2019版高考数学一轮复习课时训练含答案（合集二）

第六章不等式

第1课时一元二次不等式及其解法

一、填空题________

1.函数f(x)=，3—2x—X?的定义域为

答案：[-3,1]

解析：由3—2x—x*20,解得一3<xWl.

y—弓

2.不等式一7^0的解集是

X—1

答案：(-8,-5]U(1,+°°)

x-H5

解析：由得(x+5)(x—1)且x—1r0,解得xW—5或x>l.

x—1

3.不等式2x2—x<4的解集为.

答案:{x|-l<x<2}

解析:由题意得x‘一x<2n—l〈x<2,解集为{x|—l<x<2}.

4.不等式x2+ax+4V0的解集不是空集，则实数a的取值范围是.

答案：(-8,—4)U(4,+8)

解析：不等式x?+ax+4<0的解集不是空集，只需A=a2—16>0,二a<-4或a>

4.

5.若不等式mx'+2mx-4〈2x'+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是.

答案：(一2,2]

解析：原不等式等价于(m—2)x2+2(m—2)x—4〈0,①当m=2时，对任意x不等式都成

立；②当m-2〈0时，A=4(m-2)2+16(m-2)<0,/.一2。1<2.综合①②,得m2(-2,2].

6.己知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=/-4x,则不等式f(x)>x的解

集用区间表示为.

答案：(一5,0)U(5,+8)

解析：由已知得f(0)=0,当x<0时，f(x)=—f(―x)=—X，—4x,因此f(x)=

fx'—4x,x20,fx》。，[x<0,

\2,不等式f(x)>x等价于｛2或｛2解得x>5或一5<x<0.

Lx—4x,x<0.1x-4x>x(_x-4x>x,

7.已知函数f(x)=x'+mx—1.若对于任意xC[m,m+1]都有f(x)<0成立，则实数m

的取值范围是________.

答案：(一半，。)

解析：二次函数f(x)对于任意xd[m,m+1],都有f(x)<0成立，则

f(m)=mJ+m2—1<0,、历

解得一VmVO.

f(m+1)=(m+1)~2+m(m+1)—IVO,2o

7，x20,

8.已知f(x)=j2则不等式f(x)〈f(4)的解集为

、一x?+3x,x<0,

答案：{x|x<4}

4v

解析：f(4)=2=2>不等式即为f(x)<2,当x'O时，由炉2,得0Wx<4；当x<0时，

由一x?+3x<2,得x<l或x>2,因此x<0.综上,£&)红(4)的解集为々辰<4}.

9.在R上定义运算：x®y—x(l—y),若mxWR使得(x—a)®(x+a)>1成立，则实数a

的取值范围是.

解析：3x使得(x—a)®(x+使>ln(x—a)(1—x—a)>1,即mx使得x“一x—a?+a

3i

+l<0成立，A=l-4(-a+a+l)>0=>4a-4a-3>0,解得a>,或a<一].

［x2+x(x20),

10.已知f(x)=2,,、则不等式f(x2—x+l)<12的解集是_______.

(—x+x(x<0),

答案：(x|-l<x<2}

解析：由函数图象知f(x)为R上的增函数且f(3)=12,从而X2—X+1<3,即(一x

-2<0,，-l<x<2.

二、解答题

11.已知f(x)=-Bx'+ag—a)x+6.

(1)解关于a的不等式f(l)>0；

(2)若不等式f(x)>b的解集为｛x[-l<x<3｝,求实数a,b的值.

解:(1)由题意知f(l)=-3+a(6—a)+6=—a*+6a+3>0,即a?—6a—3<0,解得

3-2镉—<3+24,

二不等式的解集为匕|3—2/<2<3+2斓｝.

⑵：f(x)>b的解集为｛x|-1VXV3｝,

方程一3x'+a(6—a)x+6—b=0的两根为一1>3>

、,a(6—a)

(-1)+3=——--

oa=3±木,

解得<

6—b、b=-3,

(T)X3=—

即a的值为或3—^3,b的值为-3.

12.已知a£R,解关于x的不等式ax?—2(a+l)x+4>0.

解：原不等式等价于(ax—2)(x—2)>0,以下分情况进行讨论:

(1)当a=0时，x<2.

29

(x—2)<0,由一<0<2知一<x<2.

aa

Hoi—&

(x-2)>0,考虑一一2=2----4l勺正负:

Haa

①当°<a<l时,|>2,故x<2或x>|；

2

②当a=l时，一=2,故xW2；

a

③当a>l时，|<2,故或x>2.

综上所述，当a<0时，该不等式的解集为{x|：VxV2］；当a=0时，该不等式的解集为

{x|x<2}；当时,该不

等式的解集为1x|x<2或x>|［；当a》l时，该不等式的解集为1x|xv|或x>2］.

13.已知不等式mx"—2x+m—2Vo.

(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；

(2)设不等式对于满足|mlW2的一切m的值都成立，求x的取值范围.

解：(1)对所有实数x,都有不等式mx2—2x+m—2<0恒成立，即函数f(x)=mx'一2x

+m—2的图象全部在x轴下方，当m=0时，-2x—2<0,显然对任意x不能恒成立；当m力0

m<0,l

时，由二次函数的图象可知有,八c解得小，综上可知m的取值范

〔△=4-4m(m-2)<0,丫

围是(-8,1—4).

(2)设g(m)=(x2+l)m—2x—2,它是一个以m为自变量的一次函数，由x2+l>0知g(m)

在［-2,2］上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可,BP2X2+2-2X-2<0,解得0<X<1,所

以x的取值范围是(0,1).第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划

一、填空题

1.若点（m,1）在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是

答案：（1,+°°）

解析:由2m+3—5>0,得m>L

"yW—x+2,

2.不等式组,yWx—l,所表示的平面区域的面积为.

、y20

答案：;

fy——x+2,

解析：作出不等式组对应的区域为ABCD,由题意知XB=1,&=2.由得打

[y=x-l,

1/、11

=5，所以SABCD=7><（XC—XB）X-=-

答案：7

解析：由约束条件作出可行域，可知当过点（1,2）时z=3x+2y的最大值为7.

'x+yWl,

4.已知不等式组<x-y^-1,所表示的平面区域为D.若直线y=kx-3与平面区域D

.y》o

解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y=kx—3过定点（0,

一3),・・・斜率的两个端点值为一3,3,两斜率之间存在斜率不存在的情况，・・.k的取值范

围为(一8,—3]U[3,+8).

X—y^O,

5.若x,y满足约束条件＜x+y—2W0,则z=3x—4y的最小值为.

答案：一1

31Q

解析：目标函数即丫=/一于，其中z表示斜率为k=a的直线系与可行域有交点时直线

的截距值的;，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(I,1)

处取得最小值z=3x—4y=—1.

产，

6.己知实数x,y满足*W2x-l,如果目标函数z=x-y的最小值为一1,则实数m

[x+yWm.

答案：5

解析：画出可行域便知，当直线x—y—z=0通过直线y=2x—1与x+y=m的交点

W，2n)时,函数z=x—y取得最小值，

x+y＜2,

7.若变量x,y满足＜2x—3yW9,则x?+y2的最大值是—

、x20,

答案：10

解析：可行域如图所示，

2v-3产9

AIV»IAO,

设z=x?+y2,联立0°八得由图可知，当圆x?+y2=z过点(3,—1)

[2x—3y=9,1y=-1,

2222

时，Z取得最大值，B|j(x+y)«)i=3+(-l)=10.

|x+y2l,

8.若x,y满足约束条件｛x-y》一1,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小

[2x-yW2,

值，则实数a的取值范围是

答案：（一4,2）

解析：可行域为△ABC,如图，当a=0时，显然成立.当a>0时，直线ax+2y-z=0

的斜率k=—^>kM=-1,a<2.当aVO时，k=一；<kAB=2,a>—4.综合得一4VaV

2.

9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料

及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,

则该企业每天可获得最大利润为万元.

甲乙原料限额

A（吨）3212

B（吨）128

答案：18

「3x+2yW12,

x+2yW8,

解析：设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得《

x2O,

、yNO,

目标函数z=3x+4y,

线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:

可得目标函数在点A处取到最大值.

x+2y=8,

由得A(2,3),

3x+2y=12,

则Zmnx=3X2+4X3=18(万元).

x—2y+520,

10.设m为实数，若｛（x,y）|3-x^O,{(x,y)Ix"+y2W25},则ni的取值范

mx+y>0,

围是.

4

答案：［0,

解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果一m>0,则可行域取到xV—5的点，不

在圆内，故一m<0,即m20.当mx+y=O绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置.此

…44,

时一m=一:.m=",:.OWmW鼻.

二、解答题

11.某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天

往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1

600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多

于A型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么

应配备A型车、B型车各多少辆？

解：设A型、B型车辆分别为x,y辆，相应营运成本为z元，则z=l600x+2400y.

〃x+y<21,

yWx+7,

由题意，得x,y满足约束条件〈36x+60yN900,

x20,xdN,

、y20,yGN.

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知，当直线z=l600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=l600x+2400y

在y轴上的截距■而最小，即z取得最小值，

故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.

12.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产

甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5

千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用

煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各

多少吨，才能使利润总额达到最大？

解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，

"9x+4yW300,

4x+5y^200,

则线性约束条件为〈3x+10yW300,目标函数为z=7x+12y,作出可行域如图，

x215,

作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的

交点A(20,24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最

大，z»x=7X20+12X24=428(万元).

答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.

'x—4y+3W0,

13.变量x,y满足<3x+5y—25W0,

.xel.

⑴设Z书求Z的最小值;

(2)设z=d+y2,求z的取值范围；

(3)设z=x?+y2+6x—4y+13,求z的取值范围.

解：由约束条件j3x+5y—25<0,作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.

〔xNl,

x=l,

由

3x+5y—25=0,

解得A

x=l,

解得C(L1).

x—4y+3=0,

x-4y+3=0,

由《解得B(5,2).

[3x+5y—25=0,

yy—()

(1)V

xx—O'

2

・・・z的值是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知z=koB=-

nin5

(2)z=x?+y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可

行域上的点到原点的距离中，

dmin=|0C|=^/2,d,“,x=|0B|

故z的取值范围是[2,29].

(3)z=x2+y2+6x—4y+13=(x+3)?+(y—2-的几何意义是可行域上的点到点(一3,

2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中，

dmin=1—(—3)=4,

dmax=yj(—3—5)2+(2—2)2=8,

、故Z的取值范围是[16,64].第3课时基本不等式

一、填空题

1.已知x>j,则函数y=4x+/1-的最小值为________.

44X一□

答案：7

1113

角军析：y=4x+-----r=(4x—5)+------^+522+5=7.当且仅当4x—5=;;------即X=K

4x—54x—54x—52

时取等号.

八r-叱"(x+5)(x+2)-0—、]

2.设X>—1,则函数y=--------------的取小值为

答案：9

(z+4)(z+1)

解析：因为x>—1,所以x+l>0.设x+l=z>0,则x=z—1,所以y=

7--1-57-4-44/4

—=z+T522、/z•-+5=9,当且仅当z=2,即x=l时取等号，所以当x=l

ZZZ

时，函数y有最小值9.

3.若实数a,b满足1+,=，而，则ab的最小值为.

答案：272

12/篝当且仅当片即b=2a时等

解析:依题意知a>0,b>0,噂+/2

号成立.因为，+；=，而，所以4而即ab224，所以ab的最小值为24.

4.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为.

答案：2m—3

4—2x66l

解析：由xy+2x+y=4,解得y=,,则x+y=x—2+^rr=(x+1)+=■[■—322班

XI£XI1.XI1

-3,当且仅当x+l=*p即x=4—1时等号成立.所以x+y的最小值为久河一3.

5.已知正实数x,y满足(x-l)(y+l)=16,则x+y的最小值为.

答案：8

解析：由题知x—匚若，从而x+y=含+(y+1)22标=8,当且仅当y+l=*p

即y=3时取等号.所以x+y的最小值为8.

6.已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为

答案：9

解析：虫&•=4；+2(x+2y)=4(2+8+*+[•16)*(10+2#^)=Jx18=9,当且

xyzyyxj乙yx乙乙

Y1A

仅当-=4,x+2y=2,即y=~,x=q时等号成立.

yjj

7.若x>0,y>0,则一^厂+工的最小值为

x+2yx

答案：镜—3

1

解析：(解法1)设t=%>0),则一^+工=7^7+1=7^+/+%921人一

xx+2yxl+2t/1\I2/2\J2

2。+习

;=巾J当且仅当t="F,即上咛射等号成立.

乙乙乙X乙

YYVf1(f2)28

(解法2)设t=、t>0),令一注+』=-+：=f(t),则f，(t)=+-£苫,易知

yx+2yxt+2tt(t+2)

当t=2+2啦时，f(t)Min=*—

8.已知x>0,y>0,若不等式xjy32kxy(x+y)恒成立，则实数k的最大值为.

答案：1

(x+y)(x2—xy+/)

解析：由题设知kW

(x+y)xy

...kw三上J+1_1恒成立.

xyyx

xv

V-+—122—1=1,当且仅当x=y时等号成立，从而kWl,即k的最大值为L

yx

9已知正数X，y满足£I+7i=1，则有4x+言9v的最小值为

答案:25

114x9y4(x—l)+4।9(y—l)+9

解析：由尹广1,得x+y=xy，E13

y—1x—1y—l

卜言=13+箸等黑=9x+4y=(9x+4y)g++13+?+*13+2病=25,当且

X2

仅当一=不时等号成立.

y3

10.若不等式x'一2y‘Wcx(y-x)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立，则实数c的

最大值为________.

答案：272-4

x"-2一直

2221_2

x-2y_x_x.yri,,〜1—2t

解析：由题意可得令1=t,则0<t<l,故CW7_]-=

xy—x2xy-x"y

2——1

XX

2t2—12t2—12(1—ii)2—111

—;令U=1T，则0<u〈l，故CWB=-U—=—4+2U+1得一4+如+G

的最小值为2蛆一4,故实数c的最大值为入也一4.

二、解答题

11.设x20,y20,x'+y=l,求x.l+y,的最大值.

解：x20,y，0,x2+y=l,xy/l+y2—yjx(1+y2)2x2X--^-^2X

X?|l+y2

-----J-=贬义---1~~当且仅当乂2=上?-,即x=乎，y=平时，X=l+y2取得

1

乙乙i乙乙乙

目…3小

最大值甫一.

12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积

为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形

区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区

域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块

种植植物的矩形区域的总面积为S(m?).

(1)求S关于x的函数解析式;

(2)求S的最大值.

解：(D由题设，得S=(x—8)(第一2)=—2x-1詈+916,xG(8,450).

7200/7200

(2)因为8〈x<450,所以2x+—^―22'/2xX—1=240,当且仅当x=60时等号成

立.

从而SW676.

故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676

in'.

13.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元.为了调整

产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工.据估计，如果能动员x(x>0,xe

N)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%,从事蔬

菜加工的农民每户年均收入为3(a—茉](a>0)万元.

(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员

前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从

事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值.

解：(1)由题意得3(100-x)(l+2x%)23X100,

即x'TOxWO,解得0WXW50.

因为x>0,所以0<x<50,x£N.

(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3(a—器)x万元，从事蔬菜种植的农民的年总收

入为3(100—x)(l+2x%)万元，根据题意，得3(a—1^)x<3(100-x)(l+2x%)恒成立，即

axW100+x+崇恒成立.又x>0,所以aW出+关+1恒成立，而匹+今+1>5(当且仅当

XX

x=50时取等号)，所以a的最大值为5.

第4课时不等式的综合应用

一、填空题

1.已知Iog2x+log2y=l,则x+y的最小值为.

答案：272

解析：由logzx+log2y=1得x>0,y>0,xy=2,x+y22M^=2啦.

2.若2*+2>=l,则x+y的取值范围是.

答案：(-8,—2]

解析：•••2x+2y^2V27T；.且2'+2'=1,...x+yW-2.

3.设实数x,y满足x?+2xy—1=0,则f+y"的最小值是.

答案：与

解析：由x"+2xy­1=0,得y」音.故x"+y2=x2+-~~各+、二限之十口一拉

/X4X7T\XJZ

m一1

2・

x-2y+l20,

4.己知实数x,y满足“x—y—1W0,则z=Vy的取值范围是

x+y+120,

答案：一1,I

解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，Z=士的几何意义为区域内的点与

XI1

点P(—1,0)的连线的斜率k,由图象，得一

2

5.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=］的图象交于P,Q

两点，则线段PQ长的最小值是________.

答案：4

解析：P,Q两点关于原点0对称，设P(m,n)为第一象限内的点，则m>0,n>0,n=

,,所以PQ2=40p2=4(m2+n2)=4G+5)216,当且仅当而=*,即m=/时取等号.故线

段PQ长的最小值是4.

6.若实数a,b满足ab—4a—b+l=O(a>l),则(a+1)(b+2)的最小值为.

答案：27

4a-1

解析：・.・ab-4a-b+l=0,，b=——ab=4a+b-l.A(a+1)(b+2)=ab+2a

a—1

4a—1[4(a—1)+3]X26

+b+2=6a+2b+l=6a+——r・2+l=6a+--------------:-----------+l=6a+8+—r+l=

a—1a-1a-1

6(a-l)+~^-+15.Va>l,a-l>0.A原式=6(a-l)+-^7+1522^^^+15=

a—1a—1v

27.当且仅当(a—1)2=1,即a=2时等号成立.，(a+1)(b+2)的最小值为27.

4xv

7.已知x,y为正实数，则尸;一+七的最大值为

4x+yx+y

4

答案：3

elm—n4n—m4x,ym

解析：设m=4x+y>0,n=x+y>0,则x=-7-,y=~~—，A,+~7~—

8.若二次函数f(x)=ax"+bx+c(a〈b)的值域为［0,+°°),则-皿］一的最大值是

a+b+c

答案：I

Cb2

解析：由题意可得b2—4ac=0,且b2a>0,则一=/.

a4a

bb

b-a”—1

b-aa令t=3则t2l,则y=

令Va+b+c'则'a+b+c

湾+「m+%

4(t—1)4u441

E,再令Li则尸K，当心。时，尸不w-，当且仅当u

=3时等号成立，即一h—的a最大值是右1

a+b-bc3

9.已知函数f(x)=|x|+|x—2|,.则不等式f(x?+6)>f(5x)的解集是_______.

答案：(-8,—4)U(—1,2)U(3,+°°)

解析：因为当x>2时,f(x)单调递增,当水0时，f(x)单调递减,且f(x)=f(2—x).因

此不等式f(x'+6)>f(5x)等价于2—(X2+6)<5X<X2+6,解得x>3或x<—4或一l<x<2,即所

求不等式的解集为(-8,-4)U(-l,2)U(3,+8).

2—2X+2XW2

X,、；''若mxoGR,使得f(x0)W5m一如,成立，则实

logzX,x>2,

数m的取值范围是{.

答案：*1

2—2X+2,X<2,

X,'、'当x<2时，f(x)=(x-l)2+l^l；当x>2时，

logx,x>2,

{2

f(x)=log2x>l,故函数f(x)的最小值为1,所以5m—4m解得太mWl.

二、解答题

11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c£R)满足：对任意实数x,都有f(x)2x,

且当xd(l,3)时，有f(x)Wg(x+2)z成立.

O

(1)求证:f⑵=2：(2)若f(—2)=0,求f(x)的解析式.

(1)证明：由条件知f(2)=4a+2b+c与2恒成立，又取x=2时，f(2)=4a+2b+cW：

o

X(2+2)2=2恒成立，

f(2)=2.

(4a+2b+c=2,

⑵解「2b+c=0,4a+c=2bi

/.b=g,c=l—4a.又f(x)2x恒成立，即ax?+(b—l)x+c20恒成立./.a>0,△

2

C—4a(l—4a)W0,解得a=J,b=1,c=1,f(x)=1x2+^x+1.

JoZZoZZ

12.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：

百元)满足如下关系：w=4—且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其

XI1

他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/

百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元).

(1)求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域.

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

解：⑴L(x)=16(4-Vr)—x—2x=64—壬■一3x(0WxW5).

48F481/48

(2)L(x)=64——TT-3x=67--rr+3(X+1)W67-2、/—(X+1)=43.

x+1[_X+1J\]x+1

48

当且仅当弟=3(x+l),即x=3时取等号.故L(X)3=43.

答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300

元.

13.如图，某机械厂要将长6m，宽2nl的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为AD

的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落

在直线BC下方点M,N处，FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪.

(1)当/EFP=?时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.

nn

解：⑴当NEFP=q^、j,由条件得/EFP=NEFD=NFEP=q".

所以/FPE=5.所以FNLBC,四边形MNPE为矩形.

所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2.

(2)(解法1)设NEFD=9(0<0〈热，由条件，知NEFP=NEFD=NFEP=0.

2222

所以PF=.(p..…NP=NF—PF=3--ME=3-;——-

sin(n—2。)sm20sm2。tan«

3-高sin20>1,

>0,

22

由〈3一病方＞°，得《tan0>-,(*)

o

0<00<JI

l<亍l°

所以四边形MNPE的面积S=1(NP+ME)-MN=T(3—前缶J+(3一常副X2=6一

22c22(sin20+cos26)八(,3

-7T——TT-=6-7T—-：77=6-tan°n+~7TW6

tan0sin20tan02sm0cos0\tan0)

3

当且仅当tan'=E即tane=2时取等号.此时，(*)式成立.

O

故当NEFD=5时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(6—2m)《12.

(解法2)设BE=tm,3<t<6,则ME=6—t.

因为NEFP=NEFD=NFEP,所以PE=PF,即#(3-BP)2+2't-BP.

13—t213—t2

所以BP=°,、，NP=3—PF=3—PE=3—(t-BP)^3~t+.

2(3—t)zQ(3—t)

<3<t<6,

<

13-t23<t<6,

由42(3-t)>0,得，t>V13,(*)

c,13~t2.t2-12t+31<0.

<3-t+2(3-t)>0,

111Q___十2

所以四边形MNPE的面积S=-(NP+ME)-MN="{[3-t+.]+(6-t)}X2=

Z229t)

2

3t-30t+67r3z、，2、一r

2(3-1)=6-[公―3)+之]<6-2小.

当且仅当,(t—3)=三，E|Jt=3+芈时取等号.此时，(*)式成立.故当点E距B

2t~33

点(3+半>时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(6—24)01：