2025版高考数学一轮总复习考点突破第二章函数2.4指数函数

第二章函数2.4指数函数考点一指数函数的图象及应用例1（1）二次函数y=ax2+A. B. C. D.解：根据指数函数定义，知y=abx中a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx图象的对称轴-b2a<0,可排除B，D.（2）已知函数fx=ax+1-2(a>0,且a≠1)解：y=fx的图象过定点-1,-1.由fx的图象不经过第四象限，得a>1，且f0故填-1,-1；（3）若函数fx=2x-2-解：令2x-2-b=0，得2x-2=b.令y=2x-2【点拨】①对于有关指数函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图象，数形结合求解.变式1（1）如图，曲线①②③④中不为函数y=2x，y=3A.① B.② C.③ D.④解：由指数函数图象的特点，知③是函数y=3x的图象，④是函数y=2x的图象.根据对称性，知①是函数y=12x（2）函数fx=ax-b的图象如图所示，其中a>1，b<0 B.C.0<a<1，b>解：由fx的图象，可知函数fx在定义域上单调递减.y=x-b是增函数，所以0<a<1.函数fx的图象是将（3）若函数fx=2x-A.0,4 B.0,+∞ C.3解：若fx=2x-4-a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，可转化为函数y=2x-4与y=a的图象有两个交点，且一个在y轴右侧考点二指数函数的性质及应用命题角度1比较指数幂的大小例2（1）已知a=243，b=A.c<b<a B.a<b解：因为a=243=423，b=425，所以a=423>（2）若25<2A.mn<mm<nm B.解：因为函数y=25x在R上单调递减，且25<25n<25m<1=250，所以1>n>m>0.所以函数y=mx在【点拨】比较两个幂的大小，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可做除法，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要对原式变形或利用中间量.变式2（1）已知a=32-0.3，bA.c<b<a B.b<a解：a=32-0.3=230.3∈0,1，c=231（2）已知函数fx=2x，记a=flog0.53，b=fA.a<b<c B.c<a解:由题意，知fx为偶函数.当x≥0时，fx单调递增，log0.53=-log23.因为命题角度2解不等式例3已知函数fx=2x-1,解：令函数gx=2x-1，x≥2，则函数gx单调递增.令hx=3x-3，x≤2，则函数hx单调递增.又g2=h2=3【点拨】利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.变式3函数fx=ln3x-2解：3x-2x2-4x≥综上，0<x≤12命题角度3综合应用例4（1）若函数fx=ax,x≥1,A.[4,8) B.4,8解：由题意，得函数fx是R上的增函数则由指数函数与一次函数单调性，可知应满足a>1,4-a2>0,a≥4-（2）已知函数fx满足fx-y=f解：满足fx-y=fxfy,考虑指数函数.又f2<【点拨】形如y=afx的函数，它的单调性与fx的单调性有关：若a>1，则函数fx的单调增（减）区间即函数y=afx的单调增（减）区间；若变式4（1）已知函数fx=132x2A.(-∞,8] B.-∞,8 C.[解：令u=2x2-ax，则其图象开口向上，对称轴为直线x=a4.因为外层函数y=13u在R上单调递减，函数fx=132x2-ax在区间（2）已知函数fx满足：①定义域为R；②f-x=fx；③∀x解：由条件③，可考虑指数函数的复合函数.由条件②，知fx为偶函数.令fx=ex例5已知y=4x-3⋅2[2,4]C.0,1∪[解：因为y=4x-所以1≤4x-3⋅2x+3≤7.故选D.【点拨】求y=afx或y=fa变式5已知函数fx=x2,gx