几何证明选讲复习教案

第一节相似三角形的判定及有关性质考纲下载1．了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．考点一平行线截割定理的应用[例1](2014·广东高考节选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，求eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)的值．[听前试做]由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AE)))eq\s\up12(2)＝9.方法规律平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.考点二相似三角形的判定与性质[例2](2015·沈阳模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.[听前试做](1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.方法规律与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略(1)证明线段成比例(或线段之积相等)．利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论．(2)证明角相等．先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等．(3)求线段长．可转化成(1)，再利用已知条件求线段长．(2015·长春模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．证明：(1)因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，所以△DPC∽△DBA，所以eq\f(PC,AB)＝eq\f(PD,BD).又AB＝AC，所以eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD).(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC.又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AD)，所以AP·AD＝AC2＝9.考点三射影定理及其应用[例3](2015·太原模拟)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).[听前试做]∵BE是∠ABC的角平分线，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).方法规律巧用射影定理解题已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明：∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)个注意点——运用平行线分线段成比例定理的注意点(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．eq\a\vs4\al(1)个技巧——等积式证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，DE∥AC，EF⊥BC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6，求FC的长．解：由DE∥AC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6，知DC＝4.又EF∥AD，故eq\f(6－FD,FD)＝eq\f(3,2)，解得FD＝eq\f(12,5)，故FC＝FD＋DC＝eq\f(32,5).2.(2015·南阳模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝eq\f(1,3)AC，BD＝eq\f(1,3)AB，点F在BC上，且CF＝eq\f(1,3)BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明：设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝eq\r(2)a.(1)eq\f(CE,CB)＝eq\f(2a,3\r(2)a)＝eq\f(\r(2),3)，eq\f(CF,CA)＝eq\f(\r(2)a,3a)＝eq\f(\r(2),3).又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝eq\r(2)a，故eq\f(AE,EF)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(AD,FB)＝eq\f(2a,2\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AE,EF)＝eq\f(AD,FB)，∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.3．(2015·哈尔滨模拟)如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C.∴△ABD∽△CAD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,AD).又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4.又∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴eq\f(BD,AD)＝eq\f(DF,AF)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).4.在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB以及CA的延长线分别交于D、E，连接AM，求证：AM2＝DM·EM.证明：∵∠BAC＝90°，M是BC边的中点，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C，又∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°，又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠E＝∠BAM.又∵∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA.∴eq\f(AM,DM)＝eq\f(EM,AM)，∴AM2＝DM·EM.5.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝eq\f(1,2)CD，BE与AD交于点F.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAF＝∠BCD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,CE)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2).又DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,CE)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴平行四边形ABCD的面积S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.第二节直线与圆的位置关系考纲下载1．会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理．2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半．(2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等．②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角．②90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.eq\a\vs4\al(•)eq\a\vs4\al(对应学生用书P213)考点一圆周角及弦切角的性质[例1](1)(2014·湖北高考节选)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．(2)(2014·重庆高考节选)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的长．[听前试做](1)由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.(2)如图所示，由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.方法规律圆周角、弦切角定理的作用圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段长或角的大小及与圆的切线有关的问题．如图，已知圆上的弧eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)因为eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECA等于eq\o(AC,\s\up8(︵))上的圆周角，∠ACB等于eq\o(AB,\s\up8(︵))上的圆周角，所以∠ECB等于eq\o(CAB,\s\up8(︵))上的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.考点二圆内接四边形的判定及性质[例2](2015·临汾模拟)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．[听前试做](1)如图所示，连接OP，OM.因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由于圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.方法规律证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠BAC＝90°，且m＝4，n＝6，求点C，B，D，E所在圆的半径．解：(1)证明：如图所示，连接DE，根据题意，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)，又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)当m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于点H，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠BAC＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)×(12－2)＝5，DH＝eq\r(HF2＋DF2)＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，故C，B，D，E四点所在圆的半径为5eq\r(2).考点三与圆有关的比例线段问题[例3](2014·湖南高考节选)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，求⊙O的半径．[听前试做]设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(eq\r(2))2＝2r－1，解得r＝eq\f(3,2).方法规律与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略(1)证明比例线段(或线段乘积)．利用相交弦定理或切割线定理证明．(2)求线段的长度．可依题已知条件、相交弦定理或切割线定理找到比例线段，进而求线段长度．(3)证明三角形相似．可依题设及相交弦定理、切割线定理找到三角形相似的条件即可证明．(2013·天津模拟)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，求圆O的半径R.解：由切割线定理可得：PA2＝PB·PC，即PC＝eq\f(PA2,PB)＝eq\f(4,1)＝4，所以BC＝PC－PB＝3，因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，所以AB2＝BC·PB＝3.AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，即AC＝2R＝2eq\r(3)，所以R＝eq\r(3).—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)个结论——直线与圆位置关系的两个相关结论(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；(2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．eq\a\vs4\al(2)种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换．1.(2013·江苏高考)如图所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.2.(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得