第9章《整式乘法与因式分解》（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练）第9章《整式乘法与因式分解》考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.59一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（）A．a+a2＝a3 B．2a6÷a2＝2a3 C．2a2•3a3＝6a6 D．（3a3）2＝9a6解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意；B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意；C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意；D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意；故选：D．2．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．3．（2分）（2023秋•惠安县期末）若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5解：∵x2+mxy+25y2是一个完全平方式，∴mxy＝±2•x•5y，解得m＝±10．故选：A．4．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．5．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．6．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，①∵a*b＝0，∴4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正确；②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac，a*b+a*c＝4ab+4ac，∴a*（b+c）＝a*b+a*c，故②正确；③∵ab≠0，a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴÷＝•＝＝＝，故③正确；④∵a*b＝a2+4b2，∴4ab＝a2+4b2，∴a2﹣4ab+4b2＝0，∴（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴当a＝2b时，满足a*b＝a2+4b2，故④不正确；所以，上列结论，其中正确的是①②③，故选：A．7．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．8．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．9．（2分）（2021秋•重庆期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．10．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（）A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等解：（x+a）（2x+b）＝2x2+bx+2ax+ab＝2x2+（b+2a）x+ab，（2x+a）（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab＝2x2+（2b+a）x+ab，∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，∴p＝b+2a，q＝2b+a，∵p+q＝6，且p，q均为正整数，∴b+2a+2b+a＝6，整理得：a+b＝2．又p＝b+2a，q＝2b+a，∴p＝a+2，q＝b+2．∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．∵p，q均为正整数，∴p的取值为1，2，3，4，5．∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）．∵p，q均为正整数，∴q的取值为1，2，3，4，5．∴的最大值为1，的最小值为﹣3．故选项A正确，符合题意．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝﹣4．解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy＝（﹣4xy）÷xy＝﹣4，故答案为：﹣4．12．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝4049．解：设2024﹣A＝m，2023﹣A＝n，∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1，∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，∴mn＝2024，∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×2024＝1+4048＝4049，故答案为：4049．13．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是8．解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．14．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝﹣3．解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x＝﹣3，故答案为：﹣3．15．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝22023．解：∵x2﹣y2＝4，∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①，∴x﹣y＝2②，由①②解得：x＝2，y＝0，∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023．故答案为：22023．16．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣l；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…根据前面的规律，回答问题：当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝．解：根据规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1，∴，∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝．故答案为：．17．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形．（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b；（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．18．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为．解：由题意得：阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝（50x﹣100y﹣3xy+6y2）cm2，阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝（3xy﹣150y+9y2）cm2，∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2）＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x，∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，∴50﹣6y＝0，∴y＝，故答案为：．19．（2分）（2022秋•青云谱区期末）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是10x或﹣10x或．解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的项是10x或﹣10x，②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，∴可添加的项是，综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或，故答案为：10x或﹣10x或．20．（2分）（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为4037．解：∵（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴c1＝20192，∵（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴c2＝20182，∴c1﹣c2＝20192﹣20182＝（2019+2018）（2019﹣2018）＝4037，故答案为：4037．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3＝8x3﹣8y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2＝10．22．（6分）（2023秋•雁塔区校级期末）计算：（1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40]；（2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）；（3）先化简再求值：（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2，其中，b＝﹣2．解：（1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40]＝﹣16+[32÷（﹣8）﹣16×1]＝﹣16+（﹣4﹣16）＝﹣16+（﹣20）＝﹣36；（2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）＝9x2y4•（﹣6x3y）＝﹣54x5y5；（3）（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2＝9a2+6ab+b2﹣（9a2﹣b2）﹣6b2＝9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣6b2＝6ab﹣4b2，当，b＝﹣2时，原式＝6×（﹣）×（﹣2）﹣4×（﹣2）2＝4﹣4×4＝4﹣16＝﹣12．23．（8分）（2022秋•兴县期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．（1）填空：﹣6与8是关于2的“平衡数”；（2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．解：（1）由题意得，﹣6+8＝2，∴﹣6与8是关于2的“平衡数”．故答案为：2．（2）a+b＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k＝﹣4kx+4x+8﹣2k．即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k．∵a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，∴k＝1．∴n＝8﹣2×1＝6．24．（8分）（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：解：设x2﹣2x＝y原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为（x﹣1）4；（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，∴该同学因式分解的结果不彻底．故答案为：不彻底，（x﹣1）4．（2）设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．25．（8分）（2023秋•浚县期中）阅读理解：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②，由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21，∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．活学活用：（1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝147；（2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式．解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②，由①②解得：n＝7，m＝21，∴mn＝7×21＝147；故答案为：147；（2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b），∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②，由①②解得：b＝2，a＝1，∴另一个因式为（x+2）．26．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．（1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值；（2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值．拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×12＝49﹣24＝25，∴a2+b2的值为25；（2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b，∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2，∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，∴ab＝2023，∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×2023＝4+4046＝4050，∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050；拓展运用：Rt△ACF的面积＝，理由：设AC＝a，BC＝b，∵AB＝m，∴a+b＝m，∵S＝S1+S2，∴S＝a2+b2，∴Rt△ACF的面积＝AC•CF＝ab＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝．27．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a﹣b＝4，ab＝1，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18．根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：（1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝22；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面积之和．解：（1）∵（a+b）2＝100，a2+b2＝56，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝100﹣56＝44，∴ab＝22，故答案为：22；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2020＝b，∴a+b＝2023﹣x+x﹣2020＝3，∵（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，∴a2+b2＝2021，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝9﹣2021＝﹣