第7章 计数原理单元综合能力测试卷（新题型）-高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（解析版）

第第页第7章计数原理单元综合能力测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（

）A．90 B．180 C．220 D．360【答案】C【解析】小明选取节气的不同情况的种数为.故选：C2．的展开式中常数项为第（

）项A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】的通项为，令有.故的展开式中常数项为第5项.故选：B3．北京时间2023年10月26日19时34分，神州十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神州十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（

）A．504种 B．432种 C．384种 D．240种【答案】A【解析】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，故总共有种排法.故选：A.4．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】展开式的通项为，则的展开式中含项为，即的系数为.故选：A.5．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（

）种．A．120 B．240 C．480 D．960【答案】C【解析】从8个车位里选择5个相邻的车位，共有4种方式，即选，选一种方式将5辆车相邻停放，有种方式，则不同的泊车方案有种，故选：C.6．在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（

）A． B．2或 C．2 D．或【答案】D【解析】在二项式的展开式中，所有项的系数之和为，第项的系数，则，由，得，即，解得或，所以或.故选：D7．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，①当,颜色相同时涂色方法数是：，②当,颜色不相同时涂色方法数是：，满足题意的涂色方法总数是：．故选：A．8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知通项公式，所以，同时，上述两式相加得，所以，所以.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，为正整数且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对A：由组合数性质：可知，A正确；对B：，故B错误；对C：，，故，C错误；对D：，故D正确.故选：AD.10．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；B：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；C：因为，所以项的系数，D：对已知等式，两边同时求导，得，在该式中，令，则有，所以本选项正确，故选：ABD11．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（

）A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法【答案】ACD【解析】甲、乙、丙等人排成一列，对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，共有种排法，A对；对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，共有种，B对；对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C对；对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余个人全排，共有种排法，D对.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则.【答案】【解析】令得，所以.故答案为：13．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为．【答案】22【解析】依据题意，办法有类，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，由分类加法计数原理得共有种.故选：2214．若，则．【答案】【解析】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：个个个050131212由上表可知.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知的展开式中的所有二项式系数之和为．(1)求的值；(2)求展开式中的常数项．【解析】（1）展开式中所有二项式系数之和为，解得．（2）由（1）知所以展开式通项为，令，解得，则，所以展开式中的常数项为．16．（15分）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？【解析】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，由分步乘法计数原理，共有种坐法．（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，由分步乘法计数原理，共有种坐法．17．（15分）已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．(1)求实数a的值；(2)求的值（结果可保留幂的形式）．【解析】（1）（1）二项式的展开式中含的项为，∴，则，又，解得．（2）由（1）可得，令，则①，令，则②，∴由①＋②可得：；由①－②可得：．∴.18．（17分）请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：(1)求除以100的余数；(2)证明：（，且）．【解析】（1），由展开式可知，前100项都能被100整除，最后一项是，而其展开式的前100项都能被100整除，最后一项是，所以除以100的余数是1；（2）因为，即，故，即原不等式成立．19．（17分）设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得．(1)求的值，并写出时其中一种排列的情形．(2)若，求满足性质的所有排列的情形．(3)求数列的通项公式．【解析】（1）由性质的定义可知：当时，由1构成的排列不满足性质，故；当时，由构成的排列满足性质，故；当时，由构成的所有排列为：其中满足仅存在