2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复平面内，与对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图.在直角梯形4BCD中，aB〃CD,aB_LBC,aB=2CD=2,AD=D，----，C

3,以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几/

何体，则该几何体的体积为（）/

J---------'B

A.14A/-B.77rC.生27rD.（TT

33

3.已知△ABC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若A=120°,a=<^,则3片等

2sinB+sinC

于（）

A.iB.CC.?D.2

4.设a,b表示空间中两条不同的直线，a,0,y表示三个不同的平面，则下列命题正确的

是（）

A.若4/a,bua,则a〃b

B.若a1a,a///?,则a10

C.若/?1a,y1a,则/?//y

D.若aua,bua,a〃B，b//S，贝!Ja〃夕

1i

5.已知cos（a—jS）=-,cosacosp=则tcmatcm/?=（）

34

A.B.1C.D.1

oo33

6.已知向量反=（2,1）,b=（-1,2）.贝用在五+3方向上的投影向量的坐标为（）

A1

(-2-D.(-1,3)

7.如图，圆锥的母线长为4,点M为母线28的中点，从点M处拉

一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短

值为2，石，则此圆锥的表面积为（）

A.47r

B.5兀

C.6兀

D.8兀

8.在AaBC中，NB4C的外角平分线交BC的延长线于D,若3aB=4AC.则△ABD的面积与4

ABC面积的比值为（）

A.|B.3C.yD.4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.若复数z满足z=W,贝UzeR

B.1+i3+i5+7为纯虚数

C.z-z=\z\2=\z\2

D.z=g+43是方程/—刀+1=0的一个复数根

10.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点4（-1,a）,B（b,1）

1

且si九a=则（）

A.a=一卒B.b=—2V_2C.cosa=—D.tana=一?

434

11.在4ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=1,且cos3=—,

24

c=2,贝1（）

A.a=1B.b=2V-2

C.cosB='D.AABC外接圆的半径为卑

43

12.一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体.已知M

四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧网上一动点（点E与点P,（

Q不重合），则（）Pq

w

EP

A.三棱锥Q-PEN体积的最大值为弓

B.存在点E,使得EN1PQ

C.当点E为网上的三等分点时，二面角E—MN—P的正切值为?

D.当点E为网的中点时，四棱锥E—MNPQ外接球的体积为亨兀

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在正方体4/165中，2。1与8。所成的角是.

14.已知函数y=coscox^d）>0）在［0,兀）上有且仅有2个零点，则3的取值范围为.

15.已知复数z满足|z-2i|=1,则|z-1—i|的最大值为.

16.抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三

大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊,如图所示，为了测量抚仙湖畔M,N两点之间的距离，

现取两点E,F,测得EF=7公里，AMFN=可,乙NFE=LMEF=a,乙MEN=三,则

N两点之间的距离为公里.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知复数Z满足z2=-2-2「3且Z的虚部为一门.

（1）求Z；

（2）若z-1,2在复平面内对应的点分别为4,B,。为坐标原点，求乙4OB.

18.（本小题12.0分）

已知向量1=（sina,1）,b=（l,2cosa），且五1人

(1)求史上则竺电的值；

sina—cos(a+7r)

(2)若a是第二象限角，求sin(a-力和cos2a的值.

19.(本小题12.0分)

如图，在几何体4BCDE中，4B1•平面EBC,AB//CD,AD//BC,EB1BC,M为EB上一点,

P,尸分别为2M,8。的中点.

(1)证明：PF〃平面EBC.

(2)若28=BC,证明：平面2MF_L平面BED.

20.(本小题12.0分)

在AaBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,V~Zas讥B—b=6cosA.

(1)求4

(2)若△ABC为锐角三角形，且6+c=2,求a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=Asin(a)x+0)(4>0,6)>0,\(p\<5)的部分图象如图所示,将y=f(x)的图

象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平移聿个单位长度得到丫=。(久)的

图象.

(1)求/(%)的解析式；

(2)求函数g(%)的单调递减区间；

(3)若对任意%1，到E[-右，刍，/(%i)+血2g(%2)恒成立，求血的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图1,正方形48C。和正方形EFGH的中心重合，AB=3EF=6,HG//CD,J、K、L、/分

别为2。、28、8。、。。的中点,将图中的四块阴影部分裁剪下来,然后将4HEI、AEFJ、AFGK、

△GHL分另IJ沿着HE、EF、FG、GH翻折，使得点/、/、K、L与点P重合，得到如图2所示的四

棱锥P—EFGH.

(1)求直线PE与底面EFGH所成角的余弦值；

(2)若M为PF的中点，求M到平面PGH的距离.

答案和解析

L【答案】A

【解析】解：j—Zi=心(J—Z蓝lJ^芸o-之rZl)、=2lolo?

可知其对应的点为舄,金，

位于第一象限.

故选：A.

根据复数的运算化简久，再根据复数的几何意义分析判断.

3-2i

本题考查了复数的运算，复数的几何意义，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题意得直角梯形旋转一周所得几何体为圆台，

则圆台高h=VAD2-{AB-DC)2=732—了=

上下底面面积为S=7Tx22=4兀，S'=兀xF=兀，

该几何体的体积为V=|X2，"^(4兀+74Tl-71+兀)=11.^-7T.

故选：c.

根据圆台的体积公式计算，即可得出答案.

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

3.【答案】D

【解析】解：由于：A=120°,a=

由正弦定理：2R=;^=g=2；

~T~

曰斤以2b+c_2R(2sinB+sinC')_?

2sinB+sinC2sinB+sinC'

故选：D.

直接利用正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：若q/a,bua.则a〃匕或a,b异面，故A错误；

若＜2〃0,则必有a'u£,a'//a,又a_La,二a'_La,a'u0,则aJ.£,故8正确；

若/?_La,yla,则0〃y或y,。相交，故C错误；

若aua,bc.a,a〃0,b///3,由于a,b可能平行不相交，故得不到戊〃£,故£＞错误.

故选：B.

根据线面平行概念判断4根据线面平行性质及面面垂直判定定理判断B,根据平面位置关系判断

C,由面面平行判定定理判断D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为cos(a—/?)=cosacos^+sinasin^=。+sinasinp=解得sinasin。=上，

4312

.八1,

所以tcmatcm。=，讥asi、=孕=〈.

cosacospA3

故选：D.

根据题意利用两角差的余弦公式可得sinas讥£=:，再切化弦运算求解.

本题考查两角差的余弦公式，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解:因为方=(2,1),b=(-1,2),所以五+另=(1,3),

所以潴力+B方向上的投影向量噌富•鬻=特(1,3)=

\a+b\\a-\-b\乙乙

故选：A.

先求出1+3的坐标，再根据投影向量的定义求解.

本题考查了向量坐标的数量积和加法运算，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设底面圆半径为r,由母线长为4,

所以侧面展开扇形的圆心角为a=竿=£;

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B,

最短距离为BM,如图所示：

在RtAABM中，斜边BM的长度为：

BM=J42+22-2x4x2xcosy=J20-16cosy=2AT5,

解得cos£=0,所以r=l,

所以圆锥的表面积为S=7rxl2+7rxlx4=57r.

故选：B.

设底面圆半径为r,由母线长求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理求出从点M拉一绳子围绕

圆锥侧面转到点B的最短距离，列方程求出r的值，再计算圆锥的表面积.

本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：如图,

由外角平分线定理知，*=胎=*

所以△相£）的面积与AABC面积的比值为整=4.

DC

故选：D.

根据外角平分线定理求解即可.

本题主要考查了角平分线定理的应用，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：设复数z=a+bi,a,bER,贝!Jz=a—bi,

若工=z,贝!Jb=0,可得z=aeR,故A正确；

因为1+理+»5+，=1一》+»一1=1一"不是纯虚数，故B错误；

设复数z=a+bi,a,bER,贝丘=a-bi,

则z・z=(a+bi)(a—bi)=a2+h2=\z\2=|z/，故C正确；

因为z2-z+1=(1+^i)2-G+?’)+1=+—弓+?’)+1=。，

所以Z=3+是方程/—%+1=0的一个复数根，故。正确.

故选：ACD.

根据复数的相关概念与运算逐项分析判断.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：,•・角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边上存两点/(-La),B(b,1)

且sMa=I，

.a_1_1

解得a2=9/2=8,

o

由『『=w，可知a>0,

V1+a23

・•・角a为第二象限的角，所以b<0,

a=>b=—2V-2»故A错误，8正确；

4

b—2y/~~21i/—5

又c0sa=^^==一「，[析1a=：=—[=—?，故C、。均正确.

Jd+1b2V24

故选：BCD.

根据任意角的三角函数的定义列方程可求出a,b的值，从而可求出角a的其它三角函数值.

本题考查任意角的三角函数的定义及其应用，属于中档题.

11.【答案】AB

【解析】解：由余弦定理可知，b.a2+b2~c2+c-a2+c2~fc2=^=g=l，故A正确;

2ab2ac2a

由COS《==Jl+；os@,解得cosB=—[,故C错误；

由COSB=Q±Q=*Q=解得6=2口，故2正确；

2ac4—。4，

因为sinB=V1—cos2B=/1—

\164

所以三角形外接圆直径2R=^=安=3史，即/?=叮，故D错误.

了7

故选：AB.

根据余弦定理可求出a判断4由余弦的半角公式求出cosB判断C,再由余弦定理求出b判断8,由

正弦定理求外接圆半径判断D.

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：当E到平面PQN距离G(E_PQN最大值1时，

%.PEN取得最大值;xlx|x2x2=|,故选项A正确；

若存在点E,使得ENLPQ,又PNJ.PQ,可得PQL平面ENP,

从而可得PQLEP,在直角三角形PQE不可能，故选项B错误；

当点E为河上的三等分点时，过E作EH1PQ于H,过”作HG1MN于G,

则NEG”为二面角E—MN-P的平面角，如图，

M

RtAEGH中tan/EGH=处=登=二，故选项C正确；

GH24

当点E为国的中点时，可取前的中点尸将四棱锥E-MNPQ补成三棱柱FMN-EQP,

则其外接球的半径为衣=VI2+I2=A/-2,如图，

M

N

四棱锥E-MNPQ外接球的体积为手兀，故选项。正确.

故选：ACD.

转换顶点求体积可知%一PEN=瞑-PQN，则为一PEN取得最大值可求，故可判定选项A；

仄EN1PQ反推PQ1平面ENP可得PQ1EP,故可判定选项B；

利用二面角的平面角的作法，即可计算其正切值，故可判定选项C；

利用补形法可将四棱锥E-MNPQ补成三棱柱，即可求得外接球的体积，故可判定选项D

本题考查三棱锥的体积的最值的求解，线线垂直的判断，二面角的概念，四棱锥的外接球问题,

化归转化思想，属中档题.

13.【答案】60°

【解析】解：如图，连结BG、8。和。6，

在正方体ABC。—a/iGA中，

由2B=£)1C1，AB"D\C',可知ADJ/BCi，

所以/DBG就是异面直线A%与BD所成角，

在正方体中，BC］、BD和是其三个面上的对

角线，它们相等.

所以△DBG是正三角形，乙DBC［=60°

故异面直线4%与BD所成角的大小为60。.

故答案为60。.

通过平移直线作出异面直线与BD所成的角，在三角形中即可求得.

本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角.

14.【答案】［|,|)

【解析】解：函数y=cosa)x(a)>0)在[0,7i]上有且仅有2个零点,

由％6[0,7r],co>0,得3%6[0,a)n],

所以当<31T<Bp|<to<I，

所以3的取值范围为［|,|).

故答案为：［|,|).

结合余弦函数的性质可得当33兀<涉进而求解即可.

本题主要考查余弦函数的性质，属于基础题.

15.【答案】+1

【解析】解：设2=%+yi(x,yeR),

|z-2i|=1,

则/+(y—2)2=1,表示以(0,2)为圆心，1为半径的圆，

|z-1一」表示圆上的点到点(1,1)的距离，

故|z-1一i|的最大值为J(0—1)2+(2—1)2+1=<^+1.

故答案为：<7+1.

根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

16.［答案］7-\/~5

【解析】解：在AEFN中，乙FNE=71—4MEN—乙MEF—AEFN=*

由正弦定理可得:

sinZ.FNEsin/NEF

即NF=•sin乙NEF=]x?=7y/~2,

sinz.FNE

在^EFM中，Z-FME=n—Z-MFN—Z-NFE—Z-MEF=:，

所以4FME=乙MEF=则EF=MF=7,

在AMFN中，由余弦定理可得：MN=VMF2+NF2-2MF-NFcos^MFN,

即MN=J72+（7产）2+2x7x7。x?=7AT5-

故答案为：7V~亏.

在AEFN中，由正弦定理可得NF,在AFFM中，等边对等角可得MF,则在△"?可中，由余弦定

理可得MN.

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)设z=a—1^3

贝！Jz2=(a-7-302=a2-3-2coi=-2-2ci,

所以］a2-3=-2

解得a=1,

-2Ca=_2<T

故z=1-VSi;

(2)由⑴知，z—1=—所以4(0,—C),故乙4。尤=夕

z=1+V-3i,所以tanZxOB=y/~3,且NxOB为锐角，即4xOB=基

所以乙4。8=zXOx+/.xOB=H=?

L36

【解析】(1)根据复数的平方运算及复数相等列方程求出实部即可得解；

(2)由复数的几何意义求出点4B坐标，分别求出乙4。万与NxOB即可得解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

18.【答案】解:(1)因为反=(s讥a,l),I=(l,2cosa)，alb,

所以五•b=sina+2cosa=0，得sina=-2cosa,

所以s出a—sin(a+?)_sina—cosa_-2cosa-cosa_

sina—cos(a+7r)sina+cosa—2cosa+cosa

(2)因为sina=-2cosa,sin2a+cos2a=1,所以cos2a=

因为a是第二象限角，所以cosa=—sina=

7T7i2<T<23<T0

所以sin(a—令=sinacos--cosasin-=—x—-

445210

cos2a=2cos2a—1=2x(一一>—1=—|.

【解析】(1)由五可得s讥a=-2cosa,然后利用诱导公式化简式子，再代入计算即可;

(2)由sina=—2cosa结合sin2a+cos2a=1及a的范围，可求出sina,cosa,再利用三角函数恒

等变换公式化简计算即可.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

19.【答案】证明：（1）连接CF,CM,如图，

由AB〃CD,AD//BC,可知四边形4BCD为平行四边形，

又F为8。的中点，所以4F,C三点共线，且F为4C的中点,

因为P为力M的中点，所以PF〃CM,

又PF0平面EBC,CMu平面EBC,

所以PF〃平面EBC.

⑵因为48_L平面E8C,BEu平面EBC,

所以AB_LEB,又EB1BC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABCD,

所以E81平面4BCD,又4cu平面ABC。,

所以EBJ.4C,

又48=BC,所以四边形28CD为正方形，

所以AC1BD,又EBCBD=B,EB,BDu平面BED,

所以"1平面BED,又ACu平面2MF,

所以平面2MF1平面BED.

【解析】（1）证明尸是4C的中点，利用中位线可得PF〃CM,由线面平行判定定理求解即可;

（2）先证明AC1平面BED,再由面面垂直的判定定理求解.

本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

20.【答案】解：-b=bcosA=>\T~3sinAsinB—sinB=sinBcosA>

因为Be(0,兀)，所以sinB*0,

于是由V3sinAsiTiB—sinB=sinBcosA=>yJ_3sinA—1=cosAnsin(X—

6L

因为/E(0,7T),所以4—<W(一看,胡),

因此有/04=或

cibcci7_a•D_a■「

(2)由正弦定理得丽=诉=赤=亘，所以6=理sinB,c=理sinC，

~22

所以匕+c=合sinB+含s讥C=含s讥B+含sing-B)

r

=(|sinB+cosB)=2astn(B+.)=2,

~T一

1

所以a=sin(B+软

’0<BWnTT

因为△ABC为锐角三角形，可得《2兀m解得*<B<3，

0<y-B62

所以称<8+看<等所以?<sin(8+*W1，所以1W焉度

所以a6[1,等)

【解析】(1)根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；

(2)根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

本题主要考查了正弦定理，和差角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题.

21.【答案】解：⑴由图象知，7=生=4*(得一勺=兀，所以3=2,

(Jl)1Z3

即f(%)=Asin(2x+<p),

又/③=Asin(2x与+9)=/,所以sin+口)=1,

因为⑼V三所以9=—看

故/(%)=Asin(2x-^)f

由/潦)=4s讥(2x亭一[)=Asin?=—我=-1,可得4=2,

所以/■(%)=2sin(2x-^).

(2)由f(x)=2s讥(2久-令，图象上所有点的横坐标缩短到原来的全纵坐标不变，再向左平移已个

单位长度，

得到g(x)=2sin[4(x+?)—7]=2sin(4x+)=2cos4x,

令2kn<4%<2/CTT+Ti,kEZf

解得合JW年+[,kez,

ZZ4

所以函数的单调递减区间为俘，等+口，kez.

ZZ4

(3)由f(%i)+m>g%)可得m>。(上)一f〉i)，对任意%1，x2e[一盍曲恒成立，

所以只福血N9{^2)max~~

当一工W%2或时，-^<4x2<y,所以g(X2)s=g(0)=2cos0=2,

当一工Wx_i时,_\W2%1W，所以/'(Xi)m讥=/(—刍=2s讥(一