2025届上海市松江区统考高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2025届上海市松江区统考高一数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点和点，且，则实数的值是（）A．或 B．或 C．或 D．或2．下列表达式正确的是（）①，②若，则③若，则④若，则A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．已知向量若与平行，则实数的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．24．若向量，，则在方向上的投影为（）A．-2 B．2 C． D．5．已知点和点，且，则实数的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或66．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．7．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为()A．①随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法8．若函数有零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A． B． C． D．10．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为A．分 B．分 C．分 D．分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________.12．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为_________.245682535557513．已知向量满足，则14．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．15．中，，则A的取值范围为______．16．已知向量，，且，则的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个，求至多有人在分数段内的概率．19．如图，在三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧面是矩形，分别是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，，求三棱锥的体积.20．已知关于的函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.21．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

直接利用两点间距离公式得到答案.【详解】已知点和点故答案选A【点睛】本题考查了两点间距离公式，意在考查学生的计算能力.2、D【解析】

根据基本不等式、不等式的性质即可【详解】对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。对于②若，则，若，显然不成立。对于③若，则，则正确。对于④若，则，则，正确。所以选择D【点睛】本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。3、D【解析】

因为，所以由于与平行，得，解得.4、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为=-2故选A5、A【解析】

根据空间中两点间距离公式建立方程求得结果.【详解】解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题.6、A【解析】

在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.【详解】根据对称性，点关于轴对称的点的坐标为.故选A.【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.7、B【解析】①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显①用分层抽样法，而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法故选B8、D【解析】

令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．【详解】令，得，，令，则，所以，，构造函数，其中，由于，，，所以，当时，直线与函数在区间有交点，因此，实数的取值范围是，故选D．【点睛】本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．9、A【解析】

求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.【详解】解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，其中恰好有1辆汽车超速的有，，共8个基本事件，则恰好有1辆汽车超速的概率为：，故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.10、B【解析】

首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、6【解析】

利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.12、60【解析】

由样本中心过线性回归方程，求得，，代入即可求得【详解】由题知：，，将代入得故答案为：60【点睛】本题考查样本中心与最小二乘法公式的关系，易错点为将直接代入求解，属于中档题13、【解析】试题分析：=,又，，代入可得8，所以考点：向量的数量积运算.14、【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为.15、【解析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因为，所以．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．16、【解析】

利用共线向量的坐标表示求出的值，可计算出向量的坐标，然后利用向量的模长公式可求出的值.【详解】，，且，，解得，，则，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

（1）利用等差中项得到关于，的方程组，利用通项公式求得公差，则数列的通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，得，作差可得，再由数列的分组求和可得数列的前项和．【详解】（1）在等差数列中，由，得，又，可得或．，，则．.（2）由，得，，即，满足上式，．则，数列的前项和，．【点睛】本题考查数列递推式、临差法求数列通项、数列的分组求和等知识，考查运算求解能力，求解时要注意数列通项中的下标的限制.18、(1)0.3，直方图见解析；(2)121；(3).【解析】

（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，由中位线定理证得，即证得平行四边形，于是有，这样就证得线面平行；（2）由等体积法变换后可计算．【详解】证明：（1）取中点为，连接，是平行四边形，平面，平面，∴平面解：（2）是线段中点，则【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积．线面平行的证明关键是找到线线平行，而棱锥的体积常常用等积变换，转化顶点与底．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见