中考数学复习专题07 圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题（解析版）

专题07圆与母型相似：切割线定理反A模型压轴题专题(解析版)知识剖析知识剖析切割线定理：反A模型经典例题经典例题【解答】(1)证明：连OD,OE,的延长线于点E,若BC=6,如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠1,∴∠1=∠CDA,∴∠CDA+∠又∵∠CDA=∠CBD,的切线，∴ED=EB,OE的切线，∴ED=EB,OE⊥DB,∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,而而(2)过点B作QO的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,求BE的长.【解答】(1)证明：如图，连接OD,∵CD²=CA·CB,∵∠C=∠C,∴△DCA∽△BCD,为QO的直径，∴∠BDA=90°,(2)∵BE、CE是QO的切线，∴ED=EB,∵△DCA∽△BCD,∴∠DBA=∠CDA,∴3.(长郡)已知：如图，◎O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连结PD.(1)求证：PD是◎O的切线.求直径AB的长.求直径AB的长.9【解答】(1)证明：连接OD,OC,∵PC是QO的切线，∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径，∴弧BD=弧BC,∴∠DOP=∠COP,在△DOP和△COP中，∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠PDO=∠PCO=90°,∵D在QO上，∴PD是QO的切线；(2)证明：∵AB是QO的直径，∴∠ADB=90°,∵∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO,(3)解：∵DC⊥AB,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠CDB+∠DBM=90°,∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.4.(明德)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D,且AC平分∠DAB,延长AB交DC于点E,CF⊥AB于点F.(2)若EB=2,EC=4,求QO的半径及AC、AD的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.∴∠DAC=∠CAO,∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠ACD+∠ACO=90°,∴直线DE与QO相切.(2)∵EC是QO的切线，∴EC²=EB·EA,而EC=4,EB=2,∴EA=8,AB=8-2=6;∴QO的半径为3.∵AC平分∠DAE,∴∵AC平分∠DAB,CD⊥AD,CF⊥AB,∴CD=CF;在△ADC与△AFC为⊙O的直径，∴∠ACB=90°;∴△ADC≌△为⊙O的直径，∴∠ACB=90°;;1;;1;;;即QO的半径及AC、AD的长分别为3,,.5.(雅礼)如图，在QO中，AB为直径，OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点E,且EF=ED.(1)求证：DE是QO的切线(2)若探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；(3)在(2)的条件下，若OF=1,求⊙O的半径和CD的长.【解答】(1)证明：连接OD,如图，∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF,∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∵点D在QO上，∴DE是QO的切线；(2)解；线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE.证明：∵AB为QO直径，∴∠ADB=90°,ABDA,∴,∴ABDA,∴,∴(3)解：设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径∵OF=1,∴OE=1+2x,在Rt△ODE中，由勾股定理可得：3.:∴AB=3x=6,∴圆O的半径为3.过点O作OH⊥CD,,·,·∵OC=OD,∴CD=2CH,在Rt△OCF中在Rt△OCH中，6.(青竹湖)如图，已知AB是QO的直径，直线AC与QO相切于点A,过点B作BD//OC交QO于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点E.(1)求证：CD是QO的切线.(3)若BE=1,;求线段AD的长度.∴∠CAO=∠CDO,∵AC是QO的切线，∴∠CAO=90°=∠CDO,即OD⊥EC,∵OD是QO的半径，,·,·(3)∵∠ACO+∠COA=90°,∠BAD+∠OBD=90°,而∠OB由△EBD∽△EDA,∴设BD=a,则AD=设BD=a,则AD=即a²+(2a)²=3²,解得,∴(2)探究：PE与DE和AE之间的关系；图(1)图(2)(2)解：连接BP,则∠ABP=∠CBP.∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD,∴∠BPE=∠PBE.∴BE=PE.在△ABE和△BDE中，∠BAE=∠EBD,∠BED=∠AEB,∴△ABE∽△BDE.(3)解：∵FE²=FB·FA=FB(FB+AB),而FE=AB,∴AB²=3(3+AB).设AB=x,则x²-3x-9=0,∴(取正值).由(1)在△AFG中，BC//FG,∴(3)在(2)的条件下，连接AF,若BD=AF,求AD的长.∴/DGC=/CDF,∴/DCG+/CDF=90°,·DF//BC,∴∠CDF=∠DCB,∴/DCG+/DCB=90°,∵四边形ADCF内接于Q0,∴∠ADC+∠AFC=180°,又∵∠BDC+∠9.(麓山国际)如图，AB是QO的直径，点C是QO上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D,直(1)求证：AC平分∠DAB;(3)若AB=14,求线段PC的长【解答】(1)证明：∵PD切QO于点C,∴OC⊥PD,又∵AD⊥PD,∴OC//AD,∴∠ACO=∠DAC.(2)证明：∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°.又∵AB为QO的直径，∴∠ACB=90°.∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB.又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB.∵CE(3)解：∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴设PC设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中，PO=3k+7,OC=7,∵PC²+OC²=Op²,.∴(4k)²+7²=(3k+7)²,∴k=6(k=0不合题意，舍去).∴PC=4k=4×6=24.(2)若QO的半径为5,求CD和AD的长；(3)在(2)的条件下，线段DF分别交AC,BC于点E,F且∠CEF=45°,求CF的长.∵∠ACD=∠B,∴∠ACD=∠BCO,∴∠ACD+∠OCA