2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（理

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若4左=20,则m等于（）

A.4B.5C.6D.7

2.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同

的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（）

A.10B.24C.9D.12

4432

3.若Q—I）=a4x+a3x+a2x+a1x+a0,则44—a3+a2—+a0—（）

A.-1B.1C.15D.16

4.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种

颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数

为（）

A.84B.72C.64D.56

5.若0-3"的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

6.设随机变量X的分布列为P（X=今=ak（k=1,2,3,4）,a为常数，贝心）

11711

A.a=|B.P（X〉3=4C.P（X<4a）=：D.E（X）=

（-）2

7.已知三个正态分布密度函数仇（无）=金屋号（尤6氏/=1,2,3）的图象如图所示，则

()

C.〃1=〃2<〃3，D.41V〃2=〃3，=。2<。3

8.某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是我击中目标后射击停止，射击次数X为

随机变量，则期望E(X)=()

A.yB.1C.|D.|

9.教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，

某校选派了5名教师到4、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去

一个学校，不同的选派方法数有种()

A.25B.60C.90D.150

10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的群解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可

见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是()

第一行11

第二行121

第三行1331

第四行14641

第五行15101051

第六行1615201561

A.由“与首末两端'等距离’的两个二项式系数相等"猜想：制=铲

B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上'两个数的和“猜想：C"i=

C.由“第n行所有数之和为2小‘猜想：得+碍+鬣+…+印=2几

D.由“111=11,II2=121,113=1331”猜想：II5=15101051

11.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是看和

在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）

A.2B.共C.9D.亮

12.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是

2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和

是7”,则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.将（a[+<22）（^1+B++。2+。3+C4）展开后有项.

14.某企业生产的8个产品中有5个一等品、3个二等品，现从这些产品中任意抽取4个，则其

中恰好有1个二等品的概率为.

15.从1,2,3,4,7,9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可

得到个不同的对数值.

16.下列四个命题中为真命题的是.（写出所有真命题的序号）

①若随机变量f服从二项分布8（4,J）,则其方差。（9=,；

②若随机变量X服从正态分布N（3,d）,且P（X<4）=0.64,贝叶（2<X<3）=0.07；

③已知一组数据*1，龙2，*3，…，*10的方差是3，则的+2,x2+2,x3+2,■■■,*10+2的

方差也是3；

④对具有线性相关关系的变量％,y,其线性回归方程为y=o.3x-巾，若样本点的中心为

（m,2.8）,则实数ni的值是4.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

袋中装有2个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同.

（1）现在有放回地摸3次，每次摸出一个，求“恰好摸出1次红球”的概率；

（2）现在不放回地摸3次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率.

18.（本小题12.0分）

已知（C-三厂的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于512.求：

(l)n的值；

(2)展开式中第3项；

(3)展开式中的常数项.

19.(本小题12.0分)

某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛

奖励规则如下：得分在［70,80)内的学生获三等奖，得分在［80,90)内的学生获二等奖，得分在

［90,100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取

100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.

(1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布

其中。a14,〃为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数(结果四

舍五入到整数).

附：若随机变量X服从正态分布NO，/),贝-a<X<fi+a)0.6827,P^-2a<X<

〃+2a)与0.9545,PQi—3a<X<+3。)«0.9973.

20.(本小题12.0分)

甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三

个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.

(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；

(2)设f表示所取白球的个数，求f的分布列.

21.(本小题12.0分)

随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市

民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1〜5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数

y（单位：人）与该初级私人健身教练价格久（单位：元/小时）的情况，如表所示.

月份12345

初级私人健身教练价格x（元/小时）210200190170150

初级私人健身教练课程的月报名人数y（人）587911

（1）求（和％）（i=1,2,3,4,5）的相关系数r,并判断月报名人数y与价格》是否有很强的线性相关

性？（当|r|€[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相

关性）（精确到0.001）

（2）请建立y关于x的线性回归方程；（精确到0.001）

（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人？（结果保留整数）

E之式阳一%）（%—y）

参考公式：对于一组数据（久"%）。=1,2,3,…,①，相关系数「=/一二2/一£，其

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为

y=bx+ab=J器1(折*'a=

考数据：7~29~5.385.

22.（本小题12.0分）

某条街边有4B两个生意火爆的早餐店，4店主卖胡辣汤、油条等，B店主卖煎饼果子、豆

浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了200名到这两个早餐

店就餐的顾客，统计数据如下:

4店B店

年龄50岁及以上4060

年龄50岁以下1090

（1）判断是否有99%的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关.

（2）根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，某天有3名顾客到这两个早餐

店就餐（每人只选一家），且他们的选择相互独立.设3人中到4店就餐的人数为X,求X的分布列

和期望.

7

附：%2n^ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PW>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由4蔡=20,可得-1)=20,解得加=5,机=一4(舍).

故选：B.

直接利用排列数公式，得到方程求解小即可.

本题考查排列数公式的应用，是基本知识的考查.

2.【答案】C

【解析】解：根据题意可得从书架上任取1本书，有4+3+2=9种不同的取法.

故选：C.

根据分类加法计算原理即可求解.

本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理是解决本题的关键，是基础题.

3.【答案】D

4432

【解析】解：因为(%—I)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

令X——1可得CI4一43+。2—1—I)，=16.

故选：D.

利用赋值法进行计算即可.

本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行计算是解决本题的关键，是基础题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题.

分类要全要细.每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，4、C不同色；4、

C同色两大类.

【解答】

解：先涂4有4种颜色可选，再涂B有3种颜色可选，

剩下的分两种情况：

(1)4、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与4、C同色，所以D可以从剩余的2中

颜色中任意取一色)：有4x3x2x2=48种；

(2)4、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与力、C同色，所以D可以从剩余的3中

颜色中任意取一色)：有4x3x1x3=36种，

共有48+36=84种.

故选A.

5.【答案】C

nrrrn2r

【解析】解：。-；产的展开式通项公式为：Tr+1=C^x-(-i)=(-l)C^x-,

•••的展开式中第3项与第9项的系数相等，

.•.(―1)2叱=(—1)84，解得71=10,

故展开式中二项式系数最大的项为第6项.

故选：C.

根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意可得：a(l+2+3+4)=1,解得a=

所以p(x>}=K+A=2.

P(X<4a)=P(X=》=奈

「八八11,22,33.443

E^=4XW+4XW+4XW+4XW=4-

故选：B.

利用分布列的性质列出方程，求出a,然后求解概率，判断选项的正误即可.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力，是基础题.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对

曲线的位置和形状的影响，是一个基础题.

正态曲线关于久=〃对称，且4越大图象越靠近右边，又有。越小图象越瘦长，从而得到正确的结

果.

【解答】

解：••・正态曲线关于x=〃对称，且4越大图象越靠近右边，

・•・第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二个曲线和第三个曲线的均值相等，

即“1<42=43,

・••C越小图象越瘦长，

得到第二个曲线的©比第三个曲线的内要小，即q=%<内

故选D

8.【答案】A

【解析】解：由题意得随机变量X的可能取值有1,2,3,

则P(x=1)=|,p(x=2)=/xq=余P(X=3)/x(x1=热

••.随机变量X的分布列为：

X123

22

P1

399

.•.E(X)=lx2|+2x^2+3xi1^^13.

故选：A.

由题意得随机变量X的可能取值有1,2,3,可得P(X=1)=|,P(x=2)=1x|=|,P(X=3)=

1x|xl=i,可得X的分布列，即可得出答案.

本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

9.【答案】D

【解析】解：由题意可得5名教师分为1,2,2或1,1,3组，

cgc

当分为1,2,2组时共有的选派方法数为专1,4|=go种，

c\c

当分为1,1,3组时共有的选派方法数为坐I.&3=60种，

及3

所以共有90+60=150种.

故选：D.

由题意可得5名教师分为1,2,2或1,1,3组，然后根据排列组合的计数性质分别求出方法数，

最后根据分类加法原理计数即可求解.

本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的分类思想，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于a：(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n行每一项，”与首末两端’等距离

’的两个二项式系数相等"，即第n行第爪+1项，则其二项式系数为C铲，后面对称的是第n-m+1

项，其二项式系数为c7r叱

则有Cr=。/机，所以A正确.

对于B：“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上'两个数的和"，第Ti+l行第r+1

项，其二项式系数为墨+i.其“肩上”两个数为第九行的r和r+1项，二项式系数分别为C厂1,加，

所以B正确.

对于C：(a+6产的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第九行每一项，由组合数的性质：禺+

禺+%+…+谓=2",则有第n行所有数之和为2%C正确；

对于D：计算可得1炉=161051,错误.

故选：D.

根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.

本题考查合情推理的应用，涉及杨辉三角与二项式定理的关系，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：设事件4表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这

个问题被解答”，

贝”⑷=|,P(B)=I，故P(C)=P(AB)+PQ4B)+P(48)=|x(l-1)+(l-|)xi+|x|=

11

元，

所以在这个问题已被解答的条件下，

31

甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：P=锵=4r=rr.

()15

故选：D.

利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即

可.

本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题.

分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.

【解答】

解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

两次取出的球的数字之和是7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(甲)4,P(乙)4,P(丙)=短=*PCT)=/。,

x：P(甲丙)=04P(甲)P(丙)，

B：P(甲丁)=2=P(甲)「(丁)，

C：P(乙丙)(乙)P(丙)，

D：P(丙丁)=0大P(丙)P(丁)，

故选：B.

13.【答案】24

【解析】解：展开式一共有2x3x4=24项，

故答案为：24.

利用二项式定理展开式，即可解出.

本题考查了二项式定理的展开式项数，学生的数学运算能力，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：恰好有1个二等品的概率p=A=3.

~cl~7

故答案为：宗

利用古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

15.【答案】17

【解析】

【分析】

本题考查其它排列问题、排列与排列数公式、对数换底公式，属于较易题.

根据所取得两个数中是否含有1分为两类,利用排列数公式和对数换底公式即可求出不同的对数值

个数.

【解答】

解：根据题意，分2种情况讨论：

①当取得两个数中有一个是1时，贝只能作真数，此时logal=0，a=2或3或4或7或9,

②所取的两个数不含有1时，即从2,3,4,7,9中任取两个，分别作为底数与真数可有&=20个

对数，

其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=logg3,

综上可知：共可以得到20+1-4=17个不同的对数值.

故答案为：17.

16•【答案】①③

【解析】解：若随机变量f服从二项分布B(4,J),

则其方差D(f)=4x；x(1-：)故①正确；

若随机变量X服从正态分布N(3,M),且P(Xw4)=0.64,

则P(2<X<3)=P(3<X<4)=P(X<4)-P(X<3)=0.14,故②错误；

已知一组数据方「%2,久3，…，%10的方差是3,

则修+2,尤2+2，X3+2，…，+2的方差也是12x3=3,故③正确；

对具有线性相关关系的变量X，y，其线性回归方程为y=0.3久_巾，若样本点的中心为(叫2.8),

则0.3m-m=2.8,解得m=-4,故④错误.

故选：①③.

根据已知条件，结合二项分布的方差公式，正态分布的对称性，方差的线性公式，线性回归方程

的性质，即可求解.

本题主要考查二项分布的方差公式，正态分布的对称性，方差的线性公式，线性回归方程的性质，

属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为袋中装有2个红球和4个黑球，

所以有放回地每次摸出红球的概率为P=

所以有放回地摸3次，每次摸出一个，求“恰好摸出1次红球”的概率为：

P=程3(|)2

(2)由不放回地摸球，则至少两次摸出红球，即为一次摸出2个红球，

所以不放回地摸3次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率为；

C初

P_2±__4__1.

_扇_20_5

【解析】(1)易得有放回地每次摸出红球的概率为P=$再利用独立重复试验求解；

(2)利用古典概型的概率求解.

本题考查独立重复试验、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)由题意可知，2n=512,解得71=9；

(2)(，/_a)9的二项展开式通项为?；+]=砥0*(—分r=(_l)rCrx^,

乙“LXZ

,,123

故&=(­2)2XCg%3=9%2；

(3)令等=0,解得r=3,

故展开式中的常数项为A=(一护俏=-y.

【解析】(1)根据已知条件，列出等式，即可求解；

(2)先求出该二项展开式的通项公式，令r=2,即可求解；

(3)结合该二项展开式的通项公式，即可求解.

本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)样本平均数的估计值：%=35x0,006x10+45x0.012x10+55x0.018x

10+65x0.034x10+75x0.016x10+85x0.008x10+95x0.006x10=64；

(2)由题意可知，X〜N(64,142),

〃+。=78,

则P(X>78)«1一°詈7=0.15865,

故参赛学生中成绩超过78分的学生人数为：0.15865x10000«1587.

【解析】(1)根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

20.【答案】解：(1)根据题意，记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为4、B、C,三球中至

少有一球为白球记为事件M,

则P(4)=右P⑻=与P(C)=,

P(M)=l-P(XB一C)=l-(l-11)X(l-i1)X(l-i1)=7^；

(2)由题意可知，随机变量，的可能取值为0,1,2,3.

P(f=0)=(1—今x(l-扔号，

P铉=1)=P(ABC+BAC+CAB}

=1X(1,1)2+2X(1_1)X1X(1,1)=4)

P(BCA+ACB+ABC)

=|xlx(l-|)+|x(l-|)x|+(l-|)x|xj=A;

P(f=3)士呼/•

所以，随机变量f的分布列如下：

0123

2451

P

991818

【解析】(1)由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三

球中至少有一个为白球”的概率；

(2)由题意可得f的可能取值为0,1,2,3,分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量

的分布列.

本题考查随机变量的分布列，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题.

“、-210+200+190+170+150-5+8+7+9+11

21.【答案】解:(l)x=-----------------------------=184,y=----------------=8o,

22222222

5X1(阳一x)=26+16+6+(-14)+(—34)2=2320,—y)=(-3)+(-1)+

。2+I?+3=20,—%)(%—y)=26X(-3)+16X0+6X(-1)+(-14)x