高考数学第一轮复习复习第7节　函数的图象（讲义）

第7节函数的图象[课程标准要求]1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.图象变换(1)平移变换(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.(2)对称变换①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.(3)翻折变换①y=f(x)y=|f(x)|;②y=f(x)y=f(|x|).(4)伸缩变换①y=f(x)y=f(ax).②y=f(x)y=af(x).1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(a+3.两个函数图象的对称性(相互对称)(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0,即x=b-(2)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称.1.(必修第一册P73习题T7改编)下列图象是函数y=x2解析:其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成,故C符合题意.2.函数y=x-解析:当x=0时,函数值为2,排除A,D;当x=3时,函数值为123.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)等于(D)A.log2(2x+1)-1 B.log2(2x+1)+1C.log2x-1 D.log2x解析:将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,可得函数y=log2(2x+2)-1的图象,再向右平移1个单位长度,可得函数y=log2[2(x-1)+2]-1=log2(2x)-1的图象,所以g(x)=log2(2x)-1=log2x.4.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(B)A.y=f(|x|) B.y=f(-|x|)C.y=|f(x)| D.y=-|f(x)|解析:观察函数图象可得,②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象,然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y=f(-|x|).5.已知函数f(x)=2x,x>0,x解析:令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,则函数f(x)=2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y=2|x|的图象的交点的个数.作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象,可知两个函数图象的交点的个数为2,故方程f(x)-2|x|=0的解的个数为2.答案:2作函数的图象作出下列函数的图象.(1)y=|log2(x+1)|;(2)y=x2-2|x|-1;(3)y=2x(4)y=|x+1|(x-3).解:(1)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图所示.(2)因为y=x2(3)因为y=2x-1x-(4)令f(x)=|x+1|(x-3),则f(x)=(x作函数图象的一般方法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.函数图象的识别[例1](1)(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)cosx在区间[-π2,π(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是()A.y=-x3+3xC.y=2xcosx(3)(2022·北京卷)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态解析:(1)法一(特值法)取x=1,则y=(3-13)cos1=83cos1>0;取x=-1,则y=(13法二令y=f(x),则f(-x)=(3-x-3x)·cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x),所以函数y=(3x-3-x)cosx是奇函数,排除B,D;取x=1,则y=(3-13)cos1=8(2)对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=15sin3>0,与图象不符,故排除D;对于选项C,当x>0时,y=2xcos(3)对于A选项,当T=220,P=1026,即lgP=lg1026>lg103=3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于B选项,当T=270,P=128,即lgP=lg128∈(lg102,lg103),即lgP∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于液态;对于C选项,当T=300,P=9987,即lgP=lg9987<lg104=4时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于D选项,当T=360,P=729,即lgP=lg729∈(lg102,lg103),即lgP=lg729∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于超临界状态.故选D.函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象.[针对训练]1.(2022·山东青岛二模)函数f(x)=2x解析:由题可得函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(-x)=-2xx2-1=-f(x),故函数为奇函数,排除B,D,又f(2)=432.(2022·浙江绍兴模拟)图中的函数图象所对应的解析式可能是()A.y=-12|x-C.y=-2|x-1| D.y=-|2x-1|解析:根据题意,由函数的图象,当x=0时,有-1<y<0,对于B,y=-|12对于C,y=-2|x-1|,x=0时,y=-2,不符合题意,对于D,y=-|2x-1|,x=0时,y=0,不符合题意.故选A.3.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是()解析:函数h=f(t)是关于t的减函数,故排除C,D;刚一开始,h随着时间t的变化,下降得越来越慢,超过一半时,h随着时间t的变化,下降得越来越快,故对应的图象为B.故选B.函数图象的应用利用函数的图象研究函数的性质[例2](多选题)(2022·福建厦门月考)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,A.函数F(x)是偶函数B.方程F(x)=0有三个解C.函数F(x)在区间[-1,1]上单调递增D.函数F(x)有4个单调区间解析:根据函数f(x)=2-x2与g(x)=x2,画出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象,如图.由图象可知,函数F(x)=min{f(x),g(x)}关于y轴对称,所以A项正确;函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)=0有三个解,所以B项正确;函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确.故选ABD.利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.确定零点个数、解不等式[例3](1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)(2)已知f(x)=|lgx|,x>解析:(1)函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集,即2x>x+1的解集,在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=x+1的图象(如图所示),结合图象易得2x>x+1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.(2)方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.答案:(1)D(2)5(1)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.(2)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.求参数的取值范围[例4]函数f(x)=lnxA.R B.(-∞,-e]C.[e,+∞) D.解析:设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,则h(x)=f(-x)=ln作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象如图所示.因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点,所以y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,所以-a≤-e,即a≥e.故选C.利用函数图象求参数问题,一般先准确地作出函数图象,利用函数图象的直观性,结合其性质,求解参数问题.[针对训练]1.(多选题)某同学在研究函数f(x)=x1+A.f(x)的图象关于点(-1,1)对称B.f(x)是单调函数C.f(x)的值域为(-1,1)D.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点解析:作出y=f(x)的图象,如图所示.对于A,f(x)的图象关于(0,0)对称,不关于点(-1,1)对称,故A错误;对于B,f(x)是R上的增函数,故B正确;对于C,由图象知,f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于D,令g(x)=f(x)-x=0,得x(11+|x2.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}解析:在同一平面直角坐标系内作出函数g(x)=log2(x+1)的函数图象如图所示,由图可知交点D(1,1),因此不等式f(x)≥g(x)的解集为(-1,1].故选C.3.已知f(x)=2xA.(0,1) B.(0,2)∪(2,3)C.(0,2) D.(0,3-1)∪(3-1,2)解析:作出f(x)的函数图象如图所示.因为y=f(x)-c有两个零点,所以f(x)=c有两解,所以0<c<1.故选A.[例1]已知函数y=f(x)的图象如图1所示,则图2对应的函数有可能是()A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)解析:对A选项,当x<0时,f(x)<0,所以xf(x)>0,且x→-∞时,f(x)→0,所以xf(x)→0;当x>0时,f(x)>0,所以xf(x)>0,且x→+∞时,f(x)→+∞,所以xf(x)→+∞;当x=0时,f(0)=0,故选项A正确;对B选项,因为y=f(x2)为偶函数,这与图象不符,所以选项B错误;对C选项,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,这与图象不符,故选项C错误;对D选项,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,这与图象不符,故选项D错误.故选A.