山东省泰安市2023-2024学年高三年级上册期末考试+数学+含解析

高三数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知人={1，2，。+4}1={。,6},若AB=B,则实数a=()

A.0B.1C.2D.3

2.设复数Z]*2在复平面内对应的点关于实轴对称，且4=1-i,则Z]Z2=()

A.2B.OC.-2iD.-2

3.“x>0”是“2X+-1->2”的()

T

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a=(2,外力=(加,3),若a—/?=(-2,T),则向量a在向量匕上的投影向量为()

A.1B.亭C.(4,3)

5,已知=加-2x26R)在％=1处极大值为5,则a+b=()

A.-2B.6C.一2或6D.—6或2

6.已知I4J_2后，则sin2。=()

cos26

151533

A.—B.------C.一D.----

161644

7.已知y(x)=],则下列不等关系正确的是()

A./(log26)</(log051.25)</(l)

B./(log051.25)</(log26)</(l)

C./(l)</(log051.25)</(log26)

D./(l)</(log26)</(log051.25)

22

8.设椭圆。：二+与=1(。〉6〉0)的左，右焦点分别为月,工，直线/过点耳，若点亮关于/的对称点

ab

P恰好在椭圆。上，且月「・£月=/，则。的离心率为()

1-2口-2

A.-B屈屈

3-I3-*-3-

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/:6―y+2左+1=0与圆。：/+丁=9,则下列结论正确的是()

A.直线恒过定点(2,-1)

B.直线/与圆。相交

3L

C.若左=/，直线/被圆。截得的弦长为26

D.若直线/与直线X+4左2y+左2=0垂直，贝|左=；

10.已知函数/(X)=g—geos(2x+2e)[o<e<mJ的图象的一个对称中心为711

,则下列结论

12?2

正确的是()

A.f(x)最小正周期为兀

B./(0)=:

C./(%)上单调递增

2冗

D.7(%)图象向右平移可个单位长度后关于y轴对称

11.如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=2,点M是CD的中点，将沿A"翻折到

位置，连接且产为PC中点，4AE=AB^在心必火翻折到的过程中，下列说法正

确的是()

A.EF//平面？AM

B.存在某个位置，使得CM，PE

C.当翻折到二面角P—AM—5为直二面角时，E到尸C的距离为近

6

D.当翻折到二面角P-40-5为直二面角时，AC与平面尸MB所成角的正弦值为之后

10

12.已知曲线G：/(x)=ln(2x—1)在点V(Xj，x)处的切线与曲线C2：g(x)=e2xT相切于点

N(%,%)，则下列结论正确的是()

A.函数%(x)=fg(x)—1有2个零点

B.函数771(X)Xg(x)在上单调递增

c/

D.---+2%=0

%一］

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正数a力满足log2a=log3b=log65,则ab=.

14.已知正项数列｛%｝的前几项积为7“，且满足a/37；—l)=Z,("eN*),贝口,=.

32冗

15.已知球。的体积为亍，其内接圆锥与球面交线长为2百兀，则该圆锥的侧面积为.

16.己知椭圆。：［+/=13〉0)的左，右焦点分别为耳，鸟，点P(、/0,1)在C内，点。在C上，则

11

所+函的取值范围是-----------

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图,在一ABC中，内角A,5c所对的边分别为。，4c,且4=2,45也2必达2。=5也21也2。,所为

_ABC所在平面内一点，且PB=273,ZPBC=90,NPBA为锐角.

K

B-------------------

(1)若c=l,求Q4；

(2)若NPA3=120，求tan/PR4.

18.如图所示，在直三棱柱ABC-AgG中，AB=AC=2币,=5,。为AC中点，且

31

ZABD=30，BE=-BBX,CF=-CCl.

B

(1)求证：BDL\F.

(2)求平面AEF与平面AEP夹角的余弦值.

3

19.已知数列｛%｝满足4=5=，正项数列也｝满足2：—2(〃—1)2—4〃=0.当“24时，记

5.=min｛o1,a2,=max｛q+i，4+2,一，。/(，=1,2,,zz-l),c;.=si+ti.

(1)证明:qq，…，GT是等比数列;

(2)求优。“_1+d*_2++%-£.

20.某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底.根据以

往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下

跌,现有三种价格模拟函数：①/(x)=e*—sin(x+0+q；@f(x)=x2+px+q③

高三年级考试数学试题

2024.01

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知A={L2,a+4}l={a,6},若3=3,则实数a=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可.

【详解】因为A8=6,所以BgA,

因此有。=1,或。=2,或。=。+4,显然。=。+4不成立，

当。=1时，a+4=5w6,不符合题意；

当a=2时，a+4=6,符合题意

故选：C

2.设复数4/2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z=l-i,则Z[Z2=()

A.2B.OC.-2iD.-2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得Z2=l+i,根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】因为复数4/2在复平面内对应的点关于实轴对称，且Z]=l-i,

所以z?=l+i,

所以4Z2=(l-i)(l+i)=2.

故选：A.

3.“x>0”是“2工+，>2”的（）

2X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式即可判断充分性，举反例即可判定必要性.

详解】若x>0,则2'+」22/2'-4-=2,由于2,3上，所以2，+］>2,充分性成立,

2XV2X2"2'

当x=—1时，2T=g,*=2,满足2工+，>2,但是无<0,必要性不成立，

因此“x>0”是“2。1>2”的充分不必要条件

故选：A,

4.已知向量a=（2,〃）力=（加,3）,若@"=（一2,—4）,则向量a在向量方上的投影向量为（）

A.1B.£C.（4,3）

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.

2—zzz——2Tn――4

［详解］由a4=（-2,-4）n<=（2,-1）,/?=（4,3）,

向量a在向量b上的投影向量为

.、（4,3）=/8-3------.（4,3）=?,』，

\a\-回.忖WA/42+32x742+3215,51

故选：D.

5.已知/（%）=加一2X2+陵+。236€2在1=］处的极大值为5,则a+b=（）

A.-2B.6C.—2或6D.—6或2

【答案】B

【解析】

/⑴=5

【分析】由题意可得《公、八，进而可求得注意反代检验.

[f(1)=°

【详解】/"(%)=3<ax2-4x+b,

因为/(%)=加一2兀2+陵+。2(。,/?wR)在x=i处的极大值为5,

=5a-2+b+a-=5

所以《了⑴J

［广⑴=。’13a-4+b=0

a—3a——1

解得《或4

b=-5b=1

a=3

当时，/'(x)=9*—4x—5=(x—l)(9x+5),

b=-5

当工〉1或x<—£时，/'(x)>0,当—j<x<l时，/'(X)<0,

所以/(尤)在x=l处取得极小值，不符题意,

a=-1

当时，/f(x)=-3x2-4x+7=-(3x+7)(x-l),

b=7

77

当一时，/'(x)>0,当或％<-耳时,rW<o,

所以/(尤)在X=1处取得极大值，符合题意,

ci=-1

综上所述，\

&=7

所以a+/?=6.

故选：B.

sin/—：

6.已知_20，贝Usin29=()

cos28

15153

A.—B.——D.——

1616「I4

【答案】B

【解析】

【分析】由两角差的正弦公式、二倍角公式以及平方关系化简求值即可.

11

Y+回石*，，["1]—sin6>--cos^^

【详解】由题意I4)=22=_______，2=_2J]，

cos28cos2sin202(sin8+cos8)

所以sin9+cos8=L,(sin+cos^)2=l+sin2^=—,解得sin26=—”.

4v71616

故选：B.

7.已知〃x)=K,则下列不等关系正确的是()

A./(log26)</(log051.25)</(l)

B./(log051.25)</(log26)</(l)

C./(l)</(log051.25)</(log26)

D./(l)</(log26)</(log051.25)

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得"％)的对称轴为x=l,当时，"％)单调递减，将“logo.51.25)转换成

/(log25)即可判断.

【详解】由题意/(x)=[

所以〃l+x)=/(l—X),即了⑺的对称轴为X=l,且当X<1时，"％)单调递增，当X21时，

“X)单调递减，

所以/(log051.25)=/(2-log0,1.25)="logos0.25-log0.51.25)=/(log050.2)=/(log25),

所以」(1密6)</(ogo.5L25)=/(log25)</(l).

故选：A.

22

8.设椭圆C:1+与=1(。〉。〉0)的左，右焦点分别为耳，耳，直线/过点片，若点B关于/的对称点

ab

P恰好在椭圆。上，且则C的离心率为(

1

A.-Bc历-2D.寮

3I'-3

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得|P耳|=2c,归闾=2a-2c,然后根据GP.耳耳=心求出cose,

最后根据余弦定理，即可得到关于。的齐次方程，即可得出离心率.

【详解】设/「6工=，,

由已知可得，|尸娟=闺阊=2。，

根据椭圆的定义有|P6|=2a—|尸制=2a—2c,

又片P£E=Z?2,

2

所以4ccos0=b2

在月中，由余弦定理可得，

归与「=附「+闺国2_2户国.比囚85。，

22

即（2a-2c）2=8c2_8c2cos0=Sc-2b,

即4a?—8ac+4c~=8。--2（a?—c~）,

化简得3a2—4ac—3c2=0,贝—空—三=0,

aa

所以3e2+4e—3=0，

hrizA/13-2TJ13+2冬土、

解得se=^-------或en25---------（舍f去），

33

r-r-|UJ13-2

所以e=^-------.

3

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于c齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/：Ax—y+24+1=0与圆=9,则下列结论正确的是()

A.直线恒过定点(2,-1)

B.直线/与圆。相交

C.若左=：3,直线/被圆。截得的弦长为26L

D.若直线/与直线x+4左2丁+/=。垂直，则ku；

【答案】BC

【解析】

【分析】分离参数即可得定点判断A,根据定点在圆内即可判定B,根据圆的弦长公式结合点到线的距离公

式即可求解C,根据直线一般式中垂直满足的关系即可求解D.

【详解】直线/:履―y+2左+1=0,即y-l=k(x+2),则直线恒过定点(—2,1),故A错误；

因(―2『+12=5<9,所以定点(—2,1)在圆O：f+y2=9内部，，直线/与圆。相交，故B正确：

当左=?时，直线—y+』=0,即3x—4y+10=0圆心。到直线的距离［=四=2，

44-25

直线/被圆。截得的弦长为2J屋4=26，故C正确

c兀5兀1

2x+—€

3J-

所以函数/(%)在上单调递减，因此本选项不正确;

27r

D：/(%)图象向右平移寸个单位长度后得到函数的解析式为

显然函数y=是偶函数，其图象关于＞轴对称，因此本选项正确,

故选：ABD

11.如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=2,点M是。)的中点，将沿40翻折到

位置，连接且尸为尸。中点，4AE=AB，在A4O以翻折到的过程中，下列说法正

确的是()

A.EF//平面RU/

B.存在某个位置，使得CM_LPE

C.当翻折到二面角P—AM—5为直二面角时，E到尸。的距离为返

6

D.当翻折到二面角P-A"-5为直二面角时，AC与平面尸MB所成角的正弦值为延

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面平行即可求证A,根据A3,/石即可求解B,建立空间直角坐标系，利用向量法求解点

线距离以及线面角即可求解CD.

【详解】取中点。，连接R9,E。，所以

24

所以四边形A/OE4为平行四边形，故EO//AM,AMu平面平面R4V，

故EO//平面？A4，

尸O//PM,PMu平面RUI,R9a平面？A"，故/0//平面R4M，

F0cE0=0,F0,E0u平面EOF,因此平面瓦乎//平面2AM,Mu平面EOF,

所以EE//平面R4V,A正确，

当ABLPE时，由于AP=2,AE=1,则PE=6,

止匕时PB=^]PE2+EB2=J（可+32=273，

故只需要在翻折过程中使得PB=20

即可满足即CMLPE,故B正确，

对于C,取40中点N,由于。4=9=2,;.小，40,

又AM=4^AP=2应,BM=y/iBC=2应,AB=4,

所以

取AB中点Q,则4VLNQ,

JT

当二面角P—AM—5为直二面角时，则NPNQ=Q,

故以NP,NQ,M4为正方向为z,%x,建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,⑹2"血,0）,尸一叵与与,E与，牛,。

A（也0,0）,5（一£2也0）,贝一£0,0）,

所以PC=「2"应,—⑹,尸石=[¥，¥，—后，

(22)

则PE?=1+=+2=3,PC-PE=-2V2x—+V2x—+72x72=1，

2222

PC=J8+2+2=2A/3，

故E到PC的距离为

PM=(-V2,0,-V2),PB=(-V2,2点,-血)，AC=(-372,72,0),

设平面PMB的法向量为m=(x,y,z),

PM-m=--J^z=0

取x=l,则m=

PB-m=-y/2x+2gy-s(2z=0

,、m-AC3近3A/5

故直线AC与平面尸MB所成角的正弦值为cos(AC,m)=—厂故D正确,

'/AC\\m72x275lo-

故选：ABD

12.已知曲线G:/(%)=ln(2x—1)在点处的切线与曲线。2:g(x)=e2x-1相切于点

N(%,%)，则下列结论正确的是()

A.函数/z(x)=〉g(x)T有2个零点

B.函数应x)=：y(x)-xg(x)在上单调递增

C&㈤

D.-^―-+2X2=0

x；-1

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、函数零点定义、函数单调性的性质、对数的运算逐一判断

即可.

【详解】A：7?(x)=x2g(x)—l=x2e2'1—1=>//'(%)=2x(x+l)e2v-1,

当尤>0时，〃>0/(%)单调递增，

当—1(尤<0时，"(力>0,人(力单调递减，

当x<—1时,“(X)>0/(%)单调递增，

函数h[x｝的极大值为//(-I)=e-3-l<0,极小值为A(O)=-1<0,

因此当为<-1时，h(x)<0,

当一1(尤<0时，/i(x)<0,

当X-+CO时，/z(x)f+oo,因此函数只有一个零点，因此本选项不正确;

33

B：m(x)=-ef(x)-xg(x)=—eln(2x-l)-xe2x-1

3e

-(2%+l)e2x-1

2x-l

当时，根据函数单调性的性质可知函数加'(x)单调递减,

所以当时，加(x)>加⑴=0,

所以函数m(X)=gy(x)-xg(x)在上单调递增，本选项正确;

2

C：f(x)=ln(2x-l)^f(x)=--)

ZX—1

因此曲线G"(x)=ln(2x—1)在点处的切线方程为:

y-111(2^-1)=-^—(x-xjny=-^^+ln(2x,-1)——^―

、2X]—1v1'2为一1

g(无)=e2'-1ng，(无)=2e2A'-1,

21

因此曲线C2:g(x)=e"-相切方程为：

y_e2kl=2e?也t(x-w)ny=2e2^1x+e2x2~1-2e2kx-

因为曲线。1：/(%)=111(2%—1)在点/(七,乂)处的切线与曲线6逮(耳=62日相切于点z(程％),所

一7

——=2e2%2-1

2%-12x1-1

以《n5

ln(2X]—1)—^^=e2*T—2©2*一工2x

ln(2玉—1)—=e2*T—2e^x2

因此g(%)=e2为t=J：,所以本选项正确;

—1

1-e2^-1

2xj-l

D：由上可知：'

皿2%T-fl：=e2*T_2©2£2—工

LXX-i

2A：12A?

因此有In(2x1-1)———=e—2e工

nIne-(2x2-1)-2%=1-2%

2_V1—12X]—12_V]—1

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出两个曲线的切线方程，进而运用对数的运算性

质进行判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正数a力满足log2a=log3b=k>g65,贝！Jab=.

【答案】5

【解析】

【分析】由指数、对数运算性质进行化简求值即可.

1O&5

【详解】不妨设log2a=log3b=log65=k,所以a==3*,所以ah=2k-3及=6*=6=5.

故答案为：5.

14.已知正项数列｛4｝的前几项积为7；,且满足an(3Tn-l)=T„(neN*),则7；=.

r公安、1门丫7、

【答案】一X-+—neN

6⑶2[)

【解析】

【分析】由题意首先得然后由4的关系结合己知递推关系式得数列是等比数列，由此

即可得解.

2

【详解】由题意4(37；—1)=4(3/-1)=工=弓，因为q〉0,所以6=3，

又因为为=于二("eN*)，且当a〃=g(〃N2,“eN*),

所以37；—1=(-(〃之2,〃eN*),北J]，

所以数列是以十一工=2—!为首项，工为公比的等比数歹U，

I2]23263

n—\[

所以T-l=l11

x—X+neN

"2663|2(*

故答案为：—xf—+—(neN*

6UJ2V

32冗

15.已知球。的体积为不一，其内接圆锥与球面交线长为2后，则该圆锥的侧面积为

【答案】6兀或2g兀

【解析】

【分析】先分别求出圆锥的底面半径和球的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的侧面积公式

即可得解.

【详解】设圆锥的底面圆的半径为小高为〃，母线长为/,球。的半径为R,

贝U2兀厂=2A/§7T，所以r=G，

：无店=受，解得R=2,

33

如图，为圆锥的轴截面，

由勾股定理得，R2=户+包―行,

即4=3+(〃—2)2,解得々=3或/i=l,

当久=3时圆锥的母线l=y/lr+r2=2g，

26

故答案为:(V3<^<3).

3V'

626口|，2）,误以为11

【点睛】易错点睛：容易错的地方是由而可西+画的范围为

7r了屏

1,2j,事实上最终的范围应该是有赖于b的，对于具体的b,-11-1不一定能取到g,2）内的每

IM\QF2\

一个数.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在ABC中，内角C所对的边分别为"c,且a=2,4sin23sin2c=sin23sin2C,尸为

ABC所在平面内一点，且尸5=20,NPBC=90，/为锐角.

B

（1）若c=l，求Q4；

(2)若NPAB=120，求tan/P34

【答案】（1）PA=@

(2)tan^PBA=—

2

【解析】

【分析】（1）由正弦二倍角公式可得sinBsinC=cosBcosC,再由两角和的余弦公式即可得cos（B+C）=0,

7171

所以A=—,可得NA3C=—,再由余弦定理计算可得P4=不；

23

X

（2）设=利用诱导公式可得cos/A5C=sin/PA4=—,在由正弦定理可得Z4=2x,

2

再由余弦定理可得%=宜红，结合角的范围根据同角三角函数之间的基本关系可得tan/PA4=—

72

【小问1详解】

由4sin2Bsin2C=sin2Bsin2c可得《si/Bsin2c=2sinBcos_B-2sinCcosC，

又因为siaBsinCwO,所以可得siaBsinC=cos6cos。，

即cosBcosC—siaBsinC=0,可得cos(B+C)=0；

又5+Ce(O,7i),所以可得B+C=m；

jr

因此A=—,

2

171

又4=2,若c=l，可得cosNA3C=—,可得NABC=—；

23

TT

又/PBC=9。，所以/PBA=—；

6

222

»人口表占工用r/曰,AB+PB-PAA/3

由余弦定理可得cosNPBA=---------------------=—，

2ABPB2

解得PA=S；

【小问2详解】

Y

设AB=x,贝iJcos/ABC=—,

2

V

由N尸5。=90可得cos/AJBC^=sin/P区4二一

2

2^3_PA

PBPA

在，BIB由正弦定理可得可得丛=2x,

sinZPABsinZPBA即6_色

V2

利用余弦定理可得cosZPAB=厂+4r-12=_工，解得x=拽I；

2x-2x27

所以可得sin/PBA=二=0，

27

又NPBA为锐角，所以cosZPBA=y/1-sin2ZPBA=

V21_

,/八…sinPBA7A/3

可得tan/PBA=----------二—产——.

'C0S/PA42A/72

7

18.如图所示，在直三棱柱ABC-A与G中，AB=AC=2g,=5，。为AC中点，且

(1)求证：BDl^F.

(2)求平面AEE与平面4EP夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】(1)由题意建立适当的空间直角坐标系，要证3。，4斤，只需证明。5・4尸=0即可•

(2)由题意分别求出两平面的法向量，然后求法向量夹角余弦的绝对值即可得解.

【小问1详解】

由题意A3=AC=2jL。为AC中点，且NABD=30，

所以AD=y/3,

所以3=12+BD?-2x26xBDx也,解得5£>=3，

2

所以802+4)2=而2,所以BDLAD，即BDLGD,

取AC中点2,则。2/MA，

又明，面ABC,

所以。口，面ABC,

又£>5DCu面ABC,

所以DDi工DB,DD[±DC,

所以DR,DB,DC两两互相垂直,

故以点。为坐标原点，DC所在直线分别为x，Xz轴建立如图所示的空间直角坐标系:

13

由题意A3=AC=2b，M=5,CF=-CCl,BE=-BBr

所以0（0,0,0）,3（3,0,0），4（0,—石,5）,尸（0,6,1）,石（3,0,3）,4（0,—6,0）,

所以03=（3,0,0）,=（0,26,—4）,

所以。5-AE=O,所以即3。，4斤・

【小问2详解】

由（1）可知4（0,—括,5），/（0,如,1）,石（3,0,3）,4（0,—石,0）,

所以而=03,A-2）,可=卜3,-后2）,EA=（-3,-73,-3）,

不妨设平面AEF与平面4所的法向量分别为%=a，K，zJ,%=（x2,y2,z2）,

EF-4=-3X2+A/3y2-2Z2=0

所以《不妨取%=2,解得x2=0,z2=A/3,

E&-n2=-3X2-石%+2Z2=0

即可取平面AER的一个法向量为%=（0,2,6），

EF-ny=-3x}+百y-2Z[=0「

同理有〈,'不妨取y=8,解得玉=5,4=一6,

EAn1=-3玉-3zi=0

即可取平面的一个法向量为勺=（5,"-6）,

不妨设平面AEF与平面A&7夹角为。，

/、归闻所―6叫后

所以COS0=COS2，勺）=I―n—I=/--/=.，

'-/闷.匐74+3x725+3+36414

即平面AEF与平面AEF夹角的余弦值为冬.

14

3

19.已知数列{%,}满足a“=广，正项数列也}满足22—2(〃—1)2—4〃=0.当n之4时，记

5.=min{a1,t72,=max{tz;.+1,a1+2,.■,,«„}(/=1,2,'-,n-l),c;.=号+1

(1)证明：。1，0，，g-l是等比数列；

（2）求6£i+dq_2++Wi.

【答案】（1）证明见详解；

[8

（2）+b2c『2++〃—£=*+1877—36

【解析】

339

【分析】（1）由题意可知数列｛4｝为单调递减数列，从而Si=ai=—,<，=aM=—,c,.=—,由等

比数列的定义证明即可；

（2）由题意因式分解得到d=2"，再利用错位相减法求和.

【小问1详解】

3

由数列｛?｝的通项公式4=牙=，可知数列｛4｝为单调递减数列，

3

所以当4时，st=min｛a1,tz2,,,aj=tz（.>

4=max｛ai+l,ai+2,■,an｝=aM=^,

339

则q=s,+q=m+m=夕，0=1,2,,«-l）

9

c1/、Q

因为/=焉一=5（"N3）,又q=$

Cn-2___乙乙

2，L2

Qi

所以是首项为彳，公比为g的等比数列；

【小问2详解】

因为“_2(〃_1)2_4〃=0,即(bn-2”)(2+2)=0,

则bn=2n,或6.=—2(:舍),

当八之4时，

999

s=4%+dc“_2++如=2.声■+2*2.声7+-.+2(〃-1>5,①

9Qg

则2s=++(2H-4)--+(2?I-2)-9,②

99Q

①一②：—s=2广+2.祥++2---（2n-2）-9

=18x1—［；］-18H+18,

1Q

所以，s=+18"—36,

2

［8

即4c._i+4c._2++仇-£=声+18〃-36.

20.某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底.根据以往

的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，

现有三种价格模拟函数：@/（x）=e^-sin（x+p）+^；②/（x）=三+p%+q；③

/（x）=gx2+px+361n（2x+2）+q（%表示时间，以上三式中P，q均为常数，且一30<.<一11）.

（1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由；

（2）若/（5）=6.78,/（11）=7.62,

①求出所选函数/（%）的解析式（注：2WxW12且xeN*，其中x=2表示5月份下半月，x=3表示6

月份上半月，，x=12表示10月份下半月）；

②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活

动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由.

（ln2=0.69,ln3=1.10,ln5=1.60,Inll=2.40）

【答案】（1）选择③，理由见解析

（2）®/（x）=1x2-12x+361n（2x+2）-35,2<x<12日.％eN*；②该果农应在7月初到9月底进行

促销活动，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数求出函数①③的单调区间，结合二次函数的单调性即可得出结论；

（2）①由/（5）=6.78,/（11）=7.62求出"国，即可求得函数解析式；

②令g（x）=gX?-12x+361n（2x+2）-35,x>0,利用导数求出函数的单调区间,再取值进而可得出结论.

【小问1详解】

对于函数①/(x)=e，-sin(x+p)+q,

尸(x)=e"-cos(x+/?)>0,(%>0),

所以函数/(%)在(。,+。)上单调递增，

不具有先升后降再升的特征;

对于函数②/(x)=炉+px+q,其不具有先升后降再升的特征;

对于函数③/(x)=gx?+px+361n(2x+2)+q,

36J+(〃+1)%+36+p

X+1X+1

因为-30<〃<一11,则A=(p+1)2—4(36+p)=(p—13)(p+H)>0,

设方程三+(p+l)x+36+p=0的两根为七,%(不<9)，

所以石+%=~P-1>0,王%2=36+p>0,

所以0<西<々,

当o<%<不或x>9时，/,%)>。，当玉<%<%2时，r(x)<。,

所以函数/(%)在(0,尤1)上单调递增，在(%,%)上单调递减，在(9,+»)上单调递增,

所以函数③具有先升后降再升的特征,

故选③；

【小问2详解】

①，由"5)=6.78,”11)=7.62,

252S

—+5p+361nl2+^=6.78—+5p+36(21n2+ln3)+^=6.78

得〈即《

121

—+llp+361n24+q=7.62——+llp+36⑶n2+ln3)+q=7.62

、2

5p+q=-95p=-12

所以《二解得《

llp+q=-167q=-35

所以/'(%)=心/一12x+361n(2x+2)—35,2WxW12且尤eN*；

②令g(x)=g%2—i2x+361n(2x+2)—35,x>0,

所以----x+lnx<0恒成立，

ex

令g(x)=*x+lnx,则—1=°

e5V7exxxe，

因为x>0,a>。，所以e*+ar>0，

当0cx<1时，g'(x)〉0,当x>l时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在。,+。)上单调递减，

所以g(xLx=g(l)=(T,

所以1