2024中考数学压轴题（选择题）（解析版）

压轴题(选择题)CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为()A.1:3B.1:2C.√2:2D.(√2-1):1【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可.【详解】解：如图取DE中点O,连接OC.∵BC与圆O相切.∵点O是DE的中点.故答案是：1:2.【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.2.在正方形ABCD中，AB=2,点E是BC边的中点，连接DE,延长EC至点F,使得EF=DE,过点F作FG⊥DE,分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN,下列正确的是：;②MN=NC;A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】解：①中由FG⊥DE即可得到∠GFB=∠EDC,再由正切等于对边比邻边即可求解；②中先证明△DEC=△FEM得到EM=EC,DM=FC,再证明△DMN=△FCN即可求解；【详解】解：①∵FG⊥DE,∴∠DMF=90°=∠NCF,且对顶角∠MND=∠CNF,∵ABCD为正方形，E是BC的中点，①正确；②由①知∠MDN=∠CFN,∴△DEC≌△FEM(SAS),∴Rt△GBE=Rt△GME(HL),∵EF=DE=√EC²+CD²=√5,CF=EF-EC=√5-1【答案】C连接BE,由折叠可知BO=GO,∴∠AEB=30°,,故④正确.综合，正确的为①②④.故选C.A.1B.2C.3D.4∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°,∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°,A.①③B.②③C.②④D.③④③过P作PM⊥BO,垂足为M,过P作PN⊥AO,垂足为N,9,S△Aop=S△BoP,AO=BO,④设P(a,b),则B(a,,Ab),综上，正确的为②③,故选B.跟踪训练跟踪训练1.(统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,点D在斜边AB上，以BD为直径的Q0经过边AC上E,连接BE,且BE平分∠ABC,若⊙O的半径为3,AD=2,则线段BC的长为()A.【答案】CB.8C.D.△ABC,得到A0:AB=OE:BC代入有关数据，即可求出BC的长.【详解】解：如图，连接OE,∴△AOE~△ABC,∴AO=AD+OD=2+3=5,AB=AD+BD=2+6=8,【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质.2.(统考二模)船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险.如图，A、B表示灯塔，【答案】【答案】A【分析】根据圆周角定理及三角形外角的性质解答即可.过圆心，连接OD,若OD=5,CD=8,则BE的长为()于点E,且BE经【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键.4.(深圳中学校联考二模)如图，在位于y轴右侧且半径为6的QP,从QA的位置沿直线x=6向上平移，交直线y=x于B、C点，且F是QP与y轴的一个公共点，若BC=2√34,则四边形OAPF的面积是()A.42B.64C.68D.48【分析】作CQ⊥x轴交x轴于Q,作PM⊥BC交BC于M,BC与QA相交于点R,连接PC,根据题意可得四边再由垂径定理结合勾股定理即可得到PR=2,设点P的坐标为(6,t),则PR=t-6,列出方程t-6=2,求出t的值，即可求出面积.AC.D.2√3π【答案】B【分析】连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到H为AB的中点，证明△AOG~△HOA,可求圆的求出CB的长，在直角三角形AHC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的圆上，当E位于点B时，CH⊥AE,此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，在直角三角形ACH中，利用锐角三角函数定义求出∠CAH的度数，进而确定出A所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出A的长，即可求出点F所经过的路径长.【详解】解：连接AC,AO,,∵AG是⊙0的切线，即OA²=OH·OG,·,∴OA=4或OA=0(不符合题意，舍去)∴OH=2,AH=√AO²-OH²=2V3=BH∴△ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的圆上，当E位于点B时，CH⊥AE,此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，∴当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为H的长是解本题的关键.6.(统考一模)如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F,连接CE,A.2B.C.D.【答案】C【答案】C【分析】设射线DF交OB于点G,连接BG,证明∠DCE=∠G,勾股定理得出GD,进而根据sin∠DCE=sin∠G,列出方程，解方程即可求解.【详解】解：如图所示，设射线DF交QB于点G,连接BG,∴GC是⊙B的直径，∴∠DCE=90°-∠GDC=∠G,GD=√CD2+GC²=4V5,【点睛】本题考查了直角所对的弦是直角，正弦的定义，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.7.(统考二模)如图，点O为△ABC的AB边上的一点，Q0经过点B且恰好与边AC相切于点C,若∠B=30°,AC=2,则阴影部分的面积为()A.D.【答案】D【答案】D【分析】连接OC,由切线性质可知∠ACO=90°,由OC=OB,∠B=30°,可得∠AOC=60°,由AC=2,利用锐角三角形函数可得9再根据S=S△AOC—S扇形coD,即可求得结果.【详解】解：连接OC,∵AC与相切Q0于点C,【点睛】本题考查切线的性质定理，解直角三角形，扇形的面积公式，连接切点与圆心是解决问题的关键.①DE+BF=EF②BN⊥AE③.正确的是()【答案】C【答案】C【分析】延长CD至H,使DH=BF,证明△ABF=△ADH,推出AF=AH,∠BAF=∠DAH,∠AFB=∠H,利用SAS证明△EAF=△EAH,可判断①;利用余角关系可判断②;在Rt△CEF中，由勾股定理计算可判断③;证明△BGF~△EAH,利用相似三角形的性质可判断④.【详解】解：延长CD至H,使DH=BF,∴AB=BC=CD=DA=4,∠ABF=∠C=∠ADC=∠ADH∴AF=AH,∠BAF=∠DAH,∠AFB=∠H,又AE=AE,设BF=DH=x,在Rt△CEF中，由勾股定理得(4-x)²+2²=(2+x)²解解,,∴∠BGF=∠BAF+∠ABG=∠BAF+∠DAE=45°=∠EAH,④正确；④正确；综上，正确的有①②④,【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.在CD上9.(统考一模)如图，正方形ABCD的边长为12,E是AB中点，F是对角线AC上一点在CD上【答案】C据正方形的性质可求出AC的长，△AFN是等腰直角三角形，再由可得AF=4√2,进而得到AN=FN=FH=5√2,即可求解.【详解】解：如图，过点F分别作FM⊥EG,FN⊥AB,垂足分别为M,N,过点E作EP⊥EG于点E,则FMIIEP,=12√2,△AFN是等腰直角三角形，∴NE=AE-AN=2,∴EF=√FN2+NE²=2√5,∴△EFM是等腰直角三角形，∠EAF=∠PEF=45°,∴△AEF~△EPF,,∴△HFM~△HPE,∴CH=AC-AF-FH=12V2-4V2-5V2=3√2【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明△AEF~△EPF,△HFM~△HPE是解题的关键.10.(模拟预测)如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC,过F作FH⊥BE,交AB于G,过H作HM⊥AB于M,若AB=9,AE=3,则下列结论中：①△ABE≥△CBF;②BE=FG;③√2DH=EH+FH;其中结论正确有()【答案】DBF,由∠FGB=∠FBA得到BF=FG即可判定②;延长BE到Q,使EQ=FH,连接DQ,证明△DEQ=△DFH,推出DQ=DH,∠QDE=∠FDH,求出∠QDH=90°,得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得EH+FH=99【详解】∵四边形ABCD是正方形在△ABE和△CBF中即可判定④.延长BE到Q,使EQ=FH,连接DQ,如图：∴EH+FH=EH+EQ=HQ=V2DH设BH=xFH2=EF2-EH2=BF2-BH2 A.1个B.2个C.3个D.4个∴△ADF=△CDF(SAS),。,。,即FC²=EF·FG,故②正确；∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°,又∵DE⊥BC,又∵ADⅡBC,∴△ADF~△BEF,由②已证FC²=EF·FG,设FC=2k,EF=3k,,故③正确；设DF=2a,BF=3a,∴在Rt△BDE中，设FG=4m,EG=5m,则EF=9m,(负值舍去),故④正确，【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键.延长CD,交EF于点G,作AH⊥AC交EF于点H,作HN⊥AH分别交DG,BE于点M、N,若HM=MN,FH=1,则边BD的长为()DA.B.DHG=GE=x,则FG=1+x=AD,BD=GE=x,AB=AD+DB=1+x+x=1+2x,又HM=MN,则HG=GE,设则AC²=AD·AB=(1+x)(1+2x),在Rt△AFH中，由勾股定理，得AH²=AF²+FH²=(1+x)²+1²,因为AC=AH,所以(1+x)(1+2x)=(1+x)²+12,即x²+x=1,∴CD=FH=1,AC=AH.设HG=GE=x,则FG=1+x=AD,BD=GE=x,AB=AD+DB=1+x+x=1+2x,∴△ACB~△ADCAH²=AF²+FH²=(1+x)²+1²化简整理，得x²+x=1...【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，解一元二次方程，本题属四边形综合题目，熟练掌握相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键.13.(统考模拟预测)如图，已知正方形ABCD的边长为4,E是AB边延长线上一点，BE=2,F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H,则FH的长A.B.D.再由AG²+AF²=FG²,且AF=6-EF得2²+(6-EF)²=EF²,,AE=AB+BE=4+2=6,∵AG2+AF2=FG2,且AF=6-EF,14.(校考一模)如图，正方形纸片ABCD,P为正方形AD边上的一点(不与点A,点D重合).将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH,BH交EF于点M,连接PM.下列结论：①BE=PE;②BP=EF;③PB平分∠APG;④PH=AP+HC;⑤MH=MF,其中正确结论的个数是()A.5B.4C.3D.2【答案】B如图2,作FK⊥AB于K.设EF交BP于0.∵EF为对称轴，点B与点P为对称点，∠ABP+∠BEO=90°,∠BEO+∠EFK=90°,AB=EF9∴EF=BP,故②正确，如图3,过B作BQ⊥PH,垂足为Q.图3由(1)知∠APB=∠BPH,(BH=BHBC=BO设EF与BP的交点为点N,如图4,∴假设不正确，故⑤错误.【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键.15.(深圳市福田区石厦学校校考二模)如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC,过F作FH⊥BE,交AB于G,过H作HM⊥AB于M,若AB=9,AE=3,则下列结论中：①∠BGF=∠CFB;②√2DH=EH+FH;其中结论正确的是()A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③【答案】D【分析】①根据∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB,得到∠BGF=∠AEB,根据SAS证明△ABE≌△CBF,得到∠AEB=∠CFB,即可得到∠BGF=∠CFB;②将△DFH绕点D顺时针旋转90°,得到△DEN,证明N,E,EF²-EH²=BF²-BH²求出根求出'即可得到答案.【详解】①∵正方形ABCD中，AB=BC=9,∠A=∠C=90°,且AE=CF=3,99将△DFH绕点D顺时针旋转90°,得到△DEN,点F的对应点为点E,③连接EF∵AD=CD=9,AE=CF=3,,设BH=x,则EH=BE-BH=3V10-x,∵FH²=EF2-EH2=BF2-BH2,【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的判定定理和性质定理，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数定义.中考预测中考预测1.(校联考模拟预测)如图，AB是Q0的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD,此时点C的对应点D落在AB上，延长CD,交Q0于点E,若CE=4,则图中阴影部分的面积为()A.2πB.2√2C.2π-4D.2π-2√2【答案】【答案】C【分析】如图，连接OE,OC,过点O作OF⊥CE于点F,由旋转得AD=AC,可求出∠ADC=∠ACD=75°,【详解】解：如图，连接OE,OC,过点O作OF⊥CE于点F,∴OE=√OF²+EF²=√2²+2²=2√2,··0E=OCC.22.7⁰<α<23.1°D.23.1⁰<α<23.5°【分析】将QO沿BC翻折得到QO',将QO沿BD翻折得到QO",则Q0、QO'、QO”为等圆.依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC=DC=DE=B,从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数.【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键.【分析】过点O作OP⊥AB于点P,OQ⊥AC于点Q,OK⊥BC于点K,由于DE=FG=MN,所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A=50°,先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,再求【详解】解：过点O作OP⊥AB于点P,OQ⊥AC于点Q,OK⊥BC于点K=65°,=115°【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距.点E、F分别A.10√3B.10√2C.18D.6√699∴OP垂直平分AC,0Q垂直平分BC,又∵AB为Q0的直径，0E=OF,∴∠EMP=∠CMN=∠CNM=∠FNQ=45°,.,,∴PE=PM=PC-CM=2x-2√3,A.B.C.D.【详解】解：如图1,取EF的中点O,连接OB,OG,作射线BG,此时，如图2,:CGLBG∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°∵四边形ABCD是矩形，设AB=m在Rt△ABC中，∠BAC=60°,【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识.分面积是()【答案】AD.B.C.D.【答案】D∵AC是〇0的直径，△CBC,可得BC=HM,CM=BC+DN,故结论②正确；过点C作CG⊥DC于G,由“AAS”证明△CDE=△如图，过点N作NH⊥BC于H,∴DC=NH,DN=CH,如图，过点C作CG⊥D'C'于G,又∵CC'=CC',∴EC=CK=CB+BK=CB+DE,∴△AC'E的周长=AC'+AE+CE=AC'+AE+DE+CB=AB+AD=2AB,故结论④正确.综上所述，结论正确的有①②③④,共计4个.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键.9.(模拟预测)如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形.若裁切线AB的长为6,则裁切线CD的长是()A.3√2-2B.6-2√2C.2√3D.4-√3∴△ABG~△AHN~△HEQ解得CD=QE=3√2-210.(校考模拟预测)在矩形ABCD中，连接AC,过点B作BH⊥AC于点H交AD于点I,AE分别交BH、BC于点P、E,BF平分∠BC分别交AC、DC于点G、F●●法中，①△ABP≌△AGP;②四边形BPGE的面积④FC=2FD.⑤连接FH,则FH//A.①③④⑤B.①②④⑤C.①②③④D.①②③④⑤【答案】C②由①可得AQ是BG的垂直平分线，然后证明四边形BPGE是菱形，求出两条对角线的长即可解答；③过点P作PM⊥BE,垂足为M,利用菱形的面积求出PM,然后在Rt△PBM中求出sin∠PBC的值即可解的值，最后证明△ABG∽△CFG,即可解答；④先利用勾股定理求出的值，最后证明△ABG∽△CFG,即可解答；⑤通过计算求出的值进行比较即可判断.【详解】解：设AE与BF交于点Q,如图：∵AE平分∠BAC,BF平分∠IBC,,9;;AP=AP,设QE=a,BQ=2a,9∴PG//BC,过点P作PM⊥BE,垂足为M,在Rt△BPM中，故④正确；∴BI=√AB²+AI²=√42+32∴正确的有①②③④.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，是解题的关键.11.(统考一模)如图，正方形ABCD中，AB=4,点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1,连接CM、ND,过点M作MF//ND与∠EAD的平分线交于点F,连接CF分别与AD、ND交于点G、H,连接MH,则下列结论正确的有()个A.1B.2C.3D.49。9。“④作HI⊥MF于点I,先证△CPNo△CBM,求出PC,再通过证四边形MPHI是矩形，求得知道△HMF的底和高，即可求出答案.【答案】D【分析】①设MC与DN交点是P,通过证明△MBC≌△NCD得到∠PNC=∠CMB,又证明则∠PNC+∠PCN=90°求出∠NPC=90°,则MC⊥ND,即可得到答案.故①MC⊥ND正确.②延长AE,作FQ⊥AF于点Q,利用勾股定理求出MC=5,再通过△MBC∽△FQM得到又因为QA=QF,则可以求得QA=QF=3,进而求得MF=5,在Rt△FMC中，利用勾股定理得FC=√MF2+MC²=√52+52=5√2则可以求得sin∠MFC的值.③设(BM+DG)²=AM²+AG²存在，利用边与边的关系可以求出DG,符合题意，即可求出答案.设MC与ND交于点P,如图所示.∵四边形ABCD是正方形MB=AB-AM=4-1=3●●延长AE,作FQ⊥AF于点Q∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90°(3)设(BM+DG)²=AM²+AG²存在将其代入(BM+DG)²=AM²+AG²符合题意，故③正确.作HI⊥MF于点]综上所述四项全部正确，答案选D12.(模拟预测)如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3【答案】B∴△DAO~△APO,∴S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义的综合运用，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键.13.(统考模拟预测)在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰