双曲线及其标准方程教案 人教课标版

《双曲线及其标准方程》教案

撰写：刘文文审核：胡海欧

三点剖析:

一、教学大纲及考试大纲要求：

.掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；

.通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力；

.初步会按特定条件求双曲线的标准方程；

.理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；

二.重点与难点

教学重点：标准方程及其简单应用.

教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组.

三.本节知识理解.

.知识框图

名称椭圆双曲线

4

图象一。

X

平面内到两定点F,F的距离的和为常

}2平面内到两定点工的距离的差的

数（大于6闾）的动点的轨迹叫椭圆。

绝对值为常数（小于耳玛）的动点的

即1"耳+|用到=2«

定义轨迹叫双曲线。即||MFj-|g|=2a

当a>。时，轨迹是椭圆，

当a<。时，轨迹是双曲线

当ac时，轨迹是一条线段大用当ac时，轨迹是两条射线

当Q>C时，轨迹不存在

当a<c时，轨迹不存在

X2V22y2

焦点在工轴上时：与+4=1焦点在X轴上时：=%-勺=1

aa-h~

2222

标准焦点在y轴上时：5+与=1焦点在y轴上时：3------=1

ab~crb~

方程

注：是根据分母的大小来判断焦点在注：是根据项的正负来判断焦点所

哪一坐标轴上在的位置

常数

a2=c2+h2（符合勾股定理的结构）c2^a2+b2（符合勾股定理的结构）

a.b.c

a>b>0,c>a>0

的关

。最大，c=b,c〈b,c>bc最大，可以a=O,a<。,。〉。

系

.要点诠释

().双曲线的定义：平面内到两定点片，入的距离的差的绝对值为常数(小于忻居|)的动

点的轨迹叫双曲线.即-|加6|=2a

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于田巴|”

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔(-两条平行线).

两定点间距离较短(大于定差)，则所画出的双曲线的开口较狭窄(f两条射线).双曲线的

形状与两定点间距离、定差有关.

().双曲线的标准方程的特点：

()双曲线的标准方程有焦点在轴上和焦点轴上两种：

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：二一三=1(〃>(),〃>())

()。，仇C有关系式="2+反成立，且。>0,8>0,C>0.

其中与的大小关系：可以为4=。,。<》,。>。.

().焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母/、V项

的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴.而双曲线是根据项

的正负来判断焦点所在的位置，即/项的系数是正的，那么焦点在龙轴上；J?项的系数是正

的，那么焦点在y轴上.

精题精讲

【例】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量。力,。的值.

xy.xy

①-----:—=1②------

4222

,22

③------.——1④4广—9x~—36(

4232

分析：双曲线标准方程的格式：平方差，/项的系数是正的，那么焦点在X轴上，/项的

分母是。2；V项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是。2.

解：①是双曲线，a=2,b=V2,c=V6；

②是双曲线，a—V2,Z?=V2,c=2；

③是双曲线，a=G^b=2,c=R;

④是双曲线，a=3,/?=2,c=・

【例】已知双曲线两个焦点的坐标为飞—5,0）,B（5,。），双曲线上一点到％—5,0）,B（5Q）

的距离之差的绝对值等于，求双曲线标准方程.

解：因为双曲线的焦点在工轴上，所以设它的标准方程为

22

5―4=1（。〉0">0）.

ab

2a=6,2c=10/.=3,c=5b2=52—32=16.

所求双曲线标准方程为—-^-=1.

916

【例】已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点6（3,i历），鸟（q,5）,在此双曲线

上，求双曲线的标准方程.

分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行

求解.本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数。力的一个分式方程组，并且分母的

次数是，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未

知数，直接看作二元一次方程组.

解：因为双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为

22

二-5=1（«>0,Z?>0）

cTh

(-4扬232

32-4--9-

F——F±i

2=

则有即《a~b

25,上

.±=1

5i_Xa216b-

/b2

解关于1的二元一次方程组，得-1

aba16b9

所以，所求双曲线的标准方程为

21_£

169

【例】点位于双曲线二―马=13>0,。>0)上，6，居是它的两个焦点，求A4耳工的重

a'b"

心的轨迹方程.

分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求

解.注意限制条件.

解：设5的重心的坐标为(x,y),则点的坐标为(3x,3y)

22

因为点位于双曲线*一a=1(。〉03>0)上，从而有

(3x)2(3力

=1("0),即%y1("o)

所以，6的重心的轨迹方程为三-----J—=l(y*0).

,久2

点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种.例是直接利用待定系数法求

轨迹方程.本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题

和解决问题的能力.另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足

一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学

生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质.

【例】已知AABC的底边长为，且底边固定，顶点是动点，使sin8—sinC=』sinA,求

2

点的轨迹.

分析：首先建立坐标系，由于点的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用

正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件.

解：以底边为x轴，底边的中点为原点建立卬坐标系，这时

B(-6,0),C(6,0),由sin8—sinC=|sinA得

8―c='a=6,即|AC|—|A8|=6.

2

所以，点的轨迹是以8(—6,0),C(6,0)为焦点，。的双曲线的左支.其方程为：

点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满

足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些

轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂.解决它需要突出形数结合的思考方法，运

用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进

行训练的.

【例】一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚.

()爆炸点应在什么样的曲线上？

()已知、两地相距800m,并且此时声速为/,求曲线的方程.

分析：解应用题的关键是建立数学模型.根据本题设和结论，注意到在处听到爆炸声的时

间比处晚,这里声速取同一个值.

解：()由声速及、两处听到爆炸声的时间差，可知、两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点

应位于以、为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离处比离处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支上.

()如图，建立直角坐标系wy,使、两点在X轴上，并且点与线段的中点重合.

设爆炸点的坐标为(x,y),则一x,即。=,a

：.x>.

所求双曲线的方程为

-1(%>).

11560044400

例说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的

双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点，利用、(或、)两处测

得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确

定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

想一想，如果、两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上.(爆炸点应在

线段的中垂线上)

点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有

利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习

主动性和积极性，培养他们的发散思维能力.

【例】求下列动圆圆心的轨迹方程：

()与。：()内切，且过点(，)

()与。：()和。()都外切.

()与。：()外切，且与。：()内切.

分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半

径与圆心距离.如果相切的。、。的半径为、且〉，则当它们外切时，；当它们内切时，.解题

中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.

解：设动圆的半径为

()•.•。与。内切，点在。外

.*.72V2

.•.点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有:

V27

V2

2y2广

双曲线方程为勺一(wJ5)

7

()；。与。、。都外切

.•.点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有:

]_3

24

.•.所求的双曲线方程为：

4x23

工(22)

34

()•.•。与。外切，且与。内切

...点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有:

.♦.所求双曲线方程为：

评述：()“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.

O巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.

()通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休

止的追求目标.

22

【例】已知双曲线上-=1的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求/的大小.

916

分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.

解：：点在双曲线的左支上

V.McO

AZ°

评述：()巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.

()题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一

条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.

2

【例】已知、是双曲线亍一V=1的两个焦点，点在双曲线上且满足/

°,求△的面积.

分析：利用双曲线的定义及△中的勾股定理可求△的面积.

2

解：•.•为双曲线二一丁=1上的一个点且、为焦点.

4

：.2a

iF2c-j5

'：Z°

在△声中

xF

'：()

._1

•♦A6”一2•

由此题可归纳出■6尸2

2

评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.

基础达标：

.选择题

22

()已知方程」二+“一=1表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是()

9-kk-3

«>

><

答案：

()方程()表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是()

<>

<<<或>

答案：

2y2

()方程——%+=1表示焦点在坐标轴上的双曲线，则。是第几象限的角()

sinacostt

.四.-'或三

答案:

（）椭圆工+「=1和双曲线三一二=1有相同的焦点，则实数〃的值是（）

34〃2〃216

±5±3

答案：

（）设片,鸟是双曲线V=1的焦点，点在双曲线上，且/耳p鸟=90°,则点到x轴的距

离为（）

与非

5

答案：.故鸟的面积为〃，从而有;.2°|田=/?2目），|=正.

（）为双曲线J—「=1（。〉0力>0）上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆

ab-

x2+/=/的位置关系是（）

内切外切外切或内切无公共点或相交.

答案：

（）“<0”是“方程表示双曲线”的（）

.必要但不充分条件.充分但不必要条件

.充分必要条件.既不充分也不必要条件

222

【解析】若表示双曲线，即三+二表示双曲线，则二〈，这就是说“V”是必要条件,

ccab

ab

然而若〈可以等于，即“V”不是充分条件.

【答案】

X2y2

（）方程+J表示双曲线，则金（）

10—Z5—k

.（，）.（一8，）

.（,8）.（-8,）U（,8）

22

【解析】•••方程X二表V示双曲线，

10—k5—k

【答案】

（）在双曲线中，£=好，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（）

a2

2222

2_-二_1_2_—二

,4,444

22

【解析】把椭圆的方程写成标准方程二+匚,

94

...椭圆的焦点坐标是（土若，）.

•.•双曲线与椭圆有相同的焦点，

...双曲线的焦点在轴上，且石，

X2

.•.双曲线的方程为

4

【答案】

（）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线经过点（，拽）及点（WZ,）,则双曲线

23

的方程为（）

2，222

.X＞VXXy2y2x2

T6-VT6_W-T6T_T6

【解析】•.•双曲线的焦点在轴上，...设双曲线的方程为（＞＞）.把、两点的坐标代入得

m•（——^-）2-n-22-1,1

m=—,

9

解之得«

1

n=—.

【答案】

填空题

（）已知双曲线的焦点（,）,（,）,且经过点（、同，）的双曲线标准方程是.

22

答案：二-------1

97

（）双曲线的焦点在轴上,且经过点（，）、（，），则双曲线标准方程是.

r22

答案：----y=1

35

22

（）已知耳，鸟是双曲线q-=1的焦点，是过焦点6的弦，且的倾斜角为，那么

仍用+|。勾一|尸。的值为（答案：a=）.

o焦点在轴上，中心在原点且经过点(J7,)和(一，一6)的双曲线方程是.

【解析】依题意可设双曲线方程为：=-口(>>)

ab

077)23228

,一"=I

..../2a2a2=25

b,解得4

''(-7)2(-6后'49b2=25

--------------=1

«2b2a2

.•.双曲线的方程为亳-去

【答案】

()是双曲线一的左支上一点，、分别是左、右焦点，则一.

【解析】由一知

又：在双曲线一的左支上

，——2a-

即——.

【答案】一

.解答题

22

()判断方程」-----J=1所表示的曲线。

9-kk-3

'9-攵>0

解：①当，k-3<Q时，即当上<3时，是椭圆；

9-k^k-3

②当(9—左)伏—3)>0时，即当3<%<9时，是双曲线;

()求焦点的坐标是(，)、(，)，并且经过点(，)的双曲线的标准方程。

22

答案：---±=l.c=6,2a=5石-6=46=>廿=36-20=16.

2016

()求经过点尸(-3,2厅)和。(-(/,—7),焦点在轴上的双曲线的标准方程.答案:

22

匕-二=1.

2575

()根据下列条件，求双曲线的标准方程.

()过点(,—),(—,)且焦点在坐标轴上.

43

()JG,经过点(，)，焦点在轴上.

22

（）与双曲线土--二=1有相同焦点，且经过点（叵,）

164

22

解：（）设双曲线方程为^--二=1

mn

；、两点在双曲线上

9225

-_---4十-1

m16n

25625

_1_______

n1

.9mn

m-—\6

解得

n=9

：.所求双曲线方程为—+匚=1

169

评述：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.

注意：此种设法在本书教案§8.1.2备课资料例的（）小题已经用过，我们不难发现对于

椭圆与双曲线，这种设法都可以用.

（）•焦点在轴上，V6

...设所求双曲线方程为

22

q--匚=1（其中＜入＜）

26—Z

・・,双曲线经过点（,）

史-土=1

Z6-2

人或入（舍去）

丫2

所求双曲线方程是土一丁=1

5

评述：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.

（）设所求双曲线方程为：

•.•双曲线过点（J5,）

.工+上=1

■16-24+2

人或入（舍）

22

，所求双曲线方程为--匕=1

128

22

评述：（）注意到了与双曲线^--上=1有公共焦点的双曲线系方程为

164

』------匚=1后，便有了以上巧妙的设法.

16-24+2

（）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注

重的一个重要方面

综合发展：

.已知点（，）、（，），动点到与的距离之差的绝对值为，则动点的轨迹方程为（）

（W或））（》）.以上都不对

【解析】：田，；•点的轨迹为分别以、为端点的两条射线.

【答案】

.在方程一中，若＜,则方程的曲线是（）

.焦点在轴上的椭圆.焦点在轴上的双曲线

.焦点在轴上的椭圆.焦点在轴上的双曲线

22

【解析】把方程一写成标准方程二-二

nn

mtn

mm

・・・方程表示焦点在轴上的双曲线.

【答案】

.已知点（，）的坐标满足」。一1）2+。-1）2一:（x+3＞+（y+3）2土，则动点的轨迹是（）

.椭圆.双曲线.两条射线.以上都不对

【解析】点（，）与（，）的距离为、历＞,...的轨迹是双曲线.

【答案】

22

.已知双曲线的方程为0-二,点、在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，为另一焦

ab

点，则△的周长为（）

.2a2m.4a2m.2a4m

【解析】•••、在双曲线的右支上，

:.-2a—2a,

・・・一（）4。

：.4a

工△的周长为4a4a2m.

【答案】

2,q

.已知双曲线的焦距为，J上,则双曲线的标准方程是（）

c13

X2y2y2x2

2516925T69

2…22,222

X。%v——或匕.工

,2514425144”25144

【解析】V2c——,

c13

22,2

・••双曲线的标准方程为会■-/W或哀■-

144

【答案】

2

、为双曲线三一一的两个焦点，点在双曲线上，且N°,则△的面积是（）

4

.4

2

【解析】双曲线二一一的两个焦点是（，一石）、（,非）,

4

VZ°IIIII,F|.

即IIII①

II-II±,

AII-II-IIII②

①—②得□•II,；.S.*-II-II.

2

【答案】

.双曲线的焦点在轴上，且它的一个焦点在直线一上，两焦点关于原点对称，-则此双

a3

曲线的方程是（）

/VX2y2/y2X2y2

----------------------1---------------------------——

3664643636646436

【解析】在方程一中，令得：，

•••双曲线的一个焦点在直线一上又在轴上，且两焦点关于原点对称，

・・c5.

2222

・，・双曲线的方程为^------，即-------

36646436

【答案】

.已知△中，、是两个定点，并且则顶点的轨迹方程是（）

2

.双曲线.椭圆.双曲线的一部分.椭圆的一部分

【解析】由正弦定理得;二为定点..为常数.

.•.点的轨迹是双曲线的一部分.

【答案】

.双曲线一的焦距是，求的值.

【解】把双曲线的方程写成标准形式，』-二.

k_k

2

当〉时，由题知《即.

22

当<时，----,----七即一

22

综上所述土为所求.

22

.过双曲线三一-匕的一个焦点作轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.

14425

22

【解】•.•双曲线方程为1

14425

J144+25,于是焦点(一，)、(，)，设过点的垂直于轴的直线交双曲线于(一)(>).

22

.y_13-25,・2・5二,即2三5

.•云=诟一|=再1212

▽。.25313

乂.~2a,..---------

1212

故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为225或3313.

1212

.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点(J7,)(,、历)，求双曲线的方程.

【解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为(>>),则由题知

加一25)2—"(_3)2=1/28m—9n=1,,za根=石'

L〈，八解之得〈

根-7?-〃(6后)2=1,[49加一72〃=1.1

/Z——•

75

...双曲线的方程为二Y~21

2575

当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为(>>),则

p(-3)2-^(-2V7)2=l,

此方程组的解使、都为负值,故应舍去.

P(6A/2)2-^-72=1,

综上所述，所求双曲线的方程为二-2二.

2575

.已知曲线：一=及直线：一.

()若与有两个不同的交点，求实数的取值范围：

()若与交于、两点，是坐标原点，且△的面积为求实数的值.

【解】（）由）消,得（一）+—=

y=kx-l

由,

/=4炉+8（1-女2）＞0

得的取值范围为（一四，一）U（一,）U（,y[2）

（）设（，），（,）,

又过点(，—)

:.$△=$△+$△=—||+—I|=—I—I=V2

222

・・・(-)=(72)

・__e_i_巫

••一或土.