专题1.3三角形的内角-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.3三角形的内角姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•宁波模拟）已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入计算即可．【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．故选：A．2．（2019秋•下城区期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形【分析】先求出∠C的度数，进而可得出结论．【解析】∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．3．（2020•西湖区校级模拟）在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（）A．36° B．72° C．108° D．144°【分析】依据2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，即可得出2（180°﹣∠C）＝3∠C，进而得到∠C的度数，可得∠C的补角．【解析】∵2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝3∠C，∴∠C＝72°，∴∠C的补角等于108°，故选：C．4．（2020秋•涿鹿县期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【解析】∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC＝90°+12∠∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，故选：D．5．（2019秋•吴兴区期末）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．【解析】设三个内角度数为2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，则三个内角度数为40°、60°、80°，则这个三角形一定是锐角三角形，故选：A．6．（2020秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32° B．45° C．60° D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解析】如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．7．（2020秋•太湖县期末）在下列条件中：①∠A＝∠C﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝2：3：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠B﹣∠C＝90°中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案【解析】①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝2：3：5，设∠A＝2x，则2x+3x+5x＝180，x＝18°，∠C＝18°×5＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠B﹣∠C＝90°，则∠B＝90°+∠C，所以三角形为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③．故选：C．8．（2021•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α-β2 B．2α﹣β C．α+β2 D．【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．【解析】由题意得：BA＝BD，CA＝CE，∵CA＝CE，∠ACB＝β，∴∠AEC=在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°-＝90°+1∵BA＝BD，∴∠ADE=在△BAD中，∠B=180＝2α﹣β．故选：B．9．（2020•雁塔区校级模拟）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝90°，利用全等三角形的性质证明∠BED＝∠BAD即可解决问题．【解析】∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，∴△BFA≌△BFE（ASA），∴BA＝BE，∵BD＝BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，故选：B．10．（2020秋•芝罘区期中）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．【解析】连接BC．∵∠BDC＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵∠BGC＝100°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD+∠GCD=12∠ABD+12∠∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•温岭市期中）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C＝80°°．【分析】根据三角形内角和是180度来求∠C的度数即可．【解析】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则由三角形内角和定理知，∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣40°﹣60°＝80°．故答案是：80°．12．（2020•高青县一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，且相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，则∠B为45度．【分析】根据∠AEP＝∠B+∠ECB，只要求出∠ECB即可解决问题．【解析】∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，∵∠AEP＝∠B+∠ECB，∴∠B＝80°﹣35°＝45°，故答案为45．13．（2019秋•富阳区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝80°．【分析】利用三角形内角和定理结合条件可求得答案．【解析】∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，由三角形内角和定理可得：2x+3x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝4x°＝80°，故答案为：80°．14．（2019春•铁西区期末）如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形“．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠B＝35°或50°．【分析】根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．【解析】∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，∴2∠B+∠A＝90°或2∠A+∠B＝90°，解得，∠B＝35°或50，故答案为：35°或50°．15．（2019秋•苍南县期中）在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝50°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为140°或90°．【分析】根据题意可以求得∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝100°，∴∠C＝30°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝40°，∴∠ADC＝140°，当∠ADB＝90°时，则∠ADC＝90°，故答案为：140°或90°．16．（2020秋•大东区期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝32度．【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．【解析】由折叠可知：∠AEF＝2∠AED＝2∠FED，∵∠A+∠B＝106°，∴∠C＝180°﹣106°＝74°，∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝74°，∴∠AEF＝2∠AED＝148°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝32°．故答案为：32．17．（2020秋•南岗区校级月考）已知在△ABC中，∠A＝30°，BD是△ABC的高，∠BCD＝80°，则∠ACB＝80或100°．【分析】根据题意画出图形，当△ABC为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件即可得出∠ABC的度数．【解析】（1）如图，当△ABC为锐角三角形时，∠ACB＝∠BCD＝80°，（2）如图，当△ABC为钝角三角形时，∠ACB＝180°﹣∠BCD＝100°．故答案为：80°或100．18．（2020秋•兰州期末）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝35°．【分析】根据题意，已知∠A＝75°，∠B＝65°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【解析】如图，由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°．故答案为：35．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•诸暨市校级月考）如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB＝3：2：4，则∠BHC为多少度？【分析】先设∠A＝3x，∠ABC＝4x，∠ACB＝5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【解析】∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：2：4，故设∠A＝3x，∠ABC＝2x，∠ACB＝4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴3x+2x+4x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝3x＝60°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝30°+90°＝120°．20．（2019春•富阳区期中）如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，求∠AGD的度数．【分析】首先根据EF⊥BC，AD⊥BC得EF∥AD，进而可得∠2＝∠3，进而得到∠1＝∠3，可判断出DG∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DGA+∠BAC＝180°，进而得到答案．【解析】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AB，∴∠DGA+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝65°，∴∠AGD＝180°﹣65°＝115°．21．（2019春•玉环市期末）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，∠ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求∠BDC、∠EDC的度数．【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠BCD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BDC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDC＝∠BCD．【解析】∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠ACB=12∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°．22．（2019春•下城区期末）如图，BE是∠ABC的平分线，AE⊥AD，点C和点D在直线AB的同侧，设∠ABE＝α，∠BAE＝β．（1）若AD∥BC，探索α，β满足的数量关系，并说明理由．（2）若BE⊥AE，且β＝2α，求∠ABC的度数．（3）设γ＝∠DAB+∠ABC﹣180°，若γ＝17°，且α+3β＝125°，求3α+4β的度数．【分析】（1）如图1中，延长AE交BC于F．利用三角形的内角和定理即可解决问题．（2）在Rt△ABE中，利用三角形内角和定理即可解决问题．（3）构建方程组，利用整体代入的思想解决问题即可．【解析】（1）如图1中，延长AE交BC于F．∵AD∥BC，AE⊥AD，∴AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝2α，∴∠ABF+∠BAF＝90°，∴2α+β＝90°．（2）如图2中，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∴α+β＝90°，∵β＝2α，∴α＝30°，∴∠ABC＝2α＝60°．（3）由题意：90°+β+2α＝180°+17°①α+3β＝125°②，①+②可得3α+4β＝232°．23．（2019秋•文登区期末）已知：△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的BC边上的高，过点B做BF∥AE，交直线AD于点F．（1）如图1，若∠ABC＝70°，∠C＝30°，则∠AFB＝20°；（2）若（1）中的∠ABC＝α，∠ACB＝β，则∠AFB＝α-β2；（用α，β（3）如图2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，请求出∠AFB．（用α，β表示）【分析】（1）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC＝80°，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，根据平行线的性质可求解∠AFB的度数；（2）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC的度数，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，根据平行线的性质可求解∠AFB的度数；（3）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC的度数，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，根据平行线的性质可求解∠AFB的度数．【解析】（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，∵BF∥AE，∴∠AFB＝∠EAD＝20°，故答案为20°；（2）∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣α，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD=180°-α-β2-（90°﹣α∵BF∥AE，∴∠AFB＝∠EAD=α-β故答案为α-β2（3）不成立，∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠ABD＝180°﹣α，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，∴EAD＝∠BAE+∠BAD=180°-α-β2+（α﹣90∵BF∥AE，∴∠AFB+∠EAD＝180°，∴∠AFB＝180°-α-β24．（2019春•西湖区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）；（1）①若∠DCE＝42°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角