高考数学复习第十章　第一节　随机抽样（导学案）

第十章统计与成对数据的统计分析第一节随机抽样1.知道获取数据的基本途径.2.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.1.调查中的常用术语名称定义总体一个调查中调查对象的__全体__

个体组成总体的每一个调查对象全面调查对__每一个__调查对象都进行调查的方法,又称普查

抽样调查根据一定目的,从总体中抽取__一部分__个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法

样本从总体中抽取的那部分个体样本量样本中包含的个体数样本数据调查样本获得的变量值点睛通过抽样生成样本后,样本量随之确定,经过测量后样本数据也随之确定.2.简单随机抽样(1)分类:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(2)方法:抽签法和随机数法3.总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y=Y1+Y2+…+Y②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=

1N∑i=1k(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称y=y1+y2+…+4.分层随机抽样按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样.(1)每一个子总体称为层,在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(2)如果总体分为两层,两层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,两层的样本平均数分别为x,y,两层的总体平均数分别为X,Y,总体平均数为W,样本平均数为w.则w=mm+nx+nm+n(3)在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.1.不论简单随机抽样还是分层随机抽样,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.教材改编结论应用易错易混1,53,42,61.(教材变式)为了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析,在这个问题中,200是 ()A.总体 B.个体C.样本量 D.样本数据解析：选C.根据各自的定义可以知道.2.(抽样方法选择错误)下列抽样试验中,适合用抽签法的是 ()A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B.选项A中总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;选项B中总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;选项D中总体中的个体数较大,不适合用抽签法.3.(结论1)在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,从中抽取容量为20的一个样本,则每个个体被抽到的概率为 ()A.1120 B.120 C.160 解析：选D.根据抽样的概念知,在抽样过程中每个个体被抽到的概率是均等的,所以每个个体被抽到的概率为P=20120=14.(结论2)为了增强学生的主人翁意识,学校决定召开座谈会征求学生对学校建设的意见和建议,采用分层随机抽样的方法从高一1200人、高二1450人、高三n人中,抽取80人参加座谈会,已知高一年级被抽取的人数为24,那么高三年级人数n为 ()A.1250 B.1300 C.1350 D.1400解析：选C.利用分层随机抽样的方法可知抽取比例为801200+1450+n,又因为高一被抽取的人数为24,所以245.(教材变式)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为 ()A.3 B.5 C.10 D.11解析：选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11.6.(不会读数导致错误)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第7列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为__________.(下面摘取了利用R统计软件生成的随机数表的第7行至第11行)

844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：由题意,从随机数表第7行第7列的数开始向右读,对应的编号依次为533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重复的都不符合条件,故符合条件的前三个编号依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的编号是217.答案:217题型一简单随机抽样[典例1](1)(多选题)下列抽样方法不是简单随机抽样的是 ()A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本B.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本C.箱子里共有100个零件,今从中选取10个零件进行检验,在抽样操作时,每次任意地拿出1个零件进行质量检验,检验后不再把它放回箱子里,直到抽取10个零件为止D.某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查解析：选AB.A不是,因为传送带上的产品数量不确定;B不是,因为个体的数量无限;C是,因为满足简单随机抽样的定义;D是,因为一次性抽取和逐个不放回地随机抽取是等价的.(2)某校高三共有10个班,编号分别为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高三(5)班被抽到的概率为a,高三(6)班被抽到的概率为b,则a=__________;b=__________.

解析：由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的概率相等,故高三(5)班和高三(6)班被抽到的概率均为310.故a=310,b=答案:310(3)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为12的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为14,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 (A.14 B.13 C.415 解析：选C.根据题意,11n-1=14,解得n=45.故每个个体被抽到的概率为抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个数较少的情况;(2)随机数法适用于总体中个数较多的情况,而且抽取样本时选取的位数要与个体编号的位数保持一致,还要剔除掉重复出现的编号.提醒一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签法是否方便;二是号签是否易搅匀.1.下列关于简单随机抽样的叙述不正确的是 ()A.可以放回抽取,也可以不放回抽取B.它是一种最简单、最基本的抽样方法C.总体中的个数必须是有限的D.先被抽取的个体被抽到的概率要大解析：选D.由简单随机抽样的特点可以判断A,B,C都正确,并且在抽样过程中,每个个体被抽到的概率都相等,不分先后.2.(2023·西安模拟)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体甲被抽到的概率为 ()A.1100 B.120 C.15 解析：选B.一个总体含有100个个体,每个个体被抽到的概率相等,所以以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为5100=1【加练备选】(2022·泉州模拟)从一群做游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续做游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为__________.

解析：设参加游戏的小孩有x人,根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的,可得kx=nm,解得x=kmn答案:km题型二样本平均数的计算[典例2](1)(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.

解析：由4+2a+(3答案:2(2)已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则∑i=1200xiA.13 B.14.4 C.15 D.15.4解析：选B.由已知得∑i=1200xi+∑i当总体量较大时,计算总体平均数较困难.利用样本平均数估计总体平均数显得尤为重要.提醒熟记平均数的计算公式.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如表数据:直径(单位:cm)121314频数12344估计这50个零件的直径大约为__________cm.

解析：12×12+13×34+14×450=12.84(cm)答案:12.84题型三分层随机抽样角度1利用抽样比例求解[典例3]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为1200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3.已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为__________人.

解析：由已知高一年级抽取的比例为2401200=15,所以kk故高三年级抽取的人数为1200×32+5+3=360答案:360[变式1]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3.已知高二年级共抽取了600人,则高三年级抽取的人数为__________人.

解析：设高三年级抽取的人数为x,由已知高二年级与高三年级抽取的比例为5∶3,所以53=600x,得x答案:360[变式2]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,三个年级学生人数之比依次为2∶5∶3.已知高二年级共抽取了600人,则n=__________.

解析：由已知高二年级抽取的比例为52+5+3,所以52+5+3=600n,得答案:1200角度2抽样方法的选择[典例4](多选题)下列问题中,不适合用分层随机抽样法抽样的是 ()A.某会堂有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40,有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检查C.某地农田有山地8000亩,丘陵12000亩,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计该地农田平均产量D.从50个零件中抽取5个做质量检验解析：选ABD.选项A的总体中的个体无明显差异,且总体容量较大,故不宜采用分层随机抽样法;选项B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;选项C总体容量较大,且各类农田的产量有差别,宜采用分层随机抽样法;选项D与选项B类似,采用简单随机抽样比较方便.1.使用分层随机抽样的前提总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.2.使用分层随机抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.3.分层随机抽样的比例式样本容量总体容量=要完成下列两项调查:(1)某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标;(2)从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况;应采用的抽样方法分别是 ()A.(1)用简单随机抽样,(2)用分层随机抽样B.(1)(2)都用简单随机抽样C.(1)用分层随机抽样,(2)用简单随机抽样D.(1)(2)都用分层随机抽样解析：选C.因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响,而社区家庭收入差距明显,所以(1)用分层随机抽样;从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况,个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,所以(2)用简单随机抽样.【加练备选】现要完成下列3项抽样调查:①从15种疫苗中抽取