10.4三元一次方程组（解析版）

10.4三元一次方程组三元一次方程含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程．三元一次方程组把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组。三元一次方程组的解法(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．题型1：三元一次方程（组）的定义1．下列方程中，三元一次方程共有()(1)x+y+z=3；(2)x·y·z=3；(3)；(4)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用三元一次方程的定义判断即可．【解答】（1）x+y+z=3，是三元一次方程；（2）x·y·z=3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程；（3），是三元一次方程；（4）分母含有未知数，是分式方程；则三元一次方程有2个，故选：B【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是()A． B． C． D．【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【解答】根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程．故选：D题型2：解三元一次方程组2.方程组3x-2y=82y+3z=1x+5z=7的解是【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：3x-①+②得：3x+3z＝9，即x+z＝3④，③﹣④得：4z＝4，解得：z＝1，把z＝1代入④得：x+1＝3，解得：x＝2，把z＝1代入②得：2y+3＝1，解得：y＝﹣1，则方程组的解为x=2y=-1故答案为x=2y=-1【变式2-1】三元一次方程组x+y=4y+z=5x+z=7的解是x=3【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．【解答】解：x+y=4①①﹣②得：x﹣z＝﹣1④，③+④得：2x＝6，解得：x＝3，把x＝3代入①得：3+y＝4，解得：y＝1，把x＝3代入③得：3+z＝7，解得：z＝4，∴原方程组的解为：x=3y=1故答案为：x=3y=1【变式2-2】方程组x+2y+z=02x-y-z=13x-y-z=2的解是x=1【分析】①+②得出3x+y＝1④，③﹣②求x，把x＝1代入④求出y，把x＝1，y＝﹣2代入①求出z即可．【解答】解：x+2y+z=0①+②得：3x+y＝1④，③﹣②得：x＝1，把x＝1代入④得：3+y＝1，解得：y＝﹣2，把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0，解得：z＝3，所以原方程组的解为x=1y=-2故答案为：x=1y=-2【变式2-3】当x＝0、1、﹣1时，二次三项式ax2+bx+c的值分别为5、6、10，则a＝3，b＝﹣2，c＝5．【分析】把三对对应值分别代入ax2+bx+c得到c=5①a+b+c=6②a-b+c=10③，再②+③得到a+c＝8，然后把c＝5代入可求出a，再把a、c的值代入②【解答】解：根据题意得c=5①②+③得2a+2c＝16，即a+c＝8④，把①代入④得a+5＝8，解得a＝3⑤，把①、⑤代入②得3+b+5＝6，解得b＝﹣2，所以方程组的解为a=3b=-2故答案为3，﹣2，5．题型3：整体、代换与换元的思想解决三元一次方程组相关问题3.已知x+y=5y+z=7x+z=6，则x+y+z＝9【分析】三个方程相加，即可求出答案．【解答】解：x+y=5①①+②+③得：2x+2y+2z＝18，即x+y+z＝9．故答案为：9．【变式3-1】已知a、b、c满足a+2b+3c＝10，3a+2b+c＝70，则a+b+c＝20．【分析】将题目所给出的两个方程相加可得4a+4b+4c＝80，进而求出答案．【解答】解：a、b、c满足a+2b+3c＝10①，3a+2b+c＝70②，①+②得，4a+4b+4c＝80，所以a+b+c＝20，故答案为：20．【变式3-2】若x2=y3=z4【分析】由x2=y3=z4，得出x【解答】解：∵x2∴x=23y，z=∴2x-y+4z3y故答案为：179【变式3-3】已知x+y2=z+y3=x+z【分析】设x+y2=z+y3=x+z4=k，得到【解答】解：设x+y2=∴x+y=2k解得x=3∴代数式x-2y+z2x-y+z故答案35【变式3-4】已知xyz≠0，从方程组4x+y-3z=0x-y+z=0中求出x：y：z＝2：7：【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值．【解答】解：4x+y①+②得5x﹣2z＝0，解得x=25将x=25z代入②得y=∴x：y：z＝2：7：5．故答案为：2：7：5．一．选择题（共6小题）1．已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x+y＝3，则zA．9 B．﹣3 C．12 D．不确定【分析】用第二个方程减去第一个方程即可得到x+y与z的关系，然后根据x+y＝3，即可得到z的值，本题得以解决．【解答】解：2x+3y=z②﹣①，得x+y＝z+6，∵x+y＝3，∴z+6＝3，解得，z＝﹣3，故选：B．2．若x=3yy+4z=0（y≠0），则xA．65 B．-112 C．﹣12 【分析】先观察所给方程组与所求代数式的特点可发现，所求代数式中不含未知数y，故可用代入法把y消去，直接求出x、z的比值．【解答】解：①可变形为y=x3把③代入②得，x3+4z＝去分母、移项得，x＝﹣12z，两边同除以12得xz=-故选：C．3．解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x-y+z=-1③A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③【分析】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．【解答】解：解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x-y+z=-1③则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．故选：C．4．已知x+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，则xyz等于（）A．0 B．7 C．8 D．9【分析】①+②+③得出2x+2y+2z＝12，求出x+y+z＝6④，④﹣①求出z，④﹣②求出x，④﹣③求出y，再求出答案即可．【解答】解：由题意得：x+y=1①①+②+③，得2x+2y+2z＝12，x+y+z＝6④，④﹣①，得z＝5，④﹣②，得x＝1，④﹣③，得y＝0，所以xyz＝1×0×5＝0，故选：A．5．解方程组2x-A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．【解答】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，故选：B．6．三元一次方程组a-A．a+b=12a+b=4 B．3a+b=3C．a+b=13a-2c=19 D．【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．【解答】解：a②﹣①，得a+b＝1④②×3+③，得14a+7b＝28，即2a+b＝4⑤由④⑤可知，A选项正确，故选：A．二．填空题（共5小题）7．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+z2x-y+z=11【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴2x+y+z2x-y+z=故答案为：11．8．如果三元一次方程组为x+y=5y+z=6x+z=7，那么x+y+z＝9【分析】三个方程相加可得结论．【解答】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，∴x+y+z＝9．故答案为：9．9．已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，则3b+ca+2b=1【分析】根据已知变形后可得：a+2b＝18，3b+c＝18，代入可得结论．【解答】解：2a+13b+3c=90①②×3﹣①得：9a+27b+3c﹣2a﹣13b﹣3c＝216﹣90，7a+14b＝126，a+2b＝18，①×3﹣②×2得：6a+39b+9c﹣6a﹣18b﹣2c＝3b+c，3b+c＝270﹣144＝18∴3b+ca+2b故答案为：1．10．已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则x+y+zx-y+z=7【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．【解答】解：由题意得：x+2y-①×2﹣②得y＝11z，代入①得x＝﹣19z，原式=x+y+z故本题答案为：72911．已知x+y+z=15-3x-y+z=-25，x、y、z为非负数，且N＝5x+4y+z，则N的取值范围是55≤N≤65【分析】把x看作已知数表示出方程组的解，代入N求出范围即可．【解答】解：方程组整理得：y+z=15-①+②得：2y＝40﹣4x，解得：y＝20﹣2x，①﹣②得：2z＝2x﹣10，解得：z＝x﹣5，代入得：N＝5x+80﹣8x+x﹣5＝﹣2x+75，由x，y，z为非负数，得到20﹣2x≥0，x﹣5≥0，解得：5≤x≤10，即55≤﹣2x+75≤65，则N的范围是55≤N≤65．故答案为：55≤N≤65三．解答题（共3小题）12．解方程（组）：（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；（2）x-13（3）x2（4）3x-【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可；（3）先将方程组整理，再用加减消元法即可求解；（4）利用加减消元法即可求解．【解答】解：（1）4x+3＝2（x﹣1）+1，4x+3＝2x﹣2+14x﹣2x＝﹣2+1﹣32x＝﹣4，x＝﹣2；（2）x-132（x﹣1）﹣（x+2）＝3（4﹣x），2x﹣2﹣x﹣2＝12﹣3x，2x﹣x+3x＝12+2+2，4x＝16，x＝4；（2）3x+2y=12①①+②，得5x+5y＝40，即x+y＝8③，①﹣③×2，得x＝﹣4，将x＝﹣4代入③中，可得y＝12，即方程组的解为：x=-（4）3x-①﹣③×3，得3x+3z＝9，即x+z＝3④，④+③，得2x+5y＝﹣1⑤，⑤×3﹣①×2，得19y＝﹣19，即y＝﹣1，将y＝﹣1代入①中，得x＝2，将x＝2代入④中，得z＝1，即方程组的解为：x=2y=-113．解方程（组）（1）1-（2）3x-（3）12（4）3a-【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，即可；（2）采用加减消元法即可求解；（3）先将方程组整理，再用加减消元法即可求解；（4）利用加减消元法即可求解．【解答】解：（1）1-12x=16x-12-13x＝﹣6；（2）3x-①﹣②×3，得y＝1，将y＝1代入②中，可得x＝﹣1，即方程组的解为：x=-（3）将原方程化简整理，得3x+18y=4①①×4﹣②，得y=5将y=59代入①中，得x＝﹣即方程组的解为：x=-（4）3a①﹣③，得2a﹣2b＝8④，④﹣②，得b＝﹣2，将b＝﹣2代入②中，得a＝2，将b＝﹣2和a＝2代入③中，得c＝﹣1，即方程组的解为：a=2b=-214．解方程组：（1）5x+2y=-（2）x2（3）x+y-【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先化简二元一次方程组，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可；（