2020-2021学年衡阳八中高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年衡阳八中高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1,已知复数z=H詈（i为虚数单位），则复数z的共貌复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2,设x,y都是正数，且2x+y=l,则打，勺最小值是（）

A.4V2B.3V2C.2+3V2D.3+2V2

3.为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的六大数学核心素养进行指标测验，指

标值满分为5分，分值高者为优，根据测验情况绘制了如图所示的六大数学素养指标雷达图，则

下面叙述错误的是（）

数据分析

••••甲

一乙

数学运其数学建馍

Hfll也象

A.甲的数据分析素养优于乙

B.乙的数学运算素养优于数学抽象素养

C.甲的六大数学素养指标值波动性比乙小

D.甲的六大数学素养中直观想象最差

4.将标号为1,2,3,4,5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不

同的放法总数为（）

A.150B.300C.60D.90

5."/久一1/<2成立”是“xQ—3）<0成立”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

6.已知双曲线C：a―a=l（a>0,6>0）的左右焦点分别为F],F2,过后的直线与C的两条渐近

线分别交于4B两点，若以尻&为直径的圆过点氏且4为的中点，贝UC的离心率为（）

A.V3+1B.2C.V3D.V2

7.某学生解选择题出错的概率为瞰4，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（）

A.虹1F阙@尊B.ttf带求飒峋书

c.：i-通解D.©,：f

8.函数y=2尤3+1的图象与函数y=3无2—b的图象有三个不相同的交点，则实数b的取值范围是

()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

22

9.已知椭圆京+裔=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别Fi，尸2,P是椭圆上一点，若|PFi|=3|PF2|,

则椭圆的离心率可以是()

A.iB.C.|D.|

4233

10.关于(y-1)2。2。及其展开式，下列说法正确的是()

A.该二项展开式中二项式系数和是-1

B.该二项展开式中第七项为弓。20­°°7

C.该二项展开式中不含有理项

D.当x=100时，(近―1)2。2。除以100的余数是1

11.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6.从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲

表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”.丙表示事

件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙不相互独立D.丙与丁相互独立

12.下列命题正确的是()

A.函数/'(%)=bix与函数g(x)=e”的图象关于直线y=%对称

B.已知久，yER,集合4={l,x-l},B={y,2},若贝l]x-y=2

C.Bx>4,x2>2”的否定是Vx>4,x2>2X

-1

D.x40时，%+->2

X

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知命题P：“至少存在一个实数xe[1,2],使不等式/+2ax+2—a>0成立”为真，贝b的

取值范围是.

14.设数列{即}的通项为为=2n-10(neN+),则|a/+|a21T-卜kisl=.

15.已知随机变量X服从二项分布8(几p),若E(X)=20,D(X)=15,则2=.

16.设函数/(%)=xex-a(%+仇%),若f(%)>0恒成立，则实数a的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.

已知顶点的直角坐标分别为43,0、5(0,0)、C(c,0).

⑴若求du乂的值；

(2)若/4'是钝角，求C的取值范围.

18.某学科测试中要求考生从48,C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600

名学生参加测试，选择4B,C三题答卷数如表：

题ABC

答卷数180300120

(I)某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答

卷，其中从选择4题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少

份？

(II)若在(I)问中被抽出的答卷中，48,C三题答卷得优的份数都是2,从被抽出的4B,C三

题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；

(皿)测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在(I)问中被抽

出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X,求X的分布列及其数学期望EX.

19.若函数/(%)=Inx,g(%)=x--

(/)求函数9(%)=g(x)+kf(x)(keR)的单调区间

(〃)若对所有的冗6[e,+8)都有%/(%)>ax-。成立，求实数Q的取值范围.

20.如图，4B是O。的直径，P4垂直于。。所在的平面，C是圆周上不同

于4,B的一动点.

(1)证明：8C上面PAC；

(2)若PA=AC=1,AB=2,求直线PB与平面P4C所成角的正切值.

21.抛物线E：y2=2Px(p>0)的焦点尸，过点”(3,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于点4

B和点C,D,其中点4,C在x轴上方.

(I)若点C的坐标为(2,2),求AABC的面积；

(H)若p=2,直线BC过点尸，求直线CD的方程.

22.已知a>0,函数/'(%)=ax2—x,g(x)=Inx.

(1)若a=l,求函数y=/Q)-3g(x)的极值；

(2)是否存在实数a,使得f(x)>g(ax)成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理

由.

参考答案及解析

L答案：A

2+/。18_2+(产产气21_1-1

解析：解：,；1.

z=1+1-(14-0(1-0一二1，

・••复数Z的共轨复数在复平面内对应的点的坐标为：位于第一象限.

故选：A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轨复数在复平面内对应的点的坐标得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.答案：D

解析：解：x,y都是正数，且2x+y=l,

.,.[+：=(2x+y)(：+2)=3+(+?23+2J?.[=3+2V2,当且仅当y=V2x=V2—1时取等

号.

因此51+；1的最小值是3+2收

故选：D.

利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.

本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.

3.答案:D

解析：解：由雷达图可得，甲的数据分析素养优于乙，故A选项正确，

乙的数学运算素养为5分，数学抽象素养为3分，故乙的数学运算素养优于数学抽象素养，故2选项

正确，

甲的六大素养指标值最多差1,而乙的指标值最多差2,故甲的波动小于乙，故C选项正确，

甲的六大数学素养中直观想象最优，故。选项错误.

故选：D.

根据雷达图中提供的数据分析，即可求解.

本题主要考查雷达图的应用，属于基础题.

4.答案:A

解析：解：根据题意，分2步进行分析：

①将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有竺笋=15种分组方法，

若分为1、1、3的3组，有C53=10种分组方法，

则有15+10=25种分组方法，

②将分好的三组放入三个不同的盒子中，有蜀=6种情况，

则有25X6=150种放法，

故选：A.

根据题意，分2步进行分析：①将5个小球分成3组，②将分好的三组放入三个不同的盒子中，由分

步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

5.答案：B

解析:试题分析:首先解出两个不等式,再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的，由|尤-1|<2,

得—由—3）<0,得0<x<3,故选8.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

6.答案：B

解析：解：如图，

因为4为的中点，所以居N=同，

又因为B在圆上，所以布.取=0,故OA_L&B,

则&B：y=^（%+c）,

联立仁广+c）'解得以痣，悬），

a

则。5=（黑）2+（悬）2=,2，

整理得：b2=3a2,

•••c2—a2=3a2,即4a2=c2,

2r

・•・丁r=4,e=-=2.

a2a

故选：B.

由题意画出图形，结合已知可得F]B_L。4写出的方程，上»=£联立求得B点坐标，再由斜边

的中线等于斜边的一半求解.

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题.

7.答案：C

解析：试题分析：首先考虑所求事件的对立事件：三道题全对的概率打所以至少一

V.V

道题目出错的概率为1-血蟆

考点：独立重复试验与对立事件

点评：当直接求解所求的概率需要分多个互斥事件时，常转化为先求其对立事件的概率，两者间概

率和为1

8.答案：B

解析：由题意知方程2/+1=3x2—b,

即2/-3x2+1=-b有三个不相同的实数根，

令f(x)=2%3—3x2+1,

即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=有三个交点.

由/'(x)=6/-6比=6x(%-1)知，函数y=/(%)在区间(一8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

在(1,+8)上单调递增，故/(0)是函数的极大值，/(I)是函数的极小值，若函数y=/。)=2——

3x2+1与直线y=—b有三个交点，贝，(1)<-b</(0),解得—1<b<0.

9.答案:BC

解析:

本题考查椭圆的定义及几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

由|PFi|=3仍尸2|,结合椭圆的定义可求出|PFi|,IPF2I，根据IPF/,仍尸2|的范围求出离心率的取值

范围，结合选项得答案.

解：|PF/=3|PF2|,

又IPF1I+IPF2I=2a,则1PF/=.仍尸2|

由于点P在椭圆上，Q—c4|PF/<a+c,a-c<\PF2\<a+c,

即a—c</<a+c,a—c<^<a+c,

可得统e<1,

故只有BC符合题意，

故选：BC.

10.答案：BD

解析：解：二项式（女-1）2。2。的展开式中二项式系数和为22。2。，故A错误；

展开式中第七项为心=脸）20（«）2°14（—=《020落°°7,故3正确；

该二项展开式的通项公式为裳+1=C%20（W）2°2°-r（—1）『=（_1厂4020炉°1°!

当r=0,2,4,2020时，图+i为有理项，故C错误；

当%=100时,（10-1）2°2。的通项公式为（—l）rC£o2olO2O2O-r,

2019201820172

所以（10-I/。？。=。%。］。？。？。,^02010+^o2olO-^0201O+.••+C^IO-

C徽101+1

20182015

=1OO（C°O2O1O-6O2O1O2°"+废O2ol02°i6-^02010+…+C第碧-202）+1,

所以（10—1）2020除以100的余数是1,故D正确.

故选：BD.

由二项式系数和为2%即可判断选项A；由二项展开式的通项公式求得第七项即可判断选项&求

2018

出二项展开式的通项公式即可判断选项C；由二项式定理求得（10-1）2020=1OO（C«O2O1O-

20172016

C2O2O1O+C2020I0-圈2（1102015+…+C2018_202）+1,即可判断选项D.

本题主要考查二项式定理及其应用，考查二项展开式的通项公式及二项式系数，属于中档题.

11.答案：BC

解析：解：由题意可得，P（甲）=gP（乙）=gP（丙）=总P（丁）=g

OODOO

1

p（甲丙）=04p（甲）p（丙），p（甲丁）=p（甲）PCT）=亲

P（乙丙）=表4P（乙）P（丙），P（丙丁）=04P（丁）P（丙）.

故选：BC.

根据已知条件，结合独立事件概率关系逐一判断，即可求解.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

12.答案：AB

解析：

本题考查了反函数的定义及其性质、集合之间的关系、命题的否定、基本不等式的性质，考查了推

理能力与计算能力，属于一般题.

A利用反函数的定义及其性质即可判断出正误.

R根据4UB,可得旨］；=2,解出比，％即可判断出正误；

C.根据命题的否定即可判断出正误;

D根据基本不等式的性质即可判断出正误.

解：4,.・函数/(%)=仇%与函数g(%)=e%互为反函数，因此其图象关于直线y=%对称，正确;

X—]2

(y=1，解得％=3,y=l,.,.x-y=2,

正确；

C.Bx>4,/>2%的否定是v%>4,%2<2%,因此不正确；

。.当X>0时，有％+工22,并且当且仅当％=1时取等号；当X<0时显然不满足，因此不正确.

X

故选：AB.

13.答案：(—3,+oo)

解析：解：解法一；根据题意得，

、1+2(1+2

-a^~，或,

1+2a+2-a>014+4a+2-a>0

解得一3<a<—|a>—|；

综上，实数a的取值范围是(-3,+8).

解法二；不等式/+2ax+2-a>0可化为a(2x—1)>—x2-2,

由xe[1,2],则2x—1G[1,3],

设〃为=含，且久e[1,2],

.f'(v\--2(X-2)(X+1)

■■/(X—(2x-l)2，

令f'(x)=0,解得久=-1或x=2,

二当xe[1,3]时，f'(x)>0,

/(%)是单调增函数，

/(X)在xG[1,2]内的最小值为f(l)=-3,

•••a的取值范围是(一3,+8).

故答案为：(―3,+8).

解法一；根据二次函数的图象与性质，列出不等式组求出a的取值范围.

解法二；分离常数a,构造函数f(x),利用导数求f(x)在xe[1,2]内的最小值即可得出结论.

本题考查了二次函数的性质与应用问题，也考查了不等式有解的应用问题，是中档题.

14.答案：130

解析：解：・・・。九=2n-10,•••数列｛%J是以2为公差，-8为首项的等差数列，

，当九45时，a九，＜0；当九＞5时，an＞0,

a

则|%J+|«2|4----卜|a15|=一(％_+a2T---卜。5)+(即+a7T---卜is)

=—2(&+g+…+。5)++…+%.5)

5x(-8+0)15X(-8+20)

=-2X——--------+--------------=130

22

故答案为：130.

根据即判断出｛册｝是以2为公差，-8为首项的等差数列，再判断出当14九工5时，心，＜0；当九＞5

时，厮＞0,再对所求的和式|的|+|a2|+…+以需去绝对值和转化，由等差数列求和公式进行求值.

本题考查了等差数列的通项公式和前几项公式的应用，注意对所求的和式进行合理的转化.

15.答案：；

4

解析：解：随机变量X服从二项分布8(几p),

E(X)=20,D(X)=15,

(np=20

•.(np(l—p)=15'

解得几=80,p=i

4

故答案为：

由E(X)=20,D(X)=15,列出方程组，由此能求出结果.

本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.答案：[0,e]

解析：解：函数的定义域(0,+8),/(x)=(x+l)ex-a(l+^)=(x+l)(ex-^),

当a＜0时，/z(x)＞0,函数单调递增，且比-0时，/(无)一—8,不符合题意;

当a=0时，f(x)=xex＞0,符合题意；

当a＞。时，由/⑺之。恒成立可得合筌

A/、x+lnx(x+l)(l-x-Znx)

则g'(x)=

令g。)=二%>0,(xex)2

令九(%)=1—x—Inx,则九'(%)=-1—-<0,

故九(%)在(0,+8)上单调递减，且h(l)=0,

故%E(0,1)时,h(x)>0即g'(%)>0,g(%)单调递增,当%G(1,+8)时,h(x)<0即“(%)<0,g(x)

单调递减，

-1

故当x=1时，g(x)取得最大值g(l)=->

~-g(%)max=p

所以0<awe.

综上可得，a的范围[0,e].

故答案为：[0,e].

结合已知可先讨论a的范围，然后结合分离参数法及导数知识即可求解.

本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，解题的关键是分离法的应用及导数的应用.

17.答案：(1)45;

5

⑵「>去

4

解析：(1)；4(3,4)、加0,0),二|闻=5,血3=不

当c=5时，|比|=5,\AC\=yl(5—3)x+(0—4)s=2^.

得阴=鼻血心匚B二C血3

根据正弦定理,

sinAsm#AC

(2)的八女顶点坐标为4(3,4)、加0,0)、。(00),

L£B|2+L4C|-|5C|2

雌皿，I

若乙1是钝角，则85,4<00|对：+|闻；一|闻；<0,

即5■+[(c-3)一+n一c=50—6c<0,解得

18.答案：解：(I)由题意可得:

题ABC

答卷数180300120

抽出的答卷数352

应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份.

(H)记事件M：被抽出的4B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只

能C题答案为优，依题意P(M)=]x|x1

(HI)由题意可知，B题答案得优的概率为号显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0,

1，2,3,4,5,且X〜B(5,》P(X=k)=C泊飞尸(卜=0,1,2,3,4,5),可得P(X=0)=击，P(X=

D=券，P(X=2)=言，「。=3)=券，P(X=4)=亲P(X=0)=上

随机变量X的分布列为:

X012345

32808040101

P

243243243243243243

15

E(X)=np=5X-=

解析：(/)由詈=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；

(〃)记事件M：被抽出的4、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只

能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；

(HI)由题意可知，B题答案得优的概率为条显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0,

1，2,3,4,5,且X〜8(5,》利用P(X=k)=C与④气|)5d(k=o,i,2,3,4,5),及其E(X)=呼即可

得出分布列及其数学期望.

本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.答案：解：(1)由题意得以工)=久—|+也九X的定义域为(0,+8),

7kx2+kx+2

・•・(p'(x)=1+—+-=

了''XzX

令y=%2+fcx+2得，则4=k2—8,

①当△=1一8<0时，即—2vL(p'(x)>0,

②当A=k2—8>0时，即k>2a或k<-2a,

此时方程/+或+2=0有两个不同实根：%]=f7k-8,盯=±

2N

若k>2迎时，则为1<%2<。，故"。)>0，

若kV-2鱼时，则0</<%2，

当0V%<%1或%>%2时，(p'(x)>0;当<X<%2时，(p'(x)<0,

综上：当kN-2近时，w(%)的单调递增区间(0，+8),

当k<—2位时，次乃的单调递增区间(0,士泞),「日广,+00),

单调减区间为尸,生广)；

(口)由题意得，久e[e,+8)都有2ax-a成立，即aW三

令以%)=二7，XG[e,+8),

门_(xlnx)i(x-1)-xlnx(x-1)r_x-lnx-1

人」(町二(x-1)2=(%-l)2'

丁当%>e时，(％—Inx—l)z=1—^>0,

x—Inx—1>e—Ine—l=e—2>0,即//(%)>0,

则h(%)在⑻+8)上递增，故h(x)小沆=/i(e)=三，

另解：由%)%>ax—a得，xlnx—ax+a>0,

令h(x)=xlnx-ax+a,则当在［e,+8)上时,h(x)min之①

则八'(久)=Inx+1—a,由“(%)=0得x=ea-1,

当0<x<e^T时，h'(x)<0；当x>e^T时，h'(x)>0,

•••/l(%)在(0,4一1)上单调递减，在+8)上单调递增，

①当a<2时，e-i<e

・•.九(%)在®+8)上单调递增,

Q

・•・/i(x)min=/i(e)=e—ae+a>0,即a<

②当a>2时，h(e)>0,即e—ae+a>0,得e+a>ae,

若2Va<e,贝!Je+a<2e<ae；若a>e,则e+a<2a<ae,

・•.a>2不成立,

综上所述a<六.

C—1

解析：(1)先求出9。)的解析式，再求出定义域，求出导数并进行整理，对A=1—8进行分两类讨

论，分别求出k的范围、“(X)>0和"(X)<0对应的x范围，即是函数的单调区间；

(2)由题意得转化为：x6［e,+8)都有x/nx2a%-a成立，分离出a后构造函数九(%)=詈，利用导

数求出此函数在［e,+8)上的最小值；

另解：由万"x2ax-a构造函数h(x)=xbix-ax+a,利用导数求出h(x)在［e,+8)上的最小值，

需要对a进行分类讨论.

本题考查了导数与函数的单调性关系，以及恒成立问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了

分类讨论思想、转化思想和分离常数方法.

20.答案：(1)证明：••・AB为圆。直径，

•••/LACB=90°,即4C1.BC,卜

PAl^ABC,PA1BC,\N.

■■­ACfyPA=A,ACc^PAC,P4u面PAC,V--

BCk^PAC.«U-V-

(2)解：vBCiffiPXC,^BPC^lPB^nPAC^m^,/

PA=AC=1,AB=2,

直线PB与平面PAC所成角的正切值：tan/BPC="

2

解析：(1)证明ACIBC,PA1BC,即可证明BC1面PAC.

(2)说明NBPC为PB与平面PAC所成的角，通过求解三角形，推出结果即可.

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化

思想以及计算能力，是中档题.

21.答案：解：(I)•••点C(2,2)在抛物线E上，［4=4p,p=l,

，54

抛物线E的方程为y2=2%,.

2—05w»

:七口=7-7=-2,且AB1.CD,；•七8,=-1，

，•^AB=5，

A

-i

又••・直线AB过点”(3,0)，，直线AB方程为y=-(x-3),

设2(X1，%)，S(x2,y2),

(y2=2x

联立｛1,小，化简得y2-4y-6=0；所以△=40>0,且月+丫2=4,-y2=

[y=式％-3)

此时MBI=，(1+22)[(%+]2)2-4月火]=10V2,\CH\=7(2-3)2+(2-0)2=乘,

：.SMBC=|\AB\■\CH\=|x10V2xV5=5V10.

(U)设。(刀3，为)，。(刀4，〉4)，则HB=(刀2—3/2)，HC=(%3—3,为)，

AB1CD,

■■~HB~HC=(x2-3)(X3-3)+y2y3=X2X3-3(X2+X3)+9+y2y3=0，⑴

••,直线BC过焦点F(l,0),且直线BC不与x轴平行，

・•・设直线的方程为％=ty+1,

联立｛:二J；]，得y2-4ty-4=0,A=16t2+16>0,且丫2+丫3=4%丫2，丫3=-4，(2)

2

x2+x3=ty2+l+ty3+l=t(y2+y3)+2=4t+2,不.久3=写孝==1-

代入(1)式得：1-3(4/+2)+9-4=0,解得t=0,

代入(2)式解得：y2=—2,y3=2,此时尤2=%3=1；,,,C(l,2),

,2-3.

,,,*=鼻=T，

••・直线CD的方程为y=—x+3.

解析：(I)点。(2,2)在抛物线后上，可得4=4p,解得p,可得抛物线E的方程为y2=2x.由AB1CD,

■\

可得%BKD=-1，解得心B，由直线AB过点H(3,0),可得直线AB方程为y=i(x-3),设做修,力),