新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题（解析版）

新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题

第I卷(选择题)

一、选择题

,1

Z=1H—

1.已知复数i,则复数z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

k答案》D

K解析工z=l+-=l+-^=l-i

ii

则复数Z在复平面内对应的点为(1,-1),在第四象限，

故选：D.

2.已知集合/={1,2,3,4},N={x,eM},则McN=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,4}D.0

［答案』B

(解析X因为"={1,2,3,4}4=卜—6"},

所以N={±1,+V2,+y/3,±2),

所以"N={1,2},故选：B.

3.“x>2”是“％>3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案XB

k解析U「x>2%x>3,

；・“x>2”是“x>3”不充分条件;

又x>3=x>2,

..“%>2”是“x>3”的必要条件.

综上，“x>2”是“x>3”的必要不充分条件.故选：B

4.抛物线/=2/«过点（2,2）,则焦点坐标为（）

A.（0,0）B.g，o）C.加D.（1,0）

[答案工c

K解析工因为抛物线产=2内过点（2,2）,所以4=4。，故p=l,

故y2=2x,故焦点坐标为o],故选：C.

5.设等比数列｛%｝的首项为1,公比为心前几项和为S"，若｛S,,+l｝也是等比数列，则4=

（）

A.-2B.gC.1D.2

（答案1D

k解析U由题意可知，4=1,a?=q,%=/，

若｛q｝为常数列，则，+1=2,S2+1=3,S3+1=4,不为等比数列，与题意不合;

a"-1

若4片1,贝IS,,=q•工一-q"-1

q-1q-1

若｛S〃+l｝也是等比数列，则(S〃+l)2=(S,T+1)(S0+I+1),H>2,«eN*.

anfq11+q-^\_q"f+q-2qn+i+q-i

、q-i)q-iq-i

2q"("2)=(q-2)(q"T+qn+l)nq『'("-2)(q=0,

解得4=2或q=l（舍去）.故选：D.

6.设x>0,函数丁=%2+%—7,丁=2"+%-7,丁=1082了+%-7的零点分别为。,。,（:，则

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

(答案》A

2v

K解析U分别令y=x+x-7=0,y=2+x-7=0,y=log2x+x-7=0,

贝I%2=-x+7,2'=­x+7,log2%=—x+7,

x

则a,O,C分别为函数y=-％+7与函数y=%2,y=2,y=log2X图象交点的横坐标,

分别作出函数y=%2,_y=—x+7,y=2*,y=log2X的图象，如图所示，

由图可知，a<b<c.

故选：A.

7.已知角以0°<。<360°)终边上A点坐标为(sin310°,cos310°),则夕=()

A.130°B.140°C.220°D,230°

K答案UB

K解析H因为sin310°<0,cos310°>0,

所以角a的终边在第二象限,

cos310°cos(3600-50°)cos50°

又因为tana=--------=----；----------?=--------

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140。

=tan140°,

--sin(140°-90°)cos140°

且0°<a<360。,

所以a=140°.故选：B.

8.设占是函数/(%)=]3+依2+l+1的两个极值点，若％+3々=-2,则。=()

A.0B.1C.2D.3

k答案』C

K解析工由题意得广(%)=3三+2依+1,又是函数的两个极值点，

2〃]

则再,9是方程3x2+2ax+1=0的两个根，故%+%=—I,=§

又%1+3%2=—2,则犬1=一3%2—2,即％入2=(—3%2—2)%2=；，则％21

3

-1c

则X]=—1,所以西+々=—3—1=....-,解得<7=2,

止匕时A=42—4x3xl=4>0.故选：C.

二、选择题

9.9知函数〃力=二；：g(x)=e，；e*,则()

A.函数/(x)在R上单调递增

B.函数/(x)g(x)是奇函数

C.函数/(x)与g(x)的图象关于原点对称

D.g(2x)=[〃x)T+[g(x)T

(答案XABD

K解析U对于A,丁=6'»=-er均为R上的增函数，故=在R上单调递增,

故A正确.

对于B,令F(x)=〃x)g(x)=^~/—,其中％eR,

而网一耳=士二:亡=一外力，故厂(可为R上的奇函数，故B正确.

对于C,/(。)=0,故/(x)的图象过原点，

若函数/(%)与g(x)的图象关于原点对称，则g(x)的图象也过原点，

但g(O)=l,矛盾，故函数/(x)与g(x)的图象不关于原点对称，故C错误.

对于D，[〃x)T+[g(x)T=(-)：(e'+er)；g^=g(2x)，

故D正确，故选：ABD.

10.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列｛/｝满足：%=m(加为正整数),

多，当4为偶数时

a)

n+\

3%+1,当4为奇数时

A.机=5时，4=1

2

B.m=5时，在所有。“的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为二

C.%=4时，加的所有可能取值组成的集合为“={8,10,64}

D.若所有％的值组成的集合有5个元素，则m=16

(答案IABD

k解析》对于A,当m=5时，贝ijq=5,4=16,%=8,4=4%=2,%=1，故A正确;

对于B,当m=5时，则%=5,4=16,%=8,%=4,%=2,g=1,%=4,/=2,

所以数列{4}从第4项起，是以3为周期的周期数列，

所以所有0的值组成的集合为{1,2,4,5,8,16},

从中任选2个数都是偶数的概率为||=2=|,故B正确；

对于C,当%=4时,

若为为奇数，则3a4+1=4,故4=1,

若氏为偶数，则《=4,故%=8,

若。4=1，贝！J?=l或3%+1=1,所以。3=2或。3=0（舍去），

由。3=2,得=2或34+1=2,所以出=4或%=g（舍去）,

由%=4,得5=4或3%+1=4,所以q=8或4=1,

若〃4=8,则母=8或3%+1=8,所以〃3=16或”3=］（舍去）,

由。3=16,得%~=16或3。2+1=16,所以々2=32或%=5（舍去），

2

Q1

由%=32,得事=32或34+1=32,所以[=64或。1=当（舍去），

由g=5,得言=5或34+1=5,所以4=10或弓=：（舍去），

综上所述，q=1或。1=8或。1=10或％=64,

所以加的所有可能取值组成的集合为“=｛1,8,10,64｝,故C错误;

对于D,若所有%的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为L2,4,8,16,

右*Q]=1,贝jjQ2=4,Q3=2,Q4=1，

所以数列｛4｝是以3为周期的周期数列，

此时所有用,的值组成的集合只有3个元素，不符题意；

右%=4,则2=2,%=1,。4=4,

所以数列｛%,｝是以3为周期的周期数列，

此时所有用,的值组成的集合只有3个元素，不符题意；

若。1=2,则g=1,%=4,。4=2,%=1，所以数列｛4｝是以3为周期的周期数列,

此时所有%的值组成的集合只有3个元素，不符题意；

若=8,贝I%=4,%=2,%=1，〃5=4,4=2,

所以数列｛4｝从第2项起，是以3为周期的周期数列，

此时所有用,的值组成的集合只有4个元素，不符题意；

若％=16,贝U%=8,%=4,/=2,%=L/=4,%=2,

所以数列｛%,｝从第3项起，是以3为周期的周期数列，

此时所有用,的值组成的集合有5个元素，符合题意，

所以若所有明的值组成的集合有5个元素，则m=16,故D正确.故选：ABD.

11.已知点4（—1,0）,5（1,0）,直线AM,刚/相交于点且它们的斜率之和是2.设动

点”（羽y）的轨迹为曲线。，则（）

A.曲线C关于原点对称

B.x的范围是｛尤卜/。｝,丁的范围是R

c.曲线。与直线y=x无限接近，但永不相交

D.曲线。上两动点P（a,Z?）,Q（c,d）,其中a<0,c>0,则|尸。1mhi=2也e'—2

K答案》ACD

K解析X设M（x,y）,由题意频^M=2,

即上+上=2,化简得孙=必—1,即丁=二二l=x—L（xw0且xw±l）,

x+1x-1xX

对于A,将（一九,一y）代入得一y=—%---,BPy=x-—,

所以曲线。关于原点对称，故A正确；

对于B,由A选项知，犬的范围是且XW±1｝,故B错误；

对于C,由y=x----,得y一1二—，

xx

当x->+8时，一工一>0,即y-x—。，

x

当元一—8时，一工―0,gpy-x^0,

x

所以曲线c与直线>=%无限接近，但永不相交，故c正确；

对于D,要使|尸。|最小，则曲线c在尸,。两点的切线平行，

由y=%—‘，得y'=l+《，贝！Jl+4=l+4，所以片二。2,

xxac

因为av0,c>0,所以。二一。，

则尸］—c,—c+—|,2|GC—|,

所以|PQ|=J（2c）2+[2c-=J8c2+-^-8>闾8c2--8=2,20—2，

当且仅当8c2=：,即0=竹时取等号，

所以|P0min=2,2后_2，故D正确.故选：ACD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

223

12.已知双曲线——会=1（。〉0力〉0）的渐近线方程为丁=?]%,则其离心率为.

K答案X-

4

223

k解析》因为双曲线——£=1（。〉0/〉0）的渐近线方程为丁=?1工，

所以一=—，所以离心率e=Jl+乂=3.故K答案』为：一.

a4ya244

13.正方体ABC。-A/G2的棱长为2,内壁是光滑的镜面.一束光线从A点射出，在正

方体内壁经平面5CG用反射，又经平面ADD]A反射后到达G点，则从A点射出的入射光

线与平面BCC用的夹角的正切值为.

K答案x迪

2

k解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（O,0,0）,^（2,2,2）,5（2,0,0）,则G关于平面A。，A的对称点M（—2,2,2）,

而A关于平面BBgC的对称点的坐标为N（4,0,0）,

设直线NM与平面BB©C的交点分别为T，则入射光线为AT,

设T（2,加,〃），则存在实数；I,使得MN=XMT，

6=42

所以(6,—2,—2)=4(4,加—2,〃—2),故—2=2(加—2),故＜

-2=A(n-2)n=—

因为A3,平面8与C|C,故4r与平面B4GC所成的角为NA7B,

而gfu平面BBC。，故5TJ_AB,故tan/ATB=£2.故K答案》为：迫，

22

14.已知AHH.AQA五个点，满足：AA+1-4+14+2=o(n=i,2,3),|4A,+』4+A+2|

=〃(〃=1,2,3),则|AA|的最小值为.

K答案U1

K解析H因为，4+』4+14+2卜〃(〃=1,2,3),

所以A4MAi=1，14A忆4|=2,|4/4闻=3,

~13

由题意设IA4l=x,贝1JIA2A31=—，|AA|=2%J4闻=,

XhX

设4（0,0）,如图，因为求14AI的最小值,

A2x

则4（无,0）,A。,一）,&（一羽一），A（一%,一^―），

xx2x

所以144『=三+'»2'•止=1，当且仅当/=止，即*=三时取等号，

所以144I的最小值为L故k答案》为：L

四、解答题

15.已知;•(x)=(2x+l)ln%—、，曲线/(x)在x=l处的切线方程为丫=奴+氏

(1)求见。；

(2)证明/(%)<以+/?.

2

(1)解：由/(%)=(2%+1)1皿一1■可得

/"(x)=21nx+(2x+l)—-x=21nx-x+—+2,

则/'(1)=2,所以曲线/(%)在点x=l处的切线斜率为左=2,

又因为/(1)=一[，所以切线方程为：y+；=2(x—1),即y=2x—

所以a=2力=—».

2

24

⑵证明：要证明〃X)WG:+/7,只要证(2x+l)hw—卞―2X+|40,

丫251

设g(x)=(2x+l)lnx-----2%+—,则g'(%)=21IIXH----%,

22%

令/z(x)=21ru+，—X'则〃⑺=2-_]=_(1)«0,

所以丸⑴在(0,+8)上单调递减，又丸⑴=0,

所以当xe(0,1)时，〃(x)〉0,则g(x)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,+oo)时，//(%)<0,则g(x)在(l,+oo)上单调递减，

所以g(x)Wg(l)=。，所以/(x)War+Z?.

16.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,将△A3。沿对角线3。进行翻折，得到三

棱锥A-BCZZE是A3中点，歹是OE中点，P在线段AC上，且注7/平面BCD.

(2)若ABLCD,求平面ABC与平面AC尸的夹角的余弦值.

解：(1)如图，取跳的中点连接AfRMF,

因为斤是OE中点，所以MF7/BD,

又MF(Z平面6CD，BDu平面BCQ,

所以〃平面BCD，

又尸尸〃平面BCD,MFcPF=F,MF,PFu平面PMF,

所以平面PMF//平面BCD,

又平面ABCc平面=,平面BCD平面ABC=BC，

所以PM7/3C,

,APAM°

所err以——=——=3；

PCMC

（2）因为ABJ.CO,BC_LCD,ABcBC=5,AB,BCu平面ABC,

所以CD1平面ABC,又ACu平面ABC,所以COJ_AC,

则AC=742-32=币>

则4。2+.2=§。2,所以AB^AC,

如图，过点A作AHL3C于点H,

7

4

如图，以点C为原点建立空间直角坐标系,

则A0,：,乎,B（0,4,0）,C（0,0,0）,D（3,0,0）,E0,y,^,F

3233币,

故"/叮73p?j、0=

设平面AC尸的法向量为〃=(%,y,z),

f7,3占n

n-CA=-y-\------z=0

则有《44

a3,23

n-CF=-x-\yH------z=0n

21616

令z=V7，则y=-3,x=2f

所以〃=(2,—3,J7),

因为x轴1平面ABC，则可取加=(1,0,0)为平面ABC的一条法向量,

।,i_|m-n|_2_75

故cosm,n\=~j-7—r=------尸二——,

11|m||n|1x2755

所以平面ABC与平面AB的夹角的余弦值为好.

17.某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为4:1.

(1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300,

小果的单果平均重量为190克，方差为320,试估计果园苹果的单果平均重量、方差；

(2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为10%,把小果

筛选为大果的概率为5%,经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问

这个“大果”是真的大果的概率.

41

解：(1)100个苹果中，大果的个数为§乂100=80,小果的个数为《xl00=20,

设大果的单果平均重量为(，方差为s；,小果的单果平均重量为石，方差为学,

则X=240,s；=300,兀=190,s；=320,

则100个苹果的平均重量为卷(80x240+20x190)=230,

100个苹果的方差为：

2

52=—x300+(240-230)2+20x320+704.

100

故估计果园苹果的单果平均重量为230、方差为704；

（2）记事件A：放入水果分选机的苹果为大果，事件4：放入水果分选机的苹果为小果,

记事件B:水果分选机筛选的苹果为“大果"，贝『'大果是真大果”为A13,

则P（A）=:「（&）=5P（网A）=i-]=]，网网4）=1,

由全概率公式可得：

p⑻=p（4），（网A）+P（4"（叫4）=3'+35=看,

尸（刎=尸（A）尸（冏4）=+\=!|，

0-网40-18>10°-72

因此,（Al）P（B）257373

18.在ABC中，点M,N分别为BC,AC的中点,.与527交于点G,AM=3,ZMAB

=45°.

（1）若AC=50，求中线BN的长；

（2）若..ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

解：（1）因为点/为的中点，所以2A〃=AB+AC，

则AC=2AM—AB，即AC?=432_4AM..+,

即50=4x9-4乂3义,5卜*+,31，解得：|AB|=70或|AB|=-0（舍去），

11O

又因为3N=A2V—AB=5AC—AB=]X（2AM—AB）—AB=AMAB,

-2-29-2.2r-Q333

BN=AM-3ABAM+-AB,即BAT=9—3x3x7&x注+=义49><2='，

4242

3A/74

2

122

（2）^GMCN~AMC~AGN~AMCAMC~T?

|X|XMX3X^=^|AB|

因为AABC是锐角三角形，所以NA是锐角，即A§.AC>0，

即AB-(2AM—AB)>0,所以卜31—3行„<0,得0<,母<3拒，

是锐角，即BAf.B4>0，即(AM-AB>AB<0,

所以3,5卜4—卜31<0，得

/C是锐角，即C4-MB〉0，BP(AB-2AAf).(AB-AAf)>0,

所以3A"-A瓶+2卜冠『〉o,得1一券„+18〉0，

所以,qeR,综上：浮<„<30，所以SG“cN=#|A8|e(m，3]

19.在平面直角坐标系xQy中，重新定义两点4(%,%),5(兀2，%)之间的“距离”为

I明=|wf1+1%-%|,我们把到两定点耳(―。,0),我(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数

2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.

(1)求“椭圆”的方程；

(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)设c=La=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过工

作直线交。于加,N两点，_AMN的外心为。，求证：直线。。与的斜率之积为定值.

⑴解:设“椭圆”上任意一点为尸(羽y),则归耳|+|%|=2a,

即以+\+»|+,一'+国=2a,gp|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),

所以“椭圆”的方程为|x+c|+卜—c|+2可=2a(a>c>0)；

(2)解:由方程|x+c[+卜_4+2H=勿，得2H=2a_|x+c|_|x—c],

因为耳20,所以2。一卜+4—上一420,即2a习x+c|+|x-c|

x<-c[-c<x<c[x>c

所以「或4c或4c，

-x-c-x+c<2a[x+c-x-^c<2a[x+c+x-c<2a

解得—a<x<a,

由方程卜+c|++21yl=2Q,^|x+c|+|x—c|=2Q—2H,

-2x,x<-c

即2〃-21yl=<2c,-c<%<c,所以2〃一2322(