1.2直线的方程-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页1.2：直线的方程【考点梳理】考点一：直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距考点二：直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)示意图方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点考点三：直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.考点四：直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无考点五：直线各种形式方程的互化【题型归纳】题型一：直线点斜式方程有关的问题1．（2023·全国·高二专题）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（

）A． B．.C． D．【答案】A【分析】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为倾斜角为，则斜率，且过点，则，即.故选：A2．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校）的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出线段的中点的坐标，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.【详解】因为的三个顶点、、，则线段的中点为，所以，，所以，边上的中线所在直线方程为，即.故选：A.3．（2022秋·北京·高二人大附中校考期中）已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得的斜率，利用点斜式写出直线方程即可.【详解】设直线的倾斜角分别为，则，，故，又点在直线上，故直线的方程为，整理得：.故选：D.题型二：直线的两点式方程有关问题4．（2023·全国·高二专题练习）经过点的直线的两点式方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解【详解】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A5．（2023秋·高二课时练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点式直线方程即可求解.【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.故选:C6．（2022·高二课时练习）入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，则反射光线所在直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出关于的对称点，再用两点式方程即可求解.【详解】因为点关于的对称点为，所以所求的直线方程为，即.故选：A.题型三：直线的一般式方程问题7．（2023秋·高二课时练习）若方程表示一条直线，则实数满足（

）A． B．C． D．，，【答案】C【分析】根据二元一次方程表示一条直线的条件可得答案.【详解】因为方程表示一条直线，所以，，不能同时成立，解得．故选：C.8．（2023·全国·高二专题练习）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线【答案】B【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点，一定不经过原点，故A正确；当时直线即为，直线过二、三象限，当时直线即为，若，则，，直线过一、二、三象限，若，则，，直线过二、三、四象限，所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，故选：B9．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断.【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确；对于A：由整理得，故A正确；对于B：由整理得，故B正确；对于D：由整理得，故D错误；故选：D.题型四：直线过定点问题10．（2023·全国·高二专题练习）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线方程可化为，再解方程组即可.【详解】直线方程可化为，解方程组，得，即定点的坐标为.故选：A.11．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线方程即，一定经过和的交点，联立方程组可求定点的坐标．【详解】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B12．（2023·全国·高二专题练习）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.【详解】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，则，即，当且仅当时，等号成立所以的最大值为.故选：B.题型五：直线方程的综合性问题13．（2023秋·山西·高二校联考）已知的三个顶点分别为，，.(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程.（2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.【详解】（1），所以直线的斜率为，所以直线的方程为（2）线段的中点，所以直线所在直线方程为.

14．（2023秋·高二）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)直线经过点，斜率为；(2)直线与轴交点的横坐标为，倾斜角为；(3)直线经过点且垂直于轴；(4)直线经过点、.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据条件选择合适的直线方程并写成直线的一般式.【详解】（1）直线经过点，斜率为，其方程为，即.（2）直线与轴交点的横坐标为，倾斜角为，所以斜率，其方程为，即.（3）直线经过点且垂直于轴，斜率不存在，其方程为：.（4）直线经过点、，为水平直线，斜率为0，其方程为15．（2023秋·高二）已知直线的方程是.根据下列条件，分别求实数的值：(1)在轴上的截距为1；(2)的倾斜角为.【答案】(1)(2)【分析】（1）令直线方程中，用表示出，根据截距为1，列出关于的方程，即可得到的值；（2）由倾斜角的度数，得到直线的斜率，列出关于的方程，求出方程的解，即可得到的值.【详解】（1）因为直线的方程是，令，得到，又因为在轴上的截距为1，所以，解得.（2）因为的倾斜角为，所以，直线斜率，故，解得.【双基达标】一、单选题16．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故选：D17．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.【详解】解法一

当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：解法二

易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：18．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．【详解】因为直线过点，所以，由和都是正实数，所以，，．所以，当时取等号，即，时取等号，所以的最小值是.故选:B．19．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意设，则，解方程再结合题意可求出，即可得出答案.【详解】直线的斜率为，可设l的方程为.令，得，由题可知:，得，由于在第一象限与坐标轴围成三角形，所以，所以选C项．故选：C.20．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（

）①直线：过点②直线在轴的截距是2③直线的图像不经过第四象限④直线的倾斜角为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①代入验证即可；②当时可得在轴的截距；③由可判断；④先求斜率可得倾斜角.【详解】①将代入得，故正确；②当时，，故在轴的截距是，故错误；③由得，故，故其图像不经过第四象限，故正确；④的斜率为，故倾斜角为，故正确；故选：C21．（2023秋·高二课时练习）根据给定条件，求下列直线的方程：(1)直线经过点、；(2)直线与坐标轴的交点分别为、.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线两点式方程求解；（2）根据直线截距式求解.【详解】（1）因为直线经过点、两点，故直线的方程：，即.（2）因为直线与坐标轴的交点分别为、，所以直线方程为，即.22．（2023秋·高二）设直线的方程为.(1)已知直线在x轴上的截距为，求的值；(2)已知直线的斜率为1，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一般式方程求出截距，结合条件可得答案；（2）先把一般式化为斜截式，根据斜率的值可求答案.【详解】（1）令得，，由题意得，解得.（2）因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为由题意得，解得．【高分突破】一、单选题23．（2023·全国·高二专题练习）当点到直线的距离取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.【详解】将直线转化为，联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.故选：C.24．（2023·全国·高二专题练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线过点.如图，

由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.25．（2023秋·高二课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（

）A．三条直线的倾斜角之和为B．三条直线在y轴上的截距满足C．三条直线的倾斜角满足D．三条直线在x轴上的截距之和为．【答案】C【分析】根据直线方程的斜率、倾斜角、截距的概念逐项判断即可.【详解】设三条直线的倾斜角，且则，所以所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确；对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确；由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确；直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确.故选：C.26．（2023·全国·高二专题练习）已知入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，那么反射光线所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求入射光线所在直线与轴、轴分别交于点，根据对称性得到反射光线比经过点和点关于轴的对称点，进而求得反射光线的方程.【详解】由直线，令，可得；令，可得，即入射光线所在直线与轴、轴分别交于点,如图所示，根据对称性，反射光线比经过点和点关于轴的对称点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为.故选：B.

27．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围.【详解】直线的方程可化为，由，可得，所以，直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．二、多选题28．（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）关于直线，则下列结论正确的是（

）A．倾斜角为 B．斜率为C．在y轴上的截距为 D．在x轴上的截距为【答案】BD【分析】将直线一般式转化为斜截式，即可根据选项逐一求解.【详解】直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误，令，得，所以直线在x轴上的截距为，故D正确.故选：BD.29．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）下列说法正确的是（

）A．过点并且倾斜角为90°的直线方程为B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．过两点的直线的方程为【答案】AD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合截距的定义、直线的两点式方程进行逐一判断即可.【详解】A：直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故本选项正确；B：当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为，过点，所以有，所以本选项不正确；C：当直线的倾斜角为90°时，没有意义，所以本选项不正确；D：直线过两点，所以有，因此本选项正确，故选：AD30．（2023秋·江苏镇江·高二统考开学考试）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为120°B．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为C．直线l：恒过定点D．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则△AOB面积的最小值为4【答案】ACD【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角；对于C：整理得，令，运算求解即可；对于B、D：设直线l：，进而可得截距，根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为120°，故A正确；对于选项C：因为，整理得，令，解得，所以直线l恒过定点，故C正确；对于选项B、D：可知直线l的斜率存在，设为，则直线l：，令，解得，即直线l在y轴上的截距为；令，解得，即直线l在x轴上的截距为；对于B：若在x，y轴上截距互为相反数，则，解得或，所以直线方程为或，故B错误；对于D：直线l与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则，可知，可得面积，当且仅当，即时，等号成立，所以△AOB面积的最小值为4，故D正确；故选：ACD.31．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B．直线必过定点C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．过两点的所有直线的方程为【答案】AC【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误；根据直线系方程过定点，可判定B正确；根据时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误；根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确.【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点，可设直线方程为，又直线过点，则，即，此时直线方程为，满足题意，所以A错误；对于B中：直线可化为，由方程组，解得，即直线必过定点，所以B正确；对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误；对于D中，由两点，当时，此时过两点的所有直线的方程为，即，当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式，所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确.故选：AC.32．（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为锐角C．边的中点坐标为D．边上的中线所在的直线方程为【答案】CD【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项．【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误；对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误；对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确；对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确．故选：CD．33．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，其中为实常数，则（

）A．直线过一定点B．无论m取何值，直线不经过原点C．当时，直线与轴交于它的负半轴D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是【答案】ABD【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解.【详解】对于，因为直线的方程为，令，解得：，所以直线过定点，故选项正确；对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确；对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误；对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确，故选：.三、填空题34．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为．【答案】【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.【详解】，直线的方程为，由解得，设，依题意，的平分线为直线，由正弦定理得，由于，由此整理得,则，设，则，整理得，解得或（舍去），则，，直线的方程为.故答案为：

35．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为.【答案】或【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程.【详解】直线的斜率为，所以过且平行于直线的直线方程为.线段的中点坐标为，所以过与线段中点的直线的方程为.所以直线或符合题意.故答案为：或

36．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是.【答案】【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，设，，则，而，则有，显然，于是，由点在x轴正半轴上，得，面积，当且仅当，即时取等号，所以当面积最小时，点的坐标是.故答案为：

37．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则．【答案】13【分析】根据题意求点的坐标，再结合垂直关系运算求解.【详解】对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，因为，则，即，所以.故答案为：13.

四、解答题38．（2023秋·高二课时练习）求下列直线的方程：(1)的倾斜角是，在轴上的截距是；(2)在轴、轴上的截距分别是、4；(3)直线经过点、.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由点斜式计算即可；（2）由斜截式计算即可；（3）由两点式计算即可.【详解】（1）因为在轴上的截距是，所以经过点.又因为的斜率，所以由点斜式可得的