2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.集合U={1,2,3,4,5},A={2,4,B=[1,3,5}血）=（）

A.{2}B.{4}C.{2,4}D.{2,4,5）

2.若（a+bi）*1=1+1（a,beR,i为虚数单位），贝!Ja+b=（）

A.2B.0C.-2D.1

3.甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安

排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（）

A.6B.12C.18D.24

4.在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看

比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50,列表如下：

观看场01234567

数

观看人8%10%20%26%m%12%6%2%

数占调

查人数

的百分

比

从表中可以得出正确的结论为（）

A.表中，"的数值为8

B.估计观看比赛场数的中位数为3

C.估计观看比赛场数的众数为2

D.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人

5.已知xlog34=l,则4"的值为（）

A.3B.—C.4D.—

34

6.已知函数f（x）=Asin（3x+。）（A>o，3>0，|。|〈子）的部分图象如图所

示，则下列说法错误的是（

A.3=2

大兀

B.。)

o

c./(x)的图象关于直线对称

D./(x)的图象向右平移今个单位长度后的图象关于原点对称

7.已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a•e=1,b，e=2,则|a+b|的最小值为()

3

A.1B.—C.2D.3

2

8.已知函数f(x)=^-x+alnx(a€R)有两个极值点％1，短，且xi〈X2,则下列选项正确

x

的是()

A.f(xi)>0,f(%2)>0B.f(xi)>0,f(%2)<0

C.f(xi)<0,f(x2)>0D.f(xi)<0,f(x2)<0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.在二项式(x—2)6的展开式中，下列说法正确的是()

X

A.每项系数之和为1B.二项式系数之和为729

C.含有常数项-160D.含有x的一次新项

(多选)10.已知函数/(x)=ex+x-2,若存在实数“，b(a〈b),有/(a)/(。)，则

下列选项一定正确的是()

A.a<0

B.b>0

C./(x)在(o,b)内有两个零点

D.若f(詈)<0,则/(尤)在区间(等，b)内有零点

(多选)11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随

机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以4,4分别表示从甲箱中取出的

是白球和黑球的事件，以囱，&分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下

列结论正确的是（）

A.事件4与事件4互斥

B.事件Bi与事件A2相互独立

C.P必陷）号

q

D.P（B2）F

（多选）12.已知实数无，y>0,且x+"=i,则下列选项正确的是（）

A.x+y>\B.yVxC.A/X+y^/2D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知事函数f（x^x。（a€卜2,-1,y,1,3］）为奇函数，且在（0,+8）,

贝Ua=.

OIT

14.已知sinB=耳，贝1）sin（28-

"lg（x+1）»-l<x<0

15.已知函数f（x）［a,的值域为R,则实数。的取值范围

x+—-4,x>0

Ix

是.

16.如图，D,E,尸分别是边长为4的正三角形三边CA,AB,将△ADE,ABEF,EF,FD

向上翻折至与平面DEF均成直二面角；几何体ABC-DEF的外接球表面积

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为

了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销

单价力元88.28.48.68.89

销量W万件908483m7568

(I)求单价尤的平均值7;

(II)根据以上数据计算得y与尤具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得y

关于尤的经验回归方程为y=_20x+25。，求m的值.

n__

"£(x「x)(丫「丫)

----------------------

2

附：£(X1-x)・

i=l

a=y-bx

18.在①acosC+ccosA=26cosB；②，§(a2+c2-b2)=4S・这两个条件中任选一个，补充

在下面的横线上

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(I)求角B的大小；

(II)若sinA+sinCAg，求角A的取值范围.

19.为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下:

性别/睡眠时间足8小时不足8小时足7小时不足7小时

男生351

女生173

(I)记“足8小时'为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表;

睡眠情况性别合计

男生女生

睡眠充足

睡眠不充足

合计

(II)现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时

的女生人数，求X的分布列和均值.

n(ad-bc)£

附：x

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

10.828

20.如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC

(I)证明：平面平面SA&

(II)若AB=8C=1,直线AC与平面S3C所成角的大小为小，求&4的长.

21.已知函数/(九)=x\x-a\-a,其中aWR.

(I)当a=l时，解关于x的不等式/(x)2-1；

(II)若VxW(0,1),/(x)<0,求实数。的取值范围.

22.已知函数/(%)=2xlnx-ax1-x(〃€R).

(I)求证：f(x)W(2-a)N-3x；

(ID若xo为函数/(x)的极值点，

①求实数〃的取值范围；

②求证：e°>l+2ax02

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.集合U={1,2,3,4,5},A={2,4,B={1,3,5}/)=()

A.{2}B.{4}C.{2,4}D.{2,4,5)

【分析】由全集。及8求出8的补集，找出A与8补集的交集即可.

解：•.,全集。={1,2,2,4,5,6},4,5},3,5},

.••CuB={2,8,6),

则AC(CvB)={2,4}.

故选：C.

2.若(a+bi)•i=l+i(a,beR,i为虚数单位)，贝!Ja+b=()

A.2B.0C.-2D.1

【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.

解：(a+bi)*i--b+ai—1+i,

贝1」尸=1,解得。=i,

Ia=5

故a+b=1-7=0.

故选：B.

3.甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安

排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为()

A.6B.12C.18D.24

【分析】先在四位大学生选2人到A场馆进行志愿服务，剩下的两人到8场馆进行志愿

服务即可，

解：先在四位大学生选2人到A场馆进行志愿服务，剩下的两人到B场馆进行志愿服务

即可，

则不同的安排方法种数为C;C：=2，

故选：A.

4.在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看

比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50,列表如下:

观看场01234567

数

观看人8%10%20%26%m%12%6%2%

数占调

查人数

的百分

比

从表中可以得出正确的结论为（）

A.表中机的数值为8

B.估计观看比赛场数的中位数为3

C.估计观看比赛场数的众数为2

D.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人

【分析】对4由百分比之和为1判断即可；

对8,根据中位数大于50%的数据判断即可；

对C,根据出现频率最高的场次判断即可；

对。，先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%,由此估计观看

比赛不低于4场的学生数即可.

解：对A,由频率分布表的性质机=100-8-10-20-26-12-6-4=16,故A错误；

对8,因为8%+10%+20%=38%<50%,故中位数为3；

对C,因为观看场数为7占的比例最高；

对。，观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+3%=36%,

估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000X36%=360人，故。错误.

故选：B.

5.已知xlog34=l,则4"的值为（）

A.3B.—C.4D.—

34

【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解.

解：由题意得％=log43,

所以2%=3.

故选：A.

6.已知函数f（x）=Asin（3x+。）（A>0，>0,|。|〈丁）的部分图象如图所

示，则下列说法错误的是（）

A.3=2

B.。吟

C./（X）的图象关于直线对称

D.f（x）的图象向右平移等个单位长度后的图象关于原点对称

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出4由周期求出3,由五点法作图求出中的值,

可得了（X）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

解：根据函数f（x）=Asin（3x+@）（A>o，3〉0,|。|<夕）的部分图象,

1、，3兀_7兀兀.一

—X---——--------,••co——2；

231212

再结合五点法作图，可得3X^3，.♦.隼=：乌），故8正确；

122ob

令求得/（X）=sin号，为最大值x若对称；

JTJT

把了（X）的图象向右平移-3个单位长度后高）的图，故。错误，

o3

故选：D.

7.已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a•e=1,b*e=2»|a+b|的最小值为()

3

A.1B.-C.2D.3

2

【分析】设z=(0,1),a=(x,y),b=(m,n)，由向量数量积和模长的坐标运算

可表示出Q+E|=7(x+m)2+9J由(%+m)220可得结果.

解：不妨设巳=(0,1),a=(x,y),b=(m,n)，

**-ake=y=8,bke=n=2j贝1Ja+b=(x+m,3)，•*«|-^+b|=V(xtm)6+9J

V(x+m)2^2,|^+b|)3，则|W+E|的最小值为3.

故选：D.

8.已知函数f(x)hL-x+alnx(a£R)有两个极值点》，垃，且阳〈垃，则下列选项正确

x

的是()

A.f(xi)>0,f(%2)>0B.f(xi)>0,f(X2)<0

C.f(xi)<0,f(x2)>0D.f(xi)<0,f(x2)<0

【分析】分析可知a=Xi+=x+—，且0VxiV1V愈，则

X1乙2*2

222

l+x.1-X,1-X2

f(X,)=-------(lnx,■1------5)(lnx2令

1X11+x,2\+x2

1-V

h(x)=lnx+----y,通过导数研究/?(尤)的取值情况，即可得解.

l+x^

解：f7(x)=v-6+^-=---方+1，则短是方程N-办+1=0的两个根,

V2XV6

又％3X2=1,X8<X2,则OVX5〈1V%2,

z1175+X]l-x7

•*-f(乂8)1--X5+alnxi[-—X]+(X]+^)lnx]=-------(lnxH------

X1X8X1x81+x-

□

2

l-x3

1

同理f(lnx2------->

l+x7

1-x?34x(l-x^)2

令h(xhlnx't-----9则h‘x7232

1+x2-(l+X)-(l+x)

:.h(无)在(5,+8)上单调递增，

.•.当0<x<l时，h(x)<4,h(x)>0,

(xi)<8,f(无2)>0.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.在二项式（X工）6的展开式中，下列说法正确的是（）

x

A.每项系数之和为1B.二项式系数之和为729

C.含有常数项-160D.含有x的一次事项

【分析】令x=l,即可判断选项A,根据二项式系数和公式即可判断选项8,求出展开

式的通项公式，即可判断选项CD

解：令x=l,则各项系数和为（1-3）6=1,故A正确，

展开式的二项式系数和为46=64,故B错误，

展开式的常数项为6=-160,

展开式的通项公式为7z=c馥9_r（-2）r=C尹（-4）,6-2「，5,6,

L•1OX。

令6-8厂=1,解得厂=],故展开式不含有一次事项，

故选：AC.

（多选）10.已知函数/（x）=ex+x-2,若存在实数〃，b（a〈b）,有/（a）/（Z?）,则

下列选项一定正确的是（）

A.a<0

B.b>0

C.f（x）在（小。）内有两个零点

D.若f（詈）<0,则/（x）在区间（詈，b）内有零点

【分析】结合该函数的单调性、/（0）的符号，/（等），八a）,f（b）的符号，逐项

判断即可.

解：易知/（x）=6+x+2在R上单调递增，

则由〃，Z?满足〃<b,得/（。）<0,

又/（0）=-3<0,故b>0必成立，且/（%）在（〃，故AC错误；

对于，因为f（詈）<0,故/（X）在区间（詈，b）,故。正确.

故选：BD.

（多选）11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随

机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以4,4分别表示从甲箱中取出的

是白球和黑球的事件，以3,当分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下

列结论正确的是（

A.事件4与事件4互斥

B.事件3与事件A?相互独立

c.P（Bi|A2）=y

q

D.P（B2）F

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断A、B,根据古典概型的概率公式判断

C,根据全概率公式判断。；

解：对于A,•.•每次取出1球1与事件由是互斥事件且是对立事件，故A正确；

对于2,从甲箱中取出黑球，则乙箱黑球变为1个，

则取出白球概率发生变化，事件以与事件人不相互独立，故B错误；

对于C,若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，白球还是2个，

则P（阚①）序故C错误；

94-R

对于。：因为尸（AD=尸（4）=W，p（B|A）=冬p（&1A2）=4,

22574

故选：AD.

（多选）12.已知实数无，y>0,且无+产=1,则下列选项正确的是（）

A.x+y>lB.y\/^C.+y^/2D.）占

【分析】首先求出x,y的范围，利用作差法判断4利用基本不等式判断小C,依题

意可得盯=-y3+y,令f（y）=-y3+y,O<J<1,利用导数说明函数的单调性，即可求

出函数的最大值，从而判断D

解：对于A,因为x+y2=l,所以x=2-y2,^2=7-x,

又%>0,^>02<1,y2=7-x<L即0<xV6,

所以x+y-1=x+y-（x+y）=y（8-y）>0,所以x+y>l；

对于5,因为x+V=l,x>0,所以7=x+y222yy8所以Y\的《卷，

D

当且仅当x=V，即x=《，y=亚，故8正确；

62

对于C,（V^+y）6=x+y2+2y^^=4+2p7^,

所以0VHy=^^~,故C错误;

对于。，因为x+y2=5,x>0,所以元=1-陕,

所以孙=(I-/)y=-y4+y,令/(y)=-y3+»0<y<6,

f(y)=-3y2+4=-3(y-),

当3<y<与时，f(y)>5；

当返<y<5时，/(y)单调递减.

3

故/(y)m“x=f(叵)=正义(1苴

3339^9

8

所以」一厘，故O正确.

xy^>25A/3-=2

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知暴函数f(x-a(ae{-2,-1,y,1,3))为奇函数，且在(0,+-),

则a=-1.

【分析】由题意，利用幕函数的定义和性质，求得a的值.

解「•幕函数f(xAx。(ac{-2,-1,y,1,8})&泌sp；为奇函数，再根据在

(0,则a<0,

综上可得，a=-4,

故答案为：-1.

QK7

14.已矢口sin8二5，贝Usin(284^)=_云_•

【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦公式即可求解.

解：因为sinB=—,

D

TT□7

所以sin(484^-)=cos29=3-2sin2®=4-2X(-)2=-^-.

故答案为：TB7,

lg(x+1)9-l<x<0

15.已知函数f(x)[a,、的值域为R,则实数〃的取值范围是，^

x——4,x>0

x

8,4].

【分析】由已知结合分段函数的性质，对数函数的性质，函数的单调性即可求解.

解：当-IVxVO时，f(x)=lg(x+8)<0,

因为/（x）的值域为R且x>0时，f（x）=x+—,

X

当时，函数在X>0上单调递增，显然符合题意,

当40时，/⑴》纵/7，当且仅当冗=2时取等号,

由题意得-6W0,

故0VaW6,

综上〃的取值范围为（-8,4].

故答案为：（-8,4].

16.如图，D,E,尸分别是边长为4的正三角形三边C4,AB,将△AOE,ABEF,EF,FD

向上翻折至与平面。£尸均成直二面角卫豆；几何体48C-OE尸的外接球表面积为

—5―

20冗

3-'

A

【分析】（1）取。E的中点P,的中点。，A8中点G,则二面角C-AB-E为NCGE,

再根据几何关系分别计算GE,0E即可得；

（2）取外接球球心O,设△ABC中心为P,△OEF中心为。，根据0「4<）0=「|2=五歹!]式

求解可得球半径，进而得到表面积即可.

解：取。E的中点P,防的中点。，BQ±EF,

根据面面垂直的性质可得APL平面。EEBQ,平面DEP,且AP=BQ,

所以AB=PQ=]FD=3，根据图形的对称性，

取中点G,因为EA=EB,则CG±AB,

则二面角C-A8-E为/CGE,且GE=VAE2-AG2口

作GOU。易得GO=AP=我，0E=VGE2-G02=-J-y-3

故cos/CGE=cos(NOGE+90°)=-sinZOGE=一悬-=八号，

7155

即二面角C-AB-E的余弦值为八巨；

5

CR

LK

\.49*

/N1

.，.(?

/；"、E

(2)设几何体ABC-OEF的外接球球心为。，设AABC中心为P,易得P,O,如图,

1,DQ=-^^,

设外接球半径OC=OO=R,根据正三角形中的关系，CP=76

因为OPOQ=PQ二扬则Joc2-Cp2+yoD6-DQ2二心

即｛"总乖2号=证,即R2V=3+区2_1__2^#2等

故2=3.犷!，解得R2号

故外接球表面积为兀2

S=4R=2^L.

故答案为：八叵；2”.

58

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为

了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销

单价力元88.28.48.68.89

销量W万件908483m7568

(I)求单价尤的平均值x；

（II）根据以上数据计算得y与尤具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得y

关于尤的经验回归方程为y=_20x+250'求小的值.

/

n__

*£（x「x）（y「y）

b^—----------------------

附：£（x1G）2.

i=l

ia=y-bx

【分析】（/）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解.

（〃）根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解.

解：（I）由表中数据可得，X4x（6+8.2+5.4+8.8+8.8+8）=85

6

（〃）•••由最小二乘估计求得y关于x的经验回归方程为

y=-20x+250,

y=-20X3.5+250=8。

.—90+84+83tm+75+68的汨

..y=-----------------------------=80>角单得,*=8cn0.

18.在①acosC+ccosA=26cosB；②（a2+c2-b2）=4S・这两个条件中任选一个，补充

在下面的横线上

在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,.

（I）求角8的大小；

（II）若sinA+sinC》，，求角A的取值范围.

【分析】（I）选①：由正弦定理可得cos_B,可求&选②：可得2j^accosB=2absinC，

可求cosB,可求8；

（〃）由已知可得sin（A哈）＞^，可求A的取值范围.

解：（I）选①：因为4cosc+ccosA=2bcos5,

所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

所以sinB=7sinBcosB

ijr

所以cosB二不，.

24

选②：因为S=_^_absinC,+c^-b2=2accosB

所以2V3accosB=8absinC»

即accosB二bsinC，

所以愿sinCcosB=sinBsinG

所以tanB=泥，7T.

o

=>1-sinA+^^cosA=V3sin

所以sin，

▼rmAI_5/7TV兀兀,5兀b［、I兀-/兀/2兀

又因为0<A<0，二~<，所以，

3676566

所以1-4A<卷■.所以A的取值范围［看，-^-］.

19.为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下:

性别/睡眠时间足8小时不足8小时足7小时不足7小时

男生351

女生173

(I)记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表;

睡眠情况性别合计

男生女生

睡眠充足

睡眠不充足

合计

(II)现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时

的女生人数，求X的分布列和均值.

附：v2_n(ad-bc)之.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)_________

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【分析】(I)由题意，填表如下:

睡眠情况性别合计

男生女生

睡眠充足314

睡眠不充足61016

合计91120

由表得¥进而得出结论.

(II)由题意，X可取0,1,2,3,且X服从超几何分布，利用概率计算公式即可得出

分布列与E(X).

解：(I)由题意，填表如如下：

睡眠情况性别合计

男生女生

睡眠充足316

睡眠不充足61016

合计91120

由表得1喂春喂泉番I.'—.

没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关

(II)由题意，X可取0,1,7,3,

62

CC

C：57442C7C；弘C7

P(X=0)=^=-7-,P(X=l)165^3-=T65,p(x=5)=^r

「3165

U11

35

l65，

即

X0143

P4428435

165165165165

21

E(X)=3X

11

20.如图，在三棱锥S-A8C中，SA_L底面A8C

(I)证明：平面SBC_L平面SA&

(II)若A8=BC=1,直线AC与平面SBC所成角的大小为-丁，求SA的长.

h

B

【分析】（I）推导出SA，平面ABC,从而SALBC,再由ABLBC,得到BC,平面SAB,

由此能证明平面SBC_L平面SAB.

（II）过点A作垂足为H,连结”C,推导出AH_L平面SBC,从而/AC"就

是直线AC与平面SBC所成角，由此能求出SA.

解：（I）证明：在三棱锥S-4BC中，SAL底面ABC,

因为SA_L平面ABC,所以SAJ_BC,

因为AB_LBC,ABCtSA^A,

所以平面SBC_L平面SAB.

（II）过点A作A//LS2,垂足为H

由（I）得平面S2C_L平面SAB,

又AH_LSB,平面S8CCI平面SA8=SB,

所以AH_L平面SBC,

所以/AC8就是直线AC与平面SBC所成角，

即NACH=30°.

在Rt^ABC中，A8=8C=1,故AC=&-

在RtAAWC中，AH=ACsinZACH=^-

在RtZXSAB中，因为A/LLSB.

s

H

A\/

B

21.已知函数/(%)=x\x-a\-af其中a£R.

(I)当〃=1时，解关于x的不等式/(x)2-1;

(II)若VxE(0,1),/(x)<0,求实数。的取值范围.

【分析】(/)当。=1时，推出x|x-l|20,再分类讨论，即可求解.

(〃)根据已知条件，结合分离变量法，以及函数的单调性，即可求解.

解：(I)当a—\时，f(x)2T,

当了28时，x(x-1)20,

当x<8时，x(1-%)20,

综上所述，不等式的解集为[6.

(II)当属(0,1)时，

V/(x)<3,

x\x-V”，即|x—a|<且，

(2

>x

，上〈x-a〈旦，整理，x+4,