作 业 1 Fourier积 分 与 Fourier变换

作业1Fourier积分与Fourier变换

1.试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有

/H-oo

/(0=丁。(⑼coscotdco+Ib(co)sina)tdco,

其中

]/M-co]p+oo

Q(G)=—/(r)cos(7?rdr,匕(幻)二一/(r)sin(7?rdr.

71U71J-g

证由傅氏积分公式的三角形式

dG

n㈤

结合差角余弦公式可得

加）」「

71&

/(r)cos<z>rdr+COSMG+sincotAco

/H-oo件oo

IQ(G)coscotdco+Ib{ai)sina)tdco,

其中

]/H-oo1/M-co

Q(G)=—/(r)cos^rdr,Z?(^)=—/(r)sin^rdr.

71jl

2.试证：若/⑴满足傅氏积分定理的条件，当/（。为奇函数时，则有

件8.2件0°

/«)=[b{ai)sincotda),其/?(G)=-]/(r)cos^dr.

什oc2f+0°

当/⑺为偶函数时，则有/(%)=1a(G)cos@cdc，其中〃(G)=—『/(r)cos^rdr

证由上面第1题的结论：

件00件00

f（t）=Ia（G）cosG%dG+Ib（（D）sincotdco(1)

其中

1/M-co1/H-co

。3)=—/(r)cosGrdu,=—/(r)sin^rdr.

71人g71人=0

当/（。奇函数时，/（T）COSG2是了的奇函数，/（r）sinGz•是了的偶函数・由奇偶函数

的积分性质可得

Q(G)=—P/(r)cosG)TAT=0,

71

12r+-00.

Z?(G)=—/(r)sin^rdr=—I/(r)sin^rdr.

71J-%jlJo

当/"）为偶函数时，/（7）cos07是7的偶函数，/（7）sinty7是c的奇函数・由奇偶函

数的积分性质可得

1rH»2产8

Q(G)=—/(r)cos(^rdr=—I/(r)cos^rdr,

兀18"JO

b{co)--P°/(r)sin(7>rdr=0.

71J-8

从而由式(1)即得结论.

A,心：4乙的傅氏变换.

3.求矩形脉冲函数/（0=<

0,其他

解F@=F[/（川=「〃”.由

e-i.A(l-eMtt,r)

=£Ae-ia),dt=A

ICO

-ia>0

4.求余弦脉冲函数

COSR/2,-1<r<1；

f(0=

0,其他

的傅里叶变换.

解/«）符合傅氏积分定理条件，且为偶函数，故/«）的傅里叶变换为

厂/、2fl7lt

F(①)=—J。cos—cos4

2sin(万/2+q"sin(»/2一刃"COSG

--------------------------------1---------------------------

7i\_2(万/2+g)2(乃/2—0)(万/2)2—1,

5.求三角形函数

/(0=

0,

的傅里叶变换.

解F（®）=加由=「（1—|”）心切出

J-00J—1

23

=J：(1+f+£'(1T)e「j3&=4sin(®/2)®.

6.求Fcos1.

解由欧拉公式得

Fcos(产…⑻+er3/8))e72“d.

又右端的第一项积分为

「006加02-1/8-25)由=6-"(°2+1/8)「8//(一。)2出=e-j3(/+l/8)./"/4=己加储-1/8)

J—00J—00

同理右端的第二项积分为

+O?21/822

f°e-X--®<)^=e7>(®-l/8)

J-00

代回即得

F[cos乃(产-l/8)j=cos乃(疗一1/8).

7.设/(f)的傅氏变换为/(。)=sin。/。，求函数/«).

解由傅氏逆变换定义

，/、1r+ssinty,...,1r+="sinco,

f(t)=——----(coscot+jsina)t)aa>=——----coscotaco

InJ~°°co2乃J-°°co

11+81.

=———[sin(l+t)a>+sin(l-.

nJo2a)

1,r>0.

由单位阶跃函数〃。)=<的傅氏变换为1//@+•3),可得

0,%<0

/、11r+^sincotJ,c、

——I—I-----(1G(%w0).

2〃J。co

所以可得

1[M(I+O+M(I-O-I],吐i；

8.已知某函数的傅氏变换为/(。)=垩吆求该函数

G)

解/(0)=垩2为连续的偶函数，由公式

0)

f(0=—rF(®)eira,d®=-

2〃nco

sin(l+i1sin(lT)①]

」「--———d^+——-~d①(1)

2兀乜2%fa)

但由于当〃>0时,

sinaa)1sinaco、71

------d①二———d1(Zaa))

3ao)~2

当。<0时,

sinacoisin(—[n

———da)---r~dco=---

COf32

sinoG

且当4=0时,Aco=0,所以由式（1）

0)

p卜1<1；

f(O=?H=1;

0,|z|>l.

9.求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果:

COSM[71-R\\

(1)/（。=5刚（£〉0）证明：p—；----二一e"；t

夕+疗2/3

苏+2j71-\t\

(2)=cost,证明:-------COSGMG=—C"COS%.

布+42

71.

Sln"『犯证明:sinconsincot.—sin%,卜归犯

(3)/«)=<------------da)=<2

0,\t\>n.l-®2

0,M>71,

证（1）函数刚为连续的偶函数，其傅氏变换为

F⑼=F[/(r)]=e-4le-i®dz=2mcosa)tdt

仇(~/3coscot+cosincot

=2t=+co2B

夕+"t=0斤+疗.

再由傅氏积分公式得

尸2十疗

即

coscot-d<z>=-^-e^

,2+苏2B

(2)函数/«)=e-"cost为连续的偶函数，其傅氏变换为

…匚加…=匚坟c…d”匚■—id.

=-(re(…df+re°j"dt+「…砌df+「％-仔+洲'd1

21J-coJ-co«bJoj

(l-i-i6y)r0(-l+i-i<»)r+<

1(l+i-i6»)r一(1+i+ig

puuc

H-----；—；—H---------；------

2|l+i-ity-1+i一疝八1+i+M

-000

2〃+4

——，--------1----------1------------1----------

2[1+i-iol-i-i(y-l+(l-(»)i1+(1+o)i。"+4

再由傅氏积分公式得

]厂8]厂8

于。)=——F{ai)QMAa)=—[F(co)coscotdco

2〃入兀工

1产2G2+4

=-............coscotaco,

八"+4

即

「①+2coscotAco=4用cost.

上方+42

(3)所给的函数为连续的奇函数，其傅氏变换为

1•)-001*1-00

F(m=F|/(0]=£f(0e-iwd^=-2i[/(Osin^dr

〜r,-2isinam

=-21sin八sincotat=------------.

XI-®2

再由傅氏积分公式得

，/、11尸/、四」irO—、•.2产sino»sinot」

/(0=——F(o)eda>=—\F(a>)smcotdt=—I------——----da),

即

sinamsincot,fsint,Id<

f----------——do=<211

I"n0,L网K>71.

作业2单位脉冲函数与非周期函数的频谱

1.求/(。=+。)+3。—a/2)]的傅里叶变换•

r+oo1.+

解尸(⑼=[一[3。+〃)+5。—〃/2)]ei&.

j_82

由S函数的筛选性质，令/。)二片的，则方3)=(。•+«一次/2)/2.

评注同理可知，函数

/(0=；[bQ+Q)+S«-a)+5Q+Q/2)+/t-Q/2)]

的傅里叶变换为

/(。)=；[e决+1+e—./2]=cos(oa+cos(a)a/2).

f+00.,

当/3)=2彷(o)时，有/(。=—[2B(0)ew'd0=l,

InJ-8

即1和2金(。)构成一个傅氏变换对，同理，一%和2雄(。-。0)也是一个傅氏变换对.因

此

[e~Jdt=27i8(a)),

J—00

r「"e-j®厢4=2嫌(。-®0).

J-'CCJ—00

2.求下列函数的傅氏变换

(1)f(t)=cossin；(2)f(t)=sin3t；(3)/(。=sin(51+»/3).

解将三角函数改写为指数函数形式，即得

(1)因为cos%sin1=(e"+e-y7)/2-(e#-e~#)/2j=(c2jt-c~2jt)/4j,

1「+002;2J,ja,+;(ft,2);i(m+1},

故F[/(01=-f.(e>-e-)e-dt=—["(e---c}At

—004jJ—CO

=’2万伊(0—2)—S3+2)]=久田(0+2)—5(0—2)].

4j2

-13.

(2)sin31=—(e7?-e~jt)二/©》—3e'+3e-”—e').

2j8

故F"(/)]=「/jt-3ejt+3e-jt-e3jty-jQ)tdt

J—8

」

r(e-j(a)-3)t_3«-八所1"+©-/3+1"_3©一/3+3)‘)dt

8J-00

=*兀\8{(o-3)-33(0-1)+33(a)+1)-8{(o+3)].

(3)sin(5?+=-sin5?+—cos5r

22

故F"«)]=[：-sin5re->,+—cos5re^dt

(22,

21「8七-八。+5），_e7（°―5»）山+，.；「8仁73+5»_e-八3一5），翼,

22

=3[5(0+5)-3(0-5)]+曹[5(O+5)+5(O—5)]

=1[(V3+力出0+5)+(V3-j)S(0-5)].

c+00

3.计算IKQ-2)sin%d%.

J—00

解由5函数的筛选性质，得r｝+oo-2)sinMr=sin2.

J—00

4.设/«)的傅氏变换/3)=乃U(0+0o)+5(0-g)],求/«).

解f(t)=——[乃[5(@+Go)+»5(G-g)]e'dG

2万J-°°

Ip+°o..

=—[[5(G+4)+5(@—dG.

2nJ-°°

由5函数的筛选性质，得

7/(),

/(z)=l(e*+e-^)=cosgt

5.已知某函数的傅氏变换为b3)=»U(0+0o)+S(0-g)],求该函数

解由函数g)的性质匚瓯-神⑴山=g&)易知

,1<u?

/(?)=——£Fdco=—£^<5'((y+ty0)e^®d(y+—£^-<5'((y-ty0)e_d®

2yL2),

1.

J*+-eiat=COS卬.

折一为2

2a）=a）t

t—1,1<0;

6.求符号函数（又称正负号函数）sgnQ）=^=1的傅氏变换.

\t\［1,方〉o.

解容易看出sgn。）=〃（。一〃（一。，而尸［〃«）］=尸（⑼=」-+痴（⑼，F［〃（一。］

位

f4-oo.f-cojH-oo./、

=「"(—3"4=—「“Q)e3dt=「1/(。片3"山=/(—0)=——+痴(—0),且5(。)

J—ooJ+ooJ-00_]

为偶函数，所以

F[sgn(O]=F[M(0]-^[M(-0]

二-------\-7i8{ai)—\—；—\-7i8(—a))———.

ico<-i0)\a)

7.求函数

f(0=|照+a)+S«—a)+"t+||+s,—l]

的傅氏变换.

解由傅氏变换的定义及单位脉冲函数5(。的性质：「M—o)g(f)dt=g&),可知

F"⑻=g[瓯+a)c'a,山+厂瓯-

e-i^-icot

j+«+ea

222

.a.a

•1(0——id)一a)a

e^\coa+,e—icoa+1e-2？+1e八27>=COSGQ+COS——.

22

8.求三角形脉冲函数

2A/r-(r/2+0,-r/2<r<0;

/(0=2A/r-(r/2-0,0<t<T/2;

0,I仔

的频谱，并画出频谱图.

解因为/(f)的傅氏变换

9=匚"id”[二三Wb”

在上面第一个积分中作代换s=-f,得

-r/2

故F((y)=jj/2—fj-Ae^+e^)d^=

pr/24A「r/2

=2Acosmd/------tcoscotdt

JocJ°

故频谱为|F(®)|=|4A(l-cos(®r/2))/(ra2)|.

频谱图如图所示:

第8题图

9.求如图所示的三角形脉冲的频谱函数.

第9题图

解由图易知,为连续的偶函数，当t>0时，其表达式为

f(0=I71；

0，t>&

于是频谱函数为

F@=F"(在=匚/⑴e—由=2广/⑺cosod

=2A(1--0cosa)tdt=^^-(l-cos-^).

10.求高斯(Gauss)分布函数

i—

/(0=^=e2ff2

72g

的频谱函数.

解教材中例2已求得钟形脉冲函数Ae-"的傅氏变换为

F其中A〉0,夕〉0.(1)

在式⑴中取A=7^,夕=工，即知高斯分布函数f（0的傅氏变换即频谱函数为

72兀cr2b

F"()=6

（注：在频谱分析中，F（®）=F"⑺］又称为/⑺的频谱函数）

作业3Fourier变换的性质

1.若骂（0）=尸"«）］,工（。）=6［伏）］,。，夕是常数，证明（线性性质）:

F[助⑺土万。(切=。4(。)士£6(0)，F-\aFx{(o)±/3F2(®)]=afx(r)±/3f2(r).

证由傅氏变换的定义

F[aft(0±M(0]=C(«f1(0±

=a「力«)「"'山土月「力⑴片.山二1耳(。)土尸居(⑼.

J-00J-00―

]

从而也有F-[aF^co)+j3F2(®)]=af{(t)±夕心⑴-

2.求如图所示的三个矩形脉冲函数/«）的傅里叶变换.

人）川尸3）|

第2题图

解我们先讨论矩形窗函数

0,|^|>r/2;

卬。)=1

|^|<r/2

的傅里叶变换

厂/\「”2•创2•COT

F(cd)-e」dt=—sm——

JT/262

图示函数可表示为

/(0=+2r)+EW(t-2工),

则由位移性质，可得

工/、i2E.COT,J(O2T-ICDIT\2E.COT

F[/(0]=——sin——+(e^2r+e；6y2r)—sin——

co2CD2

2E.COT—"

二——sin——R[I+2cos(2^r)].

a)2

3.求/«)=/sin/的傅氏变换.

解由微分性质,得F[(rsinr/]=[tsint],

即有上=」一

Fsin.F[(rsinz/]=—{F[sinr]+F上cos〃},

j①j①

同理上〃=」一

FcosF[(tcos0r]=——{F[cosr]-F[tsin^]}.

j①j①

将后式代入前式，得

F[tsinr]=<F[sin^]+^—F[cos/]———F上sin%]>

j①j①j①,

因为F[sint]=7rj[8(6?+1)--1)],F[cost]=JI\8(CD+1)+-1)],所以

2j1

F[tsin?]=\—[j7id{(o+1)-j7vS[co-1]-+1)+-1]>.

g-11JGCO

4.已知F[-%(/)]=l/(£+Jo),求F/5％«)].

解对已知等式左端求导〃次得

工[/—〔=(-J)"F-%⑻

F[r,!e^(0]=-----------------=——^-―.

M(-jydco-y+jco)(夕+扬严

5.求函数/(%)=[sin2cde的傅氏变换.

J—00

解利用积分性质可得

F[「u(T)ersin2rdr]=—F[»(r)esin21]

J-8jo)

=♦{F—F[M(r)e-fcos2r]}

2/0

=——-F[M(Oe-,e277+M(0e_(e-2/,]

2jco[\+jco2

Jf]_j]_j]

2jco1+jco21+J3-2)21+J3+2)

111+加

2j①1+jco(5一1)+2jco

6.分别用Fourier变换定义和性质两种方法求下列函数的傅氏变换：

L10；

(1)单位斜坡函数")=jot<0

(2)f(t)=tnu(t).(3)于=伙u(t).

解(1)因为厂(。=加«),

F[tu(t)]=j^-[F[u^]}=j/-—+^(«)=-，+以口。).

do)d矶jco

⑵g⑻7,kd(")b1r")小⑷+㈠"区

⑶2"号]，奇

7.若F(①)=F"«)],证明(像函数的微分性质):

=户[—叭。]

aco

证4/(⑼=4]〃在年由=p-^CfCOe^)^

Acoacoho也

J-OO

8.若/3）=尸"⑻，证明:

F[f(t)coscoGt]=g[/(g—g)+F(a)+4)]

F[f(0sinco0t]=g)-F(①+®0)]

21

证由线性性质及像函数的位移性质可知

3%+e1%

F"(f)cos00〃=尸f(0

2

[/(Oelw»(]+F"⑺e"]

—5[尸(69—69Q)+F(①+CDQ)]

丫%_J%

F[/G)sin0o〃="/(0---------

21

=五［尸（0_。0）_/（0+00）］

作业4卷积

1.证明下列各式

⑴/1(0*/2(0=/2(0*f1(0；

⑵力(f)*"2(f)*力⑹=[fl(0*/2(0]*力))；

(3)4〃。*力(初=[助⑴]*力(。=力(。*[。⑹Q为常数);

(4)e〃'，(f)*力⑻=6了«)]*归"(在(a为常数);

(5)[fi(0+fi(0]*[gi(0+g2(0]=/1(0*gi0)+力0)*gi(0

+fl(t)*g2(t)+f2(t)*g2(t);

(6)£"⑺*力⑹=£力(0*/2(o=力(0*//2(o.

atdtat

证(1)由定义

r+<»t—T—Xr-00

力⑴*%。)=「力⑺似"7川7f^t-X)f2(X)dx

J—COJ+00

=r/i(t~功力0)dz-=/2(o*/1(0

⑵/(。*[力(。*上⑹=[力⑴*力⑹*/1(0

=「[1力00/2(7—X)dx|/1Q—7川7

力(7-x"[«—X)—(7—x)d7人(x)dx

f2(。)工[(/一X)-明do力(x)dx

=1(力*力)。一"3(x)也

=力⑺*[/2(0*.(5=，(0*力⑻*力(。.

⑶4/1(0*/2(0]=a1力(7)/2。—7)d7

=1以(7>/2«-7)d7=[力(7)可2(-7川7

J—co~J—co~

=[afr(0]*/2(0=/1(0*[0/2(0]•

⑷摩，(0*力⑹=e”Jr-00力3f2。-7)dr

flfl(,r)

=£jeV1(r)]-[e-/2(r-r)]dr

a，a

=[eZ(0]*[e72(0].

（5）由教材中已证的结论：力⑺*[力（。+力（4=力。）*力（。+力。）*力⑺得

[力（0+/2（0]*期⑺+g2（切=，⑴+力⑴]*&（0+，（0+/2（0]*g2（。

=8(。*，(0+力⑹+g2(。*，(0+/2(0]

=g«)*力(/)+©(/)*/0)+g2(f)*力⑺+g2(t)*%(，)

=，0)*gl0)+/(/)*&(/)+10)*g2(t)+/0)*g2。)

=「力仁）、力dT=J。）*92⑴

力⑻=/2«)*，/(。=，力⑴*/2(0.

atatdt\_at

即有

£[fi(0*f2(0]=Tfi(0*/2(0=力0)*272⑴-

dtatdt

2.用力⑺=力。)=/。)验证卷积定理，其中/«)=]；：：；

证由卷积定义

’0,t<-2；

f1rt+1Z+2,—2<%<0;

力*力=1力(7)•力Q-7)d7=。/(a)da=27,0</<2；

0,t>2.

故F[力*力]=J°?。+2户”“由+f(2T)e—9山.

对第一个积分作代换t=-a,再改写“为f,则

F[%*力]=fQ-)e〃“山+[2(2T)e—网由

,22

=2L(2-。cos&d，=F(l-cos2G)=4sinG9/a)9.

而由Fourier变换定义可知

F[f1(0]=F[f2(0]=2sin®/®,

故证得

F""]=F"(MF[f2(0]

3.若力(f)=]°；；：，/2(f)=,sin''4°*2'，求力(f)*/2()

卜年0.[o,其他.

解由定义

/1(0*/2(0=/2(0*fl⑴=匚72⑺工("7)dr

7T

当0</«—时，由式（1）

2

冗

力⑺*力⑺=jsinr力《—7)d7+fsin7/«—r)d7

=e-z一(sinT-cosr)=—(sin/-cos/+e-r)；

/r-|\

TT

当，WO时,工(一)=0re0,-由式（1）：/。）*力（。=0；

\L2

(,r)

当时，/1(z-r)=e--re0,1J,由式(1)

7tT21

4(%)*力«)=j^sinre-(r-r)dr=e-/—(sinr-cosr)=—e^Q+e^72).

2」o2

故

0,r<0；

-^■(sinz-cosr+e-r),

0<r<-；

2

*«+e"/2),n

t>—.

、乙2

4.若片3）=/［力⑻，工（。）二尸］力（祝，证明

F，（»人（切=：耳（。）*工3）

2乃

证FT；耳（⑼*月3）］=八「W3）*工（助国5。

_ln」（21）也

匚「E«）歹2（。-7川7卜气。

册匚匚n⑺包队

=册14”［二用（。-心…回d?

X=1匚耳⑺e，”/匚工（x）e巴"dr

21

=2匚片（7*"«川7=伙）•工。），

F"«）/2（初=；6（。）*工（0）-

即

2%

5.求下列函数的傅氏变换：

(1)/⑺=sin卬•〃«)；(2)/Q)=e—"sinW•〃«)(1>())；

(3)f(t)=e一例cos①0t♦u(t)(0>0)；（4）/。）=3就勿。）；

(5)/«)=eX(一0)；(6)/Q)=eig%Q).

解(1)F[sin①(/•〃«)]=——F[sinco^t]*F[u(t)]

2〃

1

=­[7ri(3(c()+G)Q)-8(fl)-<^0))]*3+万”①)

271ICO

=—i<53+/)*」+5(G+g)*乃5(G)-53-4)*3

2ICOICO

_53一4)*•(◎)}

而5（刃±4）*'=-------，3（刃±4）*公（刃）=»5（刃±%）,所以

位i（G±4）

1

+•3+%)-------------------九3(①一①0)>

i(co-6D0)

①0Hzr»z、r»z、、

22+-Q>3+%)_°3_/)).

a)「32

（2）由定义得

10)t

F[e-"sin/八〃«)]=1e-^sin^or-u(t)e~dt=e-(""""sin4位

e-c+iG]sin@(/-3。cos

[尸+应]2+@

①。

(〃+i^)2+党

(3)F[e-/?zcos①0t•〃(1)]=「Vcosgt-u(t)e~1(0tdt=e-M+io/osGoM

J—co

+ia))t

e^[-()S+i^)cosco0t+^Osin^]i+00

[分+iMp+"1°

_尸+位

(分+位)2+无

(4)由6["(。]='+公(。)及像函数的位移性质易知

位

1

F©%〃«)]=--------+公(刃一%).

(5)由位移性质易知

ico,

F[u(t-t0)]=e-°F[〃(。]=]%[上+碗(0)]

再由像函数的位移性质得

(1

F[ewa«—小)]=-|(所闲’°--------

(6)由微分性质易知

F[tu(t)]=i—F["«)]=i—+形(0)==+万d(o).

da>(io)a>

再由像函数的位移得

—1

F©阳加⑴]=+»i<y(0—0o).

(0_0o)-

作业5Fourier变换的应用

1.解积分方程

+oo1-a),0<ty<1,

r/(x)cosoxdx=<

Jo[0,<y>1.

解由于/(x)只定义在(0,+8)上，所以对/(x)作偶延拓，则/(x)的傅氏变换

+oop+00

歹"(x)]=Jf(x)e~ja)xdx=2J。/(x)cosa)x6x,

—00

且歹(0)=/(—O),从而

「+82(1—0),0<®<l;

F(o)=2[/(x)cosoxdx=<

J。I0,®>1.

于是，解积分方程的问题转化为求傅氏逆变换问题.这样，有

.1P+8

〃x)=F-廿(如二丁]/⑷

2乃J-°°

1r+8

=—尸(G)cossd^

71Jo

1fi、[2(1-cosx)

二一2(Z1—⑼cossdG=-----2---

nJo7ix

2.解积分方程

,+oo

y(x)sintxdx=f(t),

其中/⑺分别为

1<<r

<b-

7C<

八/、—sinL0<t<71:八/、21-<

(1)/⑺=2(2)f(t)=<>2-

_o-2

0,t>71._

7l八，

—cost,0<t<7T：

2

n

⑶