD的面积.

四、小结归纳

1.圆的切线长概念和定理

2.三角形的内切圆及内心的概念

五、作业设计

第3课时切线长定理

学习目标：

1.理解切线长的定义；

2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解

学习难点：切线长定理的应用

学习过程：

一、知识准备：

1.直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2