2023-2024学年广东省珠海市高一下学期5月期中联考数学检测试题（含答案）

2023-2024学年广东省珠海市高一下学期5月期中联考数学检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）1．若复数满足，则的虚部等于（

）A．4 B．2 C．-2 D．-42．下列说法正确的是（

）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量3．数据的第15百分位数为（

）A．70 B．69 C．75 D．964．在中，若，则角等于（

）A． B． C．或 D．或5．在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（

）A． B.C． D．6．如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（

） B． C． D．7．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（

）

A． B． C． D．8．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（

）A．0 B． C．3 D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是（

）

A． B．C．在上的投影向量为 D．11．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上一个动点，则（

）A．存在点G，使直线平面B．存在点G，使平面∥平面C．三棱锥的体积为定值D．平面截正方体所得截面的最大面积为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知复数满足，则.13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为m.(第13题图）（第14题图）14．如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题13分）已知，，与的夹角是.(1)计算；(2)当k为何值时，?16．（本题15分）锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若边上的中线长为，求的面积.17．（本题15分）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.(1)求证：平面；(2)求与平面所成的角.18．（本题17分）已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.

今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设(1)计算的大小；(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.19．（本题17分）如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.高一数学答案单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CBABDADC多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）题号91011答案BDBCDACD填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．14．四、解答题（本大题共6小题，共77分）15．(1)(2)【详解】（1），，与的夹角是，则，................................3分即有；..................................................6分（2）由可得，即，....................10分即，解得.则当k为时，；....................12分综上，（1），（2）...................13分16．(1)；(2).【详解】（1）因为，所以，.............1分又，所以，所以，....................4分所以或，................5分若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，.................6分从而，则，又，所以...................8分（2）由余弦定理，得，即①，..............10分设的中点为，则，两边同时平方可得：，..............12分即：，即：②，由①可得：，..................13分于是：的面积.......................15分(1)证明见解析；(2)30°【详解】(1)因为，是的中点，所以，故四边形是菱形，从而，...................2分所以沿着翻折成后，，,.........................4分又因为，..........................5分所以平面，........................6分由题意，易知，，所以四边形是平行四边形，故，..........................7分所以平面；...............................8分(2)因为平面，所以与平面所成的角为，........................10分由已知条件，可知，，..................13分所以是正三角形，所以，...............14分所以与平面所成的角为30°...............................15分18．解：（1）因为，，所以，..................3分又，所以，...............................4分所以，即的大小为...................7分（2）①如图所示：

依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，............10分质点乙到达D点，且有，故......................12分②时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：

，，则，.............14分所以两质点间的距离，....................16分因为，所以当时，取得最小值为，所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米.......................17分19．解：(1)证明见解析(2)(3)线段上当点满足，使平面．【详解】（1）因为底面，平面，所以..............1分又因为，平面，所以平面，.................3分又因为平面，所以..................4分（2）设点到平面的距离为.因为底面，，为的中点，所以点到平面的距离为..................5分又因为在中，，，．则，....................7分又因为底面，平面，所以，又因为，，为的中点，所以，................................8分又因为由（1）知平面，平面，所以，则.所以，则，则的面积为，.......................9分所以，解得..............10分（3）线段上当点满足，使平面....................11分证明：取CH的中点K，连接MK，NK．因为为的中点，所以由为的中位线，可得.又因为平面，平面ABC，所