2021年河南专升本《高数》真题(含答案)

2021年河南专升本《高数》真题（含答案）

2021年河南省普通高等学校

专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

一

题号—四五总分

分数503050146150

注意事项：

答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号堞写在答题卡上本卷的试题答

案必须答在答题卡上，答在卷上无效

选题分析:

易（42分）中（73分）难（35分）

选择：选择：选择：

1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/213/5/7/11/13/14/16/17/20/22/19

壤空：23/24/25堞空：

26/28/30/32/37填空：33/40

计算：27/29/31/34/35/36/38/39计算：

41/43计算：45/47/49

应用：42/44/46/48/50应用：

证明：应用：证明：51/52证明：

53

一、选择题（每小题2分，共50分）

在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

1.对称区间上/（工）是奇函数，g（X）是偶函数，下列函数是奇函数的是（）

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A-/(X4)

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C.g(x)f(x)

D.-g(-x)

2.极限临竺工

f2x

A.2

2

C.0

D.83.当XT+8时，下列变量不是无穷大量的是（

/+1

・J2F+4

B.IgX

C.3*

D.arctanx

x）0

',则工=0处是f（对的（

x<0'

xcosx.

A.无穷间断点

B.可去间断点

C.跳跃间断点

D.振荡间断点

14

5...................极限lim（）的值为（）.

2

a「2X-4

A.—

4

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B.1

2

C.-1

4

D.8

6.下列关于函

数y=f⑨在点玉，的命题不正确的是（）.

A.可导必连续

B.可微必可导

C.可导必可微

D.连续必可导

n)

7.设函\y=x+a(x+a2x〜+---+an,WJ/=().K.an

B.〃!

C.0

8.设/(x)=InVT+x，则/'⑴=().

A.2

B.1

c.l

2

D.1

4

9.设函数y二F①在点x=1处可

导，且i而伯-20)=3,则广⑴=

XT1X-1

A.2

B.3

C.6

D.12

10.曲线y二4)在区间(-oo,-4)rt的特性是(

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A.单调递滋且为凹

B.单调递减且为凹

C.单调递增且为凸

D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是(

A.J：2么=2

b.£7177'=1

■虾Y

D.J(sinx+cosx)dx=0

12.已知jf(x)dx=F(x)+C,^\]j-/(lnx)~r=(

A.F(lnx)

B.F(lnx)+C

C.xF(Inx)+C

D.-F(lnx)+C

13.下列式子正确的是().

A•±J对

B.d(jf(x)dx)=f(x)

c±P3dx=f(x)+C

D.ff(x)dx=f(x)

14.平面2x+y—3=()的位置是(

A.平行于xO),而

B.平行于z轴，但不通过z轴

C.垂直于z轴

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D.通过z轴

成方程身W所表示的曲面为（

A.椭圆抛物面

B.椭圆锥面

C.椭球面

D.椭圆柱面

16.下列广义积分中发散的是（）

f2dx

ALT

C.fgW

DC”

17.常数a>0,?(x+x>]a-x)cbc=(

A.0

c.M

2

D金

3

18.下列方程中为一阶线性微分方程的是（

A.（y+e）2=〃

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B.Ay+（y‘）2+y=0

C.xy+y=x

D./-2/+y=0

19.已知y=2x是/+y二然的解，二=e*是/+y=2e」，则微分方程

）,〃+y=2x+2广的通解是（

A.2x+e1

B.C）cosx+C,sinx+2x+e”

C.C（cosx+Czs/xx+e〜

D.C,cosx+C2sinx+2x

20,若函数/Xx,y）在点（X。，y。）处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，

则

A.y0）-fy（xo9y0）=0

B.若（气，光）是D内唯一极值点，则必为最小值点

C.二（■）,%）•六；（如％）-[有（吒，Jo）]2＞。，且/

（吒，月）＞°

D.尺（易，％）•（甩/-XT且以（与，肉）＜0

21.设z=x-2xy~y,贝!!二（

dxdy（1.2）

A.1

B.2

C.-2

D.-1

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22.函数/（x,y）=2勺在点（-1,2）沿7=（2,-1）方向的变化率为（

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A.2打

B.-10

0-23

D.10

23.二次积分J：(x,y)dx=().

AJM火奶

B•j>［同(3用可可川泌

D.J：,

24.下列级数中绝对收敛的是().

士»+1

1尸

D.y(-1)°+,-------25.下列说法正确的是()•

£(«+1)(/7+3)

A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变

B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛

C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛

D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散

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二、填空题(每小题2分，共30分)

26.函数y=/4+ln(x+l)的连续区间是.

V9-x2

27.若f(x)为可导的奇函数，且广(2)=3,则广(-2)=.

28.曲线y=lnx在点时切线与连接曲线上两点(1,0),(。，1)的弦平行.

29.lim(l-)142021=.

X*X

30.曲线v=3£±l的垂直渐近线是.—

牙-|

x=2cos0+sin2OJv

31.设曲线方程(八八(0为参数)，求业

y=2sin"+cos2odxoo

32.不定积分jxsinxdx=.

33.Jomax[x,2—x/dx--._

34.一Fcos^ftdt(x>0)=._

cl产

35.函数y=的极值点坐标是.

36.曲面e'-5z+xy=3在点(2,1,0)处切平面方程是.

37.设二元函数z~2xy+/，则.____

38.函数y=Insinx在区间停，学]上满足罗尔定理的&的值是.

39.L为正向圆周(xT)?+y=4.(2y+x3)6Zx+(x-.

40.将函数FA9二一一展开为x的幕级数为.

A--6x+5

三、计算题(每小题5分，共50分)

41.求极限limln(1+5vSinX).

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E°1-cosx

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x+3

42.-------------若极限lim(-ax+b)=0,求的值.

ex-1

43.设函数y—arctan右，求车及纲…

axax

44.求曲线y=3+In(x2+1)的拐点及凹凸区间.

45.计算不定积分Jdx

八/7+1+1

46.设3二海尹，20,fjg脚.

1+x\x<0'

47.过点(-3,-2,0)且与直线，7二虹名二竺;垂直相交的直线方程.

11—1

48.设二元函数z二一arcsin(A)'),求x>'-y2—.

3ydxdy

49.计算二重积分I=b'dxdy.其中积分区域。由直线y=x,y=0,x=3围成.

D

so.判断级数#133.；舄-2-^=。一的收敛性

四、应用题(每小题7分，共14分)

51.过坐标原点作曲线y=的切线，求：

(1)该切线的方程；

(2)由曲线、切线及)，轴所围成的平面图形绕A•轴旋转一周而成的旋转体的体积.

52.质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.

在r=10s时，速度v=100cm/s,外力F=2gcm/s；问，=30s时，质点的速度是多少？

(765,8.062,计算结果取整数，注：F=ma,。为加速度)

五、证明题(每小题6分，共6分)

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53.证明多项式⑴=2/-6x+a在区间［一1,1］上至多有一・个零点，其中a为任意实数.

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高等数学

【参考答案】

一、选择题(每小题2分，共50分)

1.【答案】C

【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数x偶函数=奇函数，故选C.

2.【答案】A

【解析】本题考察求“9”型极限，利用等价代换可得：lim%=

0/,项2r2

3.【答案】D

【解析】limarctan=00,根据无穷大量的定义知，故选D.

4.【答案】C

【解析】limf(x)=limxcosx=0,limf(x)=lim(2x,+迦当=1,在x=。左右极限存i(r.

o'x-»o»-»o'x

在且limf(x)*lim/(x),所以x=0为跳跃间断点，故选C.

5.【答案】A

14x-211

【解析】本题考察求"8-8”型极限，Lim(--------r-)=lim4—=lim-----=一，故

12x-2x--4«->2-4«-»2x+24

选A.

6.【答案】D

【解析】根据可微口可导J连续的关系，知连续不一定可导，故选D.

7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，/'口|,故选B.

8.【答案】D

国析】力口=赤温TT近广⑴T故选,

9.【答案】C

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2021年河南专升本《高数》真题(含答案)

【解析】lim口中一/(D=lim手曲:尸⑴=3,所以/XI)=6,故选C.

zx-l•-*>(x-1)(x+1)2

10.【答案】B

【解析】y=x\x-4)=x-4x3,y=4?T2x2,在(-oo,-4)内y'<0,所以曲线在

(一8,-4)内单调递减；/=12x2-24x,在(YO,-4)内/〉0,所以曲线在(-8,-4)内是

凹函数，故选B.

11.【答案】c

【解析】根据定积分几何意义，由被积函数y=知定积分J'vi-x'dr表示以

原点为圆心、1为半径的上半圆而积，即J：Ji—r女=?$同=:,故选C.

12.t答案】B

【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：

J-/(Inx)dx=j/(Inx)d(\nx)=F(lnx)+C，故选B.

13.【答案】A【解析】利用微积分互逆运算:B选项fMdx)=/&)☆C选项£J广⑴小•=

f(x),

D选项J/'(x'jdx=f(x)+C,故选A.

14.【答案】B

【解析】平面为+y-3=。法向量〃=⑵1,0),z轴方向向量s=(0,0,1),以•$=(),即平

而2x+y—3=0与z轴平行；代入原点，得2・0+0-3/0,即平而不经过z轴：故选B.

15.【答案】B

【解析】方程4£4=4为椭圆锥面的方程式，故选B.

abc

16.【答案】A

[m1J—=£—+£J—=In「||%+Inx||",不存在，即发散，故选A.XXX

17.【答案】D

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【解析】j(F+x>!a-x)dx=J'^dx+]xy/eC-xdx=：x3l：+0=：/,故选D.

18.【答案】C

t解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得x*=x"阶线性微分方程，故选C.

19.【答案】B

【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，刃+力=2工+2。*为微分方程

）,〃+y=2x+2e-'的解；设二阶线性齐次微分方程为y"+y=0,特征方程为，2+1=0,

r=±7.，得二阶线性齐次微分方程的通解为：y=C,cosx+Czsinx,故微分方程

J

y"+y=+2e'的通解为Gcosx+C2sinx+2x+^,故选B.

20.【答案】C

【解析】f在点（与，为）处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条

件知选项C正确，故选C.

21.【答案】C

【解析】一=2x-2y,-=-2,—=-2,故选C.

dxdxdydxdy（⑵

22.【答案】A

【解析】与7=（2,-1）同向的单位向量2=（令，虽），又因为以一1,2）=4,/；（~!,2）二-

2,

故龚21二金.4+余・（一2）二2打，故选A.

dl⑵-1）

23.【答案】C

0<y<3

【解析】由么知积分区域。表达式为：•“八，交换积分次序后积

0<x<3-y

分区域D可表示为：°'。，即J。刈顶尤,》）办刁*:公［'/（1,）'）玲'，故选C.

0<y〈3-x

24.【答案】A

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【解析】根据交错P级数结论，A选项为绝对收敛；B、C、D选项为条件收敛；故选A.

25.【答案】D

【解析】根据级数的性质：收敛级数加滋发散级数，结果为发散，选项D正确，选项C错误；选

项A：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项

B：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散；

故选D.

二、填空题(每小题2分，共30分)

26.【答案】(-1,3)

9-x2>0-3<x<3

【解析】定义域：xe(-1,3),初等函数在其定义域内都连续，

x+1>0x>~l

故连续区间为(T,3).

27.【答案】3

【解析】求导后奇偶性发生改变，即尸⑨无*禺函数，则广(-2)=广(2)=3.

28.【答案】(e-ljn(e-D)

【解析】由题意知曲线在该点的斜率为"=上*=±,所以;/=±=±,解得x=e-|,e-|e-l

xe-l

代入>,二Inx得)*=ln(e-l):故该点(e-1,In(eT)).

29.【答案】广

【解析】应用第二重要极限，原式Timll+LLfTEm'U%*1

X

30.【答案】x=1

【解析】lim2x+*=°。，故x=1为函数y=2"/垂直渐近线.

xTax-1

31.【答案】1

【解析】_dyldO_2coso-2sin2。dxdx!dO-2sinQ+2cos20

.”一■dx

32.【答案】-xcosx+sinx+C

【解析】jxsinxdv--Jxobosx-rcosx+jcosxdy--ACOSX+sinx+C.

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33.【答案】3

【解析】*21时，/(x)=max{x,2-x}二x；xvl时，f(x)—max{x,2-x}二2一x.

j，max{x,2-x)6Zr=「(2-％)八+j'xdr=(2x--x2)--x=3.ooI2n2[

34.【答案】2xcosx

【解析】变限积分求导，£■FCOSyftdt=(xycos4-为COSX.

收。

35.【答案】(-In2,4)

【解析】xwR,yAe,-e-"---。，解得：x二Tn2,e

-<o<x<-ln2,y'vO,则)在(-co,-In2)单调递减：x>-ln2,/>0.则y在(一ln2,+oo)单调递增；

所以x=为极小值点，y=4-m2+丁㈠点)=4.：+2=4

故极值点坐标是(Tn2,4).

36.【答案】x+2y-4z-4=0【解析】令F(x,y,z)=e-5z+xy-3}F；=y,F；=x,F：=

仇则曲面在(2,1,0)处法向量为；二(1,2,-4),切平面方程为(工一2)+2(),—1)-4(z-

0)二0,即

x+2y-4z-4=0.

37.【答案】dz|(3i)=2dx+3dy

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【解析】z-2x)1+y.z；=2y,-2x+2y，即龙=2ydx+(2x+2y)dy,故

dz|(m=2么+8如

38.【答案】？

2

【解析】令((同二件二0,又因为1€[?,2勺，解得％=氏则g=£.

sinx3322

39.【答案】一4勿

【解析】由格林公式得，血(2y+T)妇(工-尸用=[J骨一告)dxdy=Ml-2)〃,

=-Jjdxdy=-S刖=-4勿.

40.【答案】£(1-吉)T,xe(-l,1)

/!=()5

【解析]/(x)=一=--------=---=---=£v-x-6x+5(x-5)(x-1)x-5x-1\-x5-xKTo5

=£o-*产xe(T,1).

n-0D

三、计算题(每小题5分，共50分)

41.【解析】原式=lim5xSinX=1().

▼1-C0SXXTo]2

-X

2

42.【解析】lim(x-ax+b)=lim

X-HCX—]X-H©

即a二A二一22,

*+3-故+ax+bx-b

x-1

j..一a)x+(a+b)x+3-b八

=1W=u，根据有理分式结论，得1-4=0,a+b=Q,

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2021年河南专升本《高数》真题(含答案)

dy二身二'

43.【解析】

dx\+(>/x)22去(1+x)乳,V

2x〃—2(J+])~2r2x_2-2/

44.【解析】函数定义域为R,对函数求导y'=

)^(x2+l)2-=(x2+l)2

令)，〃=0,即2—2J=0,得x,=T,x2=\,

综上所述：凹区间为(一1,1),凸区间为(-。。,-1)>(l,+oo):拐点(T,3+In2),(1,3+ln2).

『析,

45.【解析】令i/i+x=t,则尤二尸T,dx=3

3(；FT+Ink+1|)+C=：(1+X户―3(1+X户+31n(1+x)孑+1)+C.

46.【解析】令x-1=/，当x=T./=-2；x=2,/=1；

142

3

j]1)么=F,=J(1+r)dt+£cos-r</r=(r+-r)|?2+—sin-r|„+一

4〃解析】令台早弓“叫1+2,设直窖二早弓与所求直线的

z=~t+|

交点为(以+2,T+1),过点(-3,-2,0)的所求直线的方向向量；二(f+3,f+4,T+1),直线？二匕

2二兰二的方向向量为;二(1,1,-1),又两直线垂直，所以；，£,即5二二0,则

11—1

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r+3+/+4+r-l=0,力二-2所以；二（1,2,3）,故所求直线方程为甲二导=§

'z2xydzxx

48.【解析】一=-——+-.—=---+/

dx3yy]\~(xy)2oy3y〜yj\~(xy)2

niidz20Lr.2xy,,）一），2（一亍一，LX

则-M-y-矿顼1一3yJi-*3/Jl_(xy)2

2jI=2，J'2

3yl|-(xy)2