数学实验 课件 第3、4章 MATLAB符号运算、MATLAB图形功能

3.1符号变量及表达式

MATLAB中定义的数据默认为数值类型，要进行符号运算必须先将数值型的数字或变量转为符号类型．3.1.1符号变量的创建

符号对象的类型在MATLAB中称为sym，而且定义符号对象的常见命令就是sym．sym函数常见的调用语法如下：①x=sym('x')创建符号变量x②symsvar1...varN创建符号变量var1...varN③

A=sym('a',[mn])创建一个符号矩阵A，矩阵的维度为m×n.若m=n，则可以简写为A=sym('a',n)，还可以利用%d设置元素下标的格式.④sym(num)将数值常数或数值矩阵转换成符号常数或符号矩阵⑤A=double(B)将符号常数或符号矩阵转换成数值常数或数值矩阵注：sym函数一次只能定义一个符号变量，使用不方便.而syms函数一次可以定义一个符号变量，也可以一次定义多个符号变量.syms函数使用起来比sym函数更加简洁.例3.1使用syms函数创建符号变量.>>symsxyz>>whosNameSizeBytesClassAttributesx1x18symy1x18symz1x18sym例3.2创建符号矩阵．>>A=[1/3+5,pi/4;sqrt(5),pi+exp(2)]%A是数值矩阵A=5.33330.7854

2.236110.5306>>B=sym(A)B=[16/3,pi/4][5^(1/2),5928228224727581/562949953421312]%B是符号矩阵>>double(B)%将B转换成数值矩阵，即为Aans=5.33330.78542.236110.5306>>c=sym('a',[2,3])c=[a1_1,a1_2,a1_3][a2_1,a2_2,a2_3]>>A=sym('a',[24])A=[a1_1,a1_2,a1_3,a1_4][a2_1,a2_2,a2_3,a2_4]>>A=sym('a%d%d',[24])A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24]>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>A=sym(A)A=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]3.1.2符号表达式的创建创建符号表达式，首先创建符号变量，然后使用变量进行操作.例定义符号表达式.>>symsabcx>>f=a*x^2+b*x+cf=a*x^2+b*x+c在表3-1中列出了符号表达式的常见格式与易错写法.正确格式错误格式symsx;x+1sym('x+1')exp(sym(pi))sym('exp(pi)')symsf(var1,…,varN)f(var1,…,varN)=sym(‘f(var1,…,varN)’)表3-1符号表达式的常见格式与易错写法3.2符号表达式的运算1．基本运算

（1）符号矩阵的四则运算：+，-，*，\，/.和数值矩阵的四则运算完全相同．

（2）符号矩阵的其他一些基本运算：和数值矩阵的运算格式相同，包括转置（'）、行列式（det）、逆(inv)、秩(rank)、幂（^）和指数(exp)等运算．2．符号表达式的化简与替换

（1）符号表达式的因式分解factor(S)因式分解符号矩阵S的各个元素，如果S包含的所有元素为整数，则最佳因式分解式将被计算．例3.4因式分解．>>symsx>>factor(x^9-1)ans=[x-1,x^2+x+1,x^6+x^3+1]>>f=factor(200)f=22255>>prod(f)ans=200（2）符号表达式的展开expand(S)对符号矩阵的各个元素的符号表达式进行展开例3.5将(x+1)3和sin(x+y)展开．

>>symsxy

>>expand((x+1)^3)

ans=

x^3+3*x^2+3*x+1

>>expand(sin(x+y))ans=

sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)可知(x+1)3=x3+3x2+3x+1，

sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)（3）合并符号表达式的同类项collect(S,v)将符号矩阵S中的各个元素v的同幂项系数合并.

例3.6将x2y+yx-x2-2x合并同类项.

>>collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)

ans=

(y-1)*x^2+(y-2)*x

可知x2y+yx-x2

-2x=(y-1)x2+(y-2)x.（4）符号表达式的化简simplify(S)简化符号表达式S例3.7simplify函数的使用.

>>symsx

>>simplify(cos(x)^2+sin(x)^2)

ans=

1

>>simplify((1-x^2)/(1-x))

ans=

x+1（5）符号表达式的替换subs(s,old,new)将符号表达式s中的old变量替换为new变量.例3.8subs函数的使用.

>>symsab

>>subs(a+b,a,5)

ans=

b+5例3.9验证三角函数等式>>symsab>>y=simplify(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))y=

cos(a+b)3.精度计算

符号表达式与数值表达式分别使用函数digits和函数vpa进行精度设置．

digits(n)

设置n个有效数字的近似解精度，.vpa(s,d)

求符号表达式s的数值解，该数值解的有效数字位数由d指定.如果不指定d，则求digits函数设置的精度的数值解.例3.10将

显示4位有效数字，

显示8位有效数字．>>digits(4);>>a=vpa(1/3)a=

0.3333>>vpa(sqrt(7),8)ans=

2.64575134.符号方程求解

MATLAB中利用solve函数求解线性方程组的符号解析解．

S=solve(eqn,var)对变量var求解方程eqn，若var缺省，默认求解一元方程

Y

=solve(eqns,vars)对变量vars求解方程组eqns例3.11求解方程>>symsabcx>>eqn=a*x^2+b*x+c==0%注意方程的表示方式eqn=

a*x^2+b*x+c==0>>S=solve(eqn)S=

-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)

-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)方程的解为例3.12求解如下线性方程组>>symsxyz>>eqn1=x-2*y-z==4;>>eqn2=2*x-10*y+z==5;>>eqn3=3*x+8*y==6;>>s=solve(eqn1,eqn2,eqn3,x,y,z)s=

包含以下字段的struct:

x:[1×1sym]

y:[1×1sym]

z:[1×1sym]>>[s.xs.ys.z]ans=

[12/5,-3/20,-13/10]%得到的是解析解可知方程组的解为4.1二维图形

二维图形是在X-Y平面上绘制的图形，主要是由一些基本图形元素组成，如点、直线、圆、多边形等几何元素．MATLAB系统提供了绘制曲线函数plot.由于MATLAB作图是通过描点、连线来实现的，故在绘制曲线之前，需要先取图形上的一系列点的坐标，即横坐标与纵坐标，然后利用plot函数绘制曲线．plot(X,Y,LineSpec)X和

Y都是向量，则它们的长度必须相同.绘制以数据（Xi，Yi）为节点的折线图.其中LineSpec用于设置线型、标记符号和颜色，见表4.1．plot(X1,Y1,LineSpec1,...,Xn,Yn,LineSpecn)同时绘制多条折线，相当于绘制plot(X1,Y1,LineSpec1)，……plot(Xn,Yn,LineSpecn)注意：表4-1中属性可以全部指定，也可以只指定其中某几个，并且排列顺序任意.表4-1图形的线型、标记符号和颜色

数学上，绘制[a,b]区间上的函数y=f(x)图形，有以下步骤：

①找点：在x轴上的找点x1，x2，x3，……

②计算函数值：计算这些点处的函数值y1=f(x1)，y2=f(x2)，y3=f(x3),……

③描点：在坐标系中画出这些离散点；

④连线：用直线或曲线连接这些点，得到函数的大致图形.在MATLAB中，绘制平面图形可以采用以下步骤：

①给出x轴上的离散点列：x=[a:step:b]；

②计算函数值：y=f(x)；

③绘图：plot(x,y)例4.1绘制0到2之间的正弦函数图象．>>x=0:pi/20:pi*2;>>y=sin(x);>>plot(x,y,'r-*')%设置线型是实线，标记点是型号，颜色是红色得到图形如图4-1.图4-1（2）图形的属性

MATLAB可以用subplot划分绘图区域，调用格式如下：subplot(m,n,p)将一个绘图窗口分割成m*n个子区域，并按行从左至右依次编号.p表示第p个绘图子区域.例4.2使用subplot绘图.

>>x=-pi:pi/10:pi;

>>subplot(2,2,1);plot(x,sin(x));

>>subplot(2,2,2);plot(x,cos(x));

>>subplot(2,2,3);plot(x,x.^2);

>>subplot(2,2,4);plot(x,exp(x));图4-2subplot绘图

在绘制图形的过程中，若对图形加一些说明，如图形名称、曲线标注、坐标轴显示等，一种方法是使用MATLAB图形命令进行处理，表4-2给出了常用图形说明命令；另外一种方法，可以在图形操作窗口下，选择菜单栏中Insert选项，再按提示进行操作即可.命令意义title添加图形标题xlabel添加x坐标轴标注ylabel添加y坐标轴标注xlim设置当前坐标区或图的x坐标轴范围ylim设置当前坐标区或图的y坐标轴范围axis指定当前坐标区的范围text添加数据点标注legend添加图例holdon保持当前窗口的图像gridon对图形加网格控制figure新建绘图窗口表4-2常用图形命令例4.3常用图形命令.

x=linspace(0,2*pi,100);

y1=sin(x);

y2=cos(x);

plot(x,y1,'r-',x,y2,'k:')

axis([02*pi-11])

title('正弦和余弦曲线')

xlabel('x')

ylabel('y')

text(pi,0,'\leftarrowsin(x)')

text(pi/2,0,'\leftarrowcos(x)')

legend('sin(x)','cos(x)')

得到的图形见图4-3.

图4-3正弦和余弦曲线

例4.4随机抽取了11个城市居民家庭关于收入与食品支出的样本，数据见表4-3，绘制出收入x与支出y的关系图.收入x（元）8293105130144150160180270300400支出y（元）758592105120130145156200200240表4-3收入x与支出y的关系解x=[8293105

130

144

150

160

180

270

300

400];

y=[758592

105

120

130

145

156

200

200

240];

plot(x,y,'bo')

title('城市居民家庭消费情况')

xlabel('收入x（元）')

ylabel('支出y（元）')

gridon关系图如图4-4所示.

图4-4城市居民家庭消费情况2.符号函数绘图

fplot(f,xinterval,LineSpec)

在指定区间xinterval=[xminxmax]绘制由函数

y=f(x)

定义的曲线，LineSpec设置线型、标记符号和线条颜色，见表4-1.

fplot的绘图数据点是自适应产生的.在函数平坦处，所取数据点比较稀疏；在函数变化剧烈处，它将自动取较密的数据点.

例4.5绘制参数化曲线x=cos(3t)和y=sin(2t).

解>>xt=@(t)cos(3*t);

>>yt=@(t)sin(2*t);

>>fplot(xt,yt)

得到图形如图4-5.图4-5绘制参数曲线例4.6绘制分段函数.解新建脚本文件f.m，输入以下MATLAB命令后保存并执行后得到图4-6.fplot(@(x)exp(x),[-30],'b')holdonfplot(@(x)cos(x),[03],'b')holdoffgridon图4-6分段函数例4.7利用plot、fplot函数绘制

的图像，并作比较.解MATLAB程序代码如下

subplot(2,1,1)

x=-1:.1:1;y=sin(1./x);

plot(x,y)

subplot(2,1,2)

fplot(@(x)sin(1./x),[-1,1])得到的图形见图4-7.图4-7利用plot、fplot函数绘图

从图4-7可以看出plot函数根据指定的数据点，但是

在x=0处没有意义，所以不能绘出x=0处的点.对于导数变化比较大的函数，用fplot比plot指令要更真实.4.1.2其他绘图函数polar(t,r,‘s’)在极坐标下绘制图形，t为极角theta，r为极径rho.s表示线条的线型、标记符号和颜色等，s可省略.fill(X,Y,ColorSpec)

填充

X和

Y

指定的二维多边形（颜色由

ColorSpec

指定）其他绘图函数见表4-4.函数名功能函数名功能area填充面积图pie圆饼图bar条形图plotmatrix散点图矩阵barh水平柱图ribbon以三维带形式画二维线comet慧星形轨线stem火柴杆图errorbar误差条形图stairs台阶图gplot以图论方式绘图clabel等高线图仰角标签quiver场图polar极坐标图表4-4其他绘图函数例4.8绘制心形线和四叶玫瑰线.解clf

t=0:pi/100:6*pi;

s1=2*sin(2*t);s2=2*(1-cos(t));

subplot(1,2,1)

polar(t,s1,'.')

title('心形线')

subplot(1,2,2)

polar(t,s2)

title('四叶玫瑰线')得到图形如图4-8.图4-8心形线和四叶玫瑰线例4.9使用

fill

函数创建一个红色八边形.解

t=(1/16:1/8:1)'*2*pi;

x=cos(t);y=sin(t);

fill(x,y,'r')

axissquare得到图形如图4-9.图4-9红色八边形4.2三维图形1.三维曲线

plot3(X,Y,Z,LineSpec)

函数绘出三矩阵的列向量的，其中X，Y，Z为3个大小相同的矩阵.函数给出通过这些向量所表示的点的图形.其中X，Y，Z为3个相同长度的向量.其中LineSpec为定义线型的字符串，形式同plot函数.

plot3(X1,Y1,Z1,LineSpec1,...,Xn,Yn,Zn,LineSpecn)

可为每个X、Y、Z三元组指定特定的线型、标记和颜色.可以对某些三元组指定LineSpec，而对其他三元组省略它.

绘制三维曲线的方法同平面曲线的类似，属性设置见表4-1和4-2.例4.10绘制螺旋线解

t=0:0.5:10*pi;

x=t;y=sin(t);z=cos(t);

plot3(x,y,z,'.-')

title('螺旋线')

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z')得到图形如图4-10.图4-10螺旋线例4.11绘制蓝宝石项链图．解

t=0:0.02*pi:2*pi;

x=sin(t);y=cos(t);z=cos(2*t);

plot3(x,y,z,'bd-')

boxon

view([-82,58])

legend('链','宝石')得到图形如图4-11.图4-11蓝宝石项链图2.三维曲面

MATLAB中利用meshgrid、mesh和surf函数可以方便绘制三维曲面图形.在MATLAB中绘制由函数z=z(x,y)确定的曲面时，首先利用meshgrid产生一个网格矩阵，然后计算函数在各网格点上的值，再利用mesh和surf函数绘制曲面图形．调用格式如下：

[X,Y]=meshgrid(x,y)

x,y为给定的向量，X,Y是网格划分后得到的网格矩阵；

若x=y,则可简写为[X,Y]=meshgrid(x).mesh(X,Y,Z,C)

绘制由X，Y，Z，C所确定的曲面网格面图形.surf(X,Y,Z,C)

绘制由矩阵X，Y，Z，C所确定的曲面图，参数含义同mesh．mesh绘制网格图，surf绘制着色的三维表面图．例4.12使用向量

x

定义的

x

坐标和向量

y

定义的

y

坐标创建二维网格坐标,并在二维网格上计算函数z=

x2+y2．解

>>x=1:2;

>>y=1:3;

>>[X,Y]=meshgrid(x,y)

X=

12

12

12Y=112233>>Z=X.^2+Y.^2Z=25581013

例4.12中例用直线x=1，x=2，y=1，y=2，y=3对[1,2]×[1,3]进行网格划分，得到网格点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，见图4-12.例4.12中的X和Y是同型矩阵，分别存储网格点的横坐标和纵坐标.利用X和Y的点幂运算计算网格点对应的函数值矩阵Z，即X中的(i,j)元素和Y中的(i,j)元素进行计算得到Z中的元素(i,j)，如当X(3,1)=1，Y(3,1)=3时，Z(3,1)=10.

Z也和X、Y是同型矩阵.图4-12meshgrid绘制二维网格例4.13（1）利用mesh绘制巴拿马草帽（2）利用surf绘制椭球面解（1）x=[-8:0.5:8];y=[-8:0.5:8];

[X,Y]=meshgrid(x,y);

r=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;

Z=sin(r)./r;

mesh(X,Y,Z)

title(‘巴拿马草帽')

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z')得到图形见图4-13a.图4-13a（2）clear

r=linspace(0,pi,100);t=linspace(0,2*pi,100);

[r,t]=meshgrid(r,t);

X=3*sin(r).*cos(t);Y=2*sin(r).*sin(t);Z=cos(r);

surf(X,Y,Z)

axisequal

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z')

title('椭球面')

得到图形见图4-13b.图4-13bMATLAB命令如下：t=0:0.1:2*pi;r=-3:0.1:3;[t,r]=meshgrid(t,r);x=r.*cos(t);y=r.*sin(t);z=r;mesh(x,y,z)holdonu=-pi:0.1:pi;v=-3:0.1:3;[u,v]=meshgrid(u,v);x1=1+cos(u);y1=sin(u);z1=v;mesh(x1,y1,z1)得到图形如图4-14.图4-14锥面和柱面的相交图形解MATLAB命令如下：r=-1/2:0.1:1