2020-2021学年新乡市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年新乡市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题p：Vx<0,x2>2X,则命题”为（）

XX

A.3%0<0,%□>2°B.3x0>0,XQ>2°

XX

C.3xo<0,XQ<2°D.3xo>0,XQ>2°

2.设集合M={-1,0,1},N={x\x-l<0],则MCN=（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0}

3.命题''若％=2,贝卜2一3刀+2=0”的否命题是（）

A.若xH2,则/—3%+20B.若/—3x+2=0,贝=2

C.若/—3x+2*0,则x力2D.若x=2,贝—3x+2大0

4.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作徵书九章少卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙

田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何

题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步,

1尺=0.231米，则该沙田的面积约为（）（结果精确到0.1,参考数据：415.82=172889.64）

A.15.6平方千米B.15.2平方千米C.14.8平方千米D.14.5平方千米

5.记（1=sin（cos2016°）,b=sin（sin2016°）,c=cos（sin2016°）,d=cos（cos2016°）,贝！]（）

A.d>c>b>aB.d>c>a>bC.c>d>b>aD.a>b>d>c

6.已知曲线C：y=3x—/及点p（2,2）,过点P向曲线C引切线，则切线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

7.设。>Q6>。，则以下不等式中不恒成立的是

A.B./+演+2>2"2A

ah

c/++犷D.

8.已知抛物线y2=8%的焦点为凡M为抛物线上一点，。为坐标原点，若/OMF为外接圆与抛物线

的准线相切，则该外接圆的周长是（）

A.37rB.67rC.97rD.367r

9.已知等比数列各项为正:啊W：0成等差数列，.冤为幽盘的前幽项和，则==（）

A.B.C.-D.2

哥国4!

10.直线乂+4了+m=0交椭圆力+)/2=1于4B,若4B中点的横坐标为1,则巾=()

A.-2B.-1C.1D.2

11.在△ABC中，a=2,4=45。，B=30°,贝帕的值及△ABC外接圆的半径分别为()

A.V2,2V2B.V2,V2C.2VI,VID.252企

12.若/Q)=-2/+仇工在(0,2)上是增函数，则b的取值范围是()

A.[4,+oo)B.(4,4-00)C.(-00,4]D.(-£»,4)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.AABC^,角4B、C所对的边分别是a、b、c,下列条件中能确定a=b的有.(填序号)

(l)sinA=sinB@cosA=cosB@sin2A=sin2B(4)cos2A=cos2B.

14.设正项等比数列5｝满足=。4+2。5,其前几项和为%,则会=.

15.已知函数/(%)的导函数/'(%)的图象如下图，若"X)的极大值与极小值之和为|,则〃0)的值

22

16.若双曲线菅-器=1渐近线上的一个动点P总在平面区域0—M)2+y2216内，则实数m的取

值范围是.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

~**2

17.已知向量五=(%,-1),6=(1,2),m=(一g,x),其中久eR.

(1)若0一2了)||乙求x的值；

(2)设p：(久一rn)|x-(巾+1)]<0(m€R),q：x2+a-b<0>若p是q的充分非必要条件，求实数

zn的范围.

18.在AZBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos4-acosC=0.

(i)求角a的大小；

(11)若。=4,求△ABC周长的取值范围.

19.已知等差数列｛%J,又的,a2,成等比数列且。2,a3+2,成等差数列

(I)求数列｛即｝的通项与；

(n)定义：西式F;为几个正数Pl，p2>P3，…，6OeN*)的“均倒数”，

1

(i)若数列｛g｝前几项的“均倒数”为丁(neN*),求数列｛e｝的通项勾；

an

(ii)求7^-+7~T~+7~7.

"也b2b3bn-bn+1

20.求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(—6,6)；

(2)焦点F在直线1：3x—2y—6=0上.

21.已知椭圆C：5+《=l(a>b>0)的离心率为多设椭圆C的左、右焦点分别为F2,左、

右顶点分别为4B,且四川，L吗引为等比数列•

(I)求椭圆C的方程；

(口)过点P(4,0)作直线/与椭圆交于M,N两点(直线/与x轴不重合)，设直线AM,BN的斜率分别为灯,

k2,判断?是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

22.已知函数例礴=如制-铲气-碱图R.

⑴求函数.翼河的单调区间；

(2)是否存在实数侬，使得函数到可的极值大于鲫？若存在，求诵•的取值范围；若不存

在，说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：命题p：VX<0,%2>2X,则命题”为■0<0,瞪<2&,

故选：C.

根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定

本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可.

2.答案：D

解析：解：由题得N={x|x<1},所以MCN={—1,0}.

故选：D.

先化简集合N,再求MCN得解.

本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3.答案：A

解析：解：原命题的形式是“若p,则q"，它的否命题是“若非p,则非q”，

命题：“若久=2,则/一3%+2=0”的否命题是“若”丰2则比2-3x+240”.

故选：A.

若原命题的形式是“若p,则q"，它的否命题是“若非p,则非q"，然后再通过方程根的有关结论，

验证它们的真假即可.

写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基

础知识.

4.答案:D

解析：解：由题意画出图象：

且=13里=13X415.8（米），BC=14里=14X415.8（米），/

在△ABC中，由余弦定理得，/

「AB2+BC2-AC2132+142-1525

cosB=----------=----------=——，

2ABBC2X13X1413

所以sinB=V1-COS25=

则该沙田的面积：即428C的面积S=^AB.BC-sinB

=|x13x14x415.82x£=84x172889.64=14522729.76平方米〜14.5平方千米，

故选：D.

由题意画出图象，并求出48、BC的长，由余弦定理求出cosB,由平方关系求出sinB的值，代入三

角形的面积公式求出该沙田的面积.

本题考查了余弦定理，以及三角形面积公式的实际应用，注意单位的转换，属于中档题.

5.答案：C

解析：解：2016°=360°x5+180°+36°

•••cos2016°=—cos360,sin20160=—sin36°,

1>cos36°>sin36°>0

a=sin(cos2016°)=—sin(cos36°),b=sin(sin2016°)=—sin(sin36°),

c=cos(sm2016°)=cos(sin36°),d=cos(cos2016°)=cos(cos36°),

即cos(sin36°)>cos(cos36°)>0,sin(cos36°)>sin(s讥36°),—sin(cos36°)<—sin(sin360)<0,

■■■c>d>b>a,

故选:C

利用诱导公式化简，再根据三角函数的单调性判断即可.

本题考查了三角函数的运算公式，三角函数的单调性的运用比较大小，属于中档题.

6.答案：D

解析：

本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力.注意点P不在曲线上,

所以必须单独设出切点.

求函数的导数，设切点为利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P(2,2)在切线上，求

出切线条数即可.

解：y=3%-X3,

.1,y'=f'(%)=3—3x2,

••・P(2,2)不在曲线C上，

••・设切点为M(a,b),则b=3a—。3,

f(a)=3—3a2

则切线方程为y-(3a-a3)=(3-3a2)(x-a),

•••P(2,2)在切线上,

2—(3a—a,=(3—3a2)(2—a),

即2a3—6a2+4=0,

•••a3—3a2+2=0,即a3-a?-2a2+2=0,

(o-1)(ci^—2a—2)=0,

解得a=1或a=1±V3,

•••切线的条数为3条，

故选：D.

7.答案：C

解析：解：对于C：Va^+a2b-(ab2+b^)=a2(a+b)-b?(a+b)=(a+b)(a2-b2)

=(a+b)2(a-b)，

又a>0,b>0,a-b>0,或a—b=0或a—b<0都有可能,

因此a3+a2b》=(ab2+b3)不恒成立.

故选：C.

8.答案：B

解析:

根据△0FM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△0FM的

外接圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径，

由此可求P的坐标，从而求得外接圆的半径r=3即可.

本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考

查学生的计算能力，是中档题.

解：•・•△0FM的外接圆与抛物线C的准线相切，

0FM的外接圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径PF.

：,△0FM的外接圆的圆心P一定在抛物线上.

又•••圆心P在。尸的垂直平分线上，|0尸|=1,

P©/。），；・MF=与+弓="=3,此外接圆的半径r=3

4424

故此外接圆的周长是2兀7=6兀.

故选：B.

9.答案:B

解析：设｛即｝的公比为利用:多，璃泞嘴成等差数列结合通项公式，可得

二良辘产=域褫内-.图久由此即可求得数列｛时｝的公比，进而求出数列的前71项和公式，可得答案

设｛%i｝的公比为q（q>0,q。1）

嘴成等差数列，・•・二&/域=：哪『一:礴逾产

:1人貌，：1-苏嘲

,■•0-1*0,q力0,2q2+q-1=0,二阍=合.=一御舍j:，故害=----,故选B.

&掰工一心『寓

V

考点：等比数列的公式运用

点评：解决该试题的关键是对于数列公式的熟练表示和运用，属于基础题。

10.答案：A

解析：

本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点及直线的斜率

的条件的表示，是中档题.

设4B点的坐标，代入椭圆方程，作差.结合直线的斜率为-；，中点横坐标为1,可求4B中点

4

纵坐标，从而得解.

解：由题意，设点4（第1，%）,8（%2，%），

则舞=吟学

,宅+比=1，登+羽=L两式相减，套缁1%1+%2

,

16yi+y2

结合直线的斜率为-%4B中点横坐标为L

中点纵坐标为;，

4

-1,

将点（I,。代入直线％+4y+m=0中，得7n=-2.

故选：A.

11.答案：B

解析：解：在△ABC中，a=2,A=45°,B=30°,

可得心需=尊=也

2

设AABC的外接圆的半径为R,

可得2口=盘=专=2仅

2

即有R=V2.

故选：B.

由三角形的正弦定理可得b=等，设AABC的外接圆的半径为R,可得2R=%,代入数据计算可

sinAsinA

得所求值.

本题考查三角形的正弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

12.答案：A

解析：

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道基础题.

先求出函数/'(久)的导数，问题转化为b2/在(0,2)恒成立，从而求出b的范围.

解：函数的定义域是(0,+8),

/(%)=-x+p

若f(x)在(0,2)上单调递增，

则—x+0在(0,2)恒成立，

即b>/在(0,2)恒成立，又在(0,2)上/<4,

故b>4.

故选A.

13.答案：①②④

解析：

本题考查正弦定理的应用，考查转化思想，属于基础题.

解：由正弦定理可知：-、=—勺=2几

sinAsinB

则当sinA=s讥B时，a=b,故①正确；

由0<A<兀，0<S<7T,

由co$4=cosB,则4=8,则口=b,故②正确；

sin2A=sin2B,则4=B或4+B=会

则不一定得到2=B,则不一定得到a=b,故③错误；

由0<A<兀，0<B<n,

cos2A=cos2B,即24=2B,则4=8,则。=b,故④正确；

故答案为①②④.

14.答案:15

解析：解:由的=。4+2。5,得的=年@3+2q2@3,

即2q2+q—i=o,

an>0,q>0,解得q=

则包团Aq-—~q=15，

33

a4CLIQq(l-q)

故答案为：15

根据条件求出等比数列的公比，即可得到结论.

本题主要考查等比数列的公式以及前几项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键.

15.答案：|

解析：

由函数与导函数图象间的关系，函数的单调性对应导函数的函数值的正负，由此利用函数的单调性

即可知函数在某点取得极值，结合图象的对称性从而作出正确结果.

解：•••其导函数的函数值应在(-8,-2)上为正数，在(-2,2)上为负数，在(2,+8)上为正数，

由导函数图象可知，函数在(-8,-2)上为增函数，在(-2,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数，

・•・函数在久=-2取得极大值，在x=2取得极小值，且这两个极值点关于(0J(0))对称,

由/(%)的极大值与极小值之和为：，得

/(-2)+/(2)=2/(0),

2

=2/(0)，

则f(0)的值为£

故答案为：

16.答案：{m|m35或m4-5}

解析：试题分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意画出图形，即可求解小的取值范围.

//4

双曲线2-±=1渐近线为：y=±3，

9163

22

因为双曲线卷—需=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(％-血)2+y2>16内,

如图：只需圆心到直线的距离大于半径即可，

圆的圆心坐标(m,0)圆的半径为：4,

14ml

斯以〒^---三，解得：或・

柠+“7411135m4-5

实数m的取值范围是：或m4-5}・

故答案为：{m|m35或m4-5}・

17.答案：解：(1)「向量五=(%,—1)为=(1,2)]=(一也乃,

：.a-2b=(x-2,-5),由0—25|R，

•••x(x—2)=—5x(--)=3,即％2—2%—3=0,

・•.x=-1或3.

(2)由％2+五1vo，得%2+%一2<0,

解得一2V%VI,故q：-2<%<1.

由(％—7n)[%—(??1+1)]>0,得p:X<TH或%>m+1,

由p是q的充分非必要条件，得m>1或6+1<-2,即m>1或m<-3,

故实数机的取值范围是(一8,-3]U[l,+oo).

解析：试题分析：(1)通过(方-2母||工，利用向量的坐标运算，直接求％的值；

(2)利用％2+2•另<0,求出0通过(％-税)[%-(TH+1)]V0(?neR),求出p,通过若P是q的充分

非必要条件，得到不等式，然后求实数血的范围.

18.答案：解：(I)将(2b-c)cosZ=acosC代入正弦定理得：

(2sinB—sinC)cosA=sinAcosC,

^2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(X+C)=sinB,

由BE(0,180。)，得至Us讥BWO,

所以cosA=|,又4e(0,180°),

则a的度数为60。.

(n)由余弦定理小=b2+c2—2bccosA,可得：h2+c2—foe=(h+c)2—3bc=16,

且尻工(等)2,当且仅当b=C时等号成立，

••・16=(6+c)2—3bc>=(b+c)2—3仔辿尸=工俗+

24

h+c<8,

vh+c>4,

・•・△/BC的周长取值范围为：(8,12]

解析：(I)利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB

不为o,得到COSA的值，由a的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数.

(H)利用余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围.

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，

基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档

题.

19.答案：解：(I)设数列的公差为d,

由题意有:限+区]:**号

+2d+2)=2al+6a

解得｛野[2、.•・斯=271—1；

n_1

团)由题意有:

(U)(2n-lf

・,・儿+b2H—bn=n-(2n—1),①

瓦+尻+…bn-i=(n-1)-[2(n-1)-l](n>2)②

由(J)—②)得：bn=471—3(九N2),

又瓦=1,bn=4n—3(nGN*)；

1

,团、.._i_ir1ii

IJbnbn+1(471-3)(471+1)4^4n-34n+l''

1111।1

匕1山2b2b3bnbn+1

=i[(l-i)+(1-i)+…+(―--------—)]

4L\57、597v4n-34n+lyj

=i(l--)=—.

414n+ly4n+l

解析：(1)通过。2,a3+2,。6成等差数列，计算即得结论；

以+时...+%

(口)(团)通过计算可得=京？利用比+历+…bn与比+b2+…的差计算即得结论;

1

(ii)通过对高一分离分母，并项相加即得结论.

DnDn+l

本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.

20.答案：解：(1)抛物线过点M(—6,6),则其开口向左或开口向上，

若其开口向左，设其方程为y2=-2px,

将M(-6,6)代入方程可得：62=—2px(—6),

解可得，p=3,

此时其标准方程为：y2=—6x,

若其开口向上，设其方程为/=2py,

将M(-6,6)代入方程可得：(-6/=2pX6,

解可得，p=3,

此时其标准方程为：/=6y,

综合可得：抛物线的方程为：必=一6%或/=6y；

(2)根据题意，直线1：3x—2y—6=0与坐标轴交点为(2,0)和(0,—3)；

则要求抛物线的焦点为(2,0)或(0,-3),

若其焦点为(2,0),则其方程为必=8x,

若其焦点为(0,—3),则其方程为/=一12'，

综合可得：抛物线的方程为：*=8%或/=一12%

解析：本题考查抛物线的标准方程求法，注意要先确定抛物线焦点的位置，如不能确定，需要分情

况讨论.属于基础题.

(1)根据题意，分析可得要求抛物线开口向左或开口向上，进而分情况求出抛物线的方程，综合可得

答案；

(2)根据题意，求出直线与坐标轴交点坐标，进而可得抛物线焦点的坐标，分别求出抛物线的方程，

综合可得答案.

21.答案：解：(1)因为隹⑷，1，|&用为等比数列，

所以M=年小吗切，即1=(a+c)(a-c),

_c_V3

:工上)…,

{a2=b2+c2

解得a=2,c=V3,b=1,

2

所以椭圆的方程为:+y2=i.

(H)设直线PN的方程为％=my+4,可(如乃)，

(X=my+4

联立2_i得(血？+4)y2+8my+12=0,

(4y-

c।c_~Qm

{月力;产，

所以红3=赳=_胆=.迎，

y，2yi123

所以§=一|也乃一1①，

又因为4(—2,0),B(2,0),

3yl

所以❷=%(%2-2)_%0为+4-2)_77137,2+2-_mVi+y7

上2为(％2+2)y2(my1+4-2)my1y2+6y2力力+6

把①代入上式，得色=吧超屋纥£=一匕

k2my1+63

所以F是为定值-也

及23

解析：(1)由|尸2川，1,|尸2用为等比数列，得1=(a+c)(a-c),列方程组，解得a,c,b,进而可

得椭圆的方程.

(H)设直线PN的方程为％=my+4,N(%2，y2)，联立直线与椭圆的方程，得关于y的一

元二次方程，由韦达定理可得力+、2,%为，进而可得比，再计算强即可得出答案.

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

22.答案：（1）当初混⑩时，函数,河斓的单调递增区间为卜虬”中叵单调递减区间

k微’/

为卜"4"书窝I当砌H®时，函数新的单调递增区间为询L股党，无单调递减区间.（2）存

（.输J

在，范围为御，领

解析：试题分析：⑴函数/『礴的定义域为鲫^畸，，［编==一幽％.二—磁/一N

①当魏=❿时，消i：斓=上匕•，密触顾,呵>®，二函数施礴单调递增区间为蒯t带唠

塞：

②当曲修W时,令/1f（唠=电得一空二^口=电，即#-丘1=/，蠹=!#&.

（i）当感士斛，即糠区一丁时，得硒F—零一1喧❿，故贾®目避就

••・函数煲碱的单调递增区间为鲫.书嘴.

（ii）当感刖蚓，即魏济一士时，方程魏/-零T=颂的两个实根分别为礴=.画

4*篇豳

愿।=,

若领，则蜀,《：（虬够（.«：❿，此时，当旅史例,性网j时，贾女加通.

4

；.函数到礴的单调递增区间为内虬#网［I,若磔阳❿，则时，〈虬碣*❿,此时，当客毓叱或马》时,

f阖>@，当M史『遹•»［!!时，*加M1虬