线性规划教案答案

直线定界，特殊点定域。不等式（组）表示的平面区域：直线定界，特殊点定域。1、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．=1\*GB3①若，，则点在直线的上方．=2\*GB3②若，，则点在直线的下方．2、在平面直角坐标系中，已知直线．（一）由B确定：=1\*GB3①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．=2\*GB3②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：①若是“>”号，则所表示的区域为直线l:的右边部分。②若是“<”号，则所表示的区域为直线l:的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线②定测：由上面（一）（二）来确定③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例1：求不等式组表示的平面区域的面积。解析：不等式组表示的平面区域如图所示，其区域面积就是的面积。【法1】（特殊三角形）显然为等腰直角三角形，，，易得B点坐标为，C点坐标为，则∴。【法2】（面积公式）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，则由点到直线的距离公式得高∴。【法3】（向量法）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，则，对比三种解法的思路∴。对比三种解法的思路故不等式组表示的平面区域的面积等于36。练习1：若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则值是()A、eq\f(7,3)B、eq\f(3,7)C、eq\f(4,3)D、eq\f(3,4)解析：不等式组表示的平面区域是及其内部（如图），其顶点分别为、、∵直线必过定点，∴只有直线过的中点时，直线才能平分平面区域则，即。故选（A）【思考】若将“直线”改为“直线”，则值又是多少？若将“直线”改为“直线”，则值又是多少？二、求目标函数的最值：在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：（1）根据约束条件作出可行域；（2）将目标函数变形为将求的最值问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题；（3）画出直线并平行移动，一般地，平移过程中最先或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，求出目标函数的最值.注意：最优解一般在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚。一画二移三求1.基本类型：一画二移三求（1）截距型例1．图中阴影部分的点满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5,2x＋y≤6,x≥0,y≥0))，在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是()A．(1,4)B．(0,5)C．(5,0)D．(3,0)例2：若实数满足，则的最小值是（）A、0B、1C、D、9解析：画出可行域(如图)，即所围区域(包括边界)，令，得，作直线，沿轴上下平移，且截距随的增大而增大，截距型∴当直线过点时最小，此时取得最小值0。截距型∵单调递增，∴的最小值为。故选（B）。练习1已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－3y≤－4，,3x＋5y≤30.))求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值．【分析】在平行直线系中先作过原点的直线，再将直线平移到可行域中．【解】(1)作出不等式组的可行域，如图作直线l：2x＋y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的A点时，z有最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＝－4，,3x＋5y＝30，))得B(5,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－3y＝－4，))得A(1，eq\f(5,3))．∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋eq\f(5,3)＝eq\f(11,3).【点评】求目标函数的最值，必须准确作出可行域，再作出目标函数对应的直线，根据题意，确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．练习2在所给的约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15,x－y＋1≥0,x－5y－3≤0))下分别求下列目标函数的最大值和最小值．(1)z＝3x＋5y；(2)z＝3x－5y.解：不等式组表示的平面区域如图所示．(1)作直线l1：3x＋5y＝0，平移直线l1，当直线经过点A(eq\f(3,2)，eq\f(5,2))时，3x＋5y有最大值，当直线经过点B(－2，－1)时，3x＋5y有最小值，即zmax＝17，zmin＝－11.(2)作直线l2：3x－5y＝0，平移直线l2，当直线经过点C(3,0)时，3x－5y有最大值，当直线经过点A(eq\f(3,2)，eq\f(5,2))时，3x－5y有最小值，即zmax＝9，zmin＝－8.一画二造三求（2）变异类型：距离型、斜率型一画二造三求方法总结：（1）对于形如型的目标函数均可化为求可行域内的点与间的距离的平方的最值问题（2）对于形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题转化为可行域内的点与连线斜率的倍的最值问题；点点距离型例3：设实数满足约束条件，求的取值范围。点点距离型解析：作可行域如图（包括边界），其中、、令为可行域内一动点、为定点，则∵，，注意垂足位置∴，注意垂足位置故的取值范围为；练习3.已知满足约束条件,则的最小值是（）A．B．C．D．练习3.已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0,x＋y－4≥0,2x－y－5≤0))，求：z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；【思路点拨】先画出可行域，再明确目标函数的几何意义，利用解析几何知识进行求解．【解析】作出可行域，如图，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到达点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故MN＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).MN2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2)，故z的最小值为eq\f(9,2).斜率型例4：已知不等式组，则的取值范围为。斜率型解析：作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、、∵，∴，令，为可行域内一动点、则，斜率型∵，∴，斜率型∴，即的取值范围为。练习4.已知x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0，))求：(1)x2＋y2的最大值和最小值；(2)eq\f(y＋8,x－5)的最大值和最小值．【分析】解答本题应找到x2＋y2与eq\f(y＋8,x－5)的几何意义，再利用解析几何知识求最值．【解】原不等式组表示的平面区域如图所示，其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)设u＝x2＋y2，则u就是点(x，y)与原点距离的平方，由图可知，B点到原点的距离最大．而当(x，y)在原点时，距离为0，所以umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0.(2)设k＝eq\f(y＋8,x－5)，则k就是点(x，y)与P(5，－8)连线的斜率，由图可知，AP连线斜率最小，BP连线斜率最大．所以kmin＝－9，kmax＝－eq\f(1,3).【点评】线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，比如直线的截距问题，两点间的距离问题，点到直线的距离，过两点的直线的斜率等，只有把握好这点才能准确求出．练习5.已知变量x、y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0,3x＋5y－25≤0，,x≥1))设z＝eq\f(y,x)，求z的最大值和最小值．解：可行域如图所示．z为可行域内的点与原点连线的斜率，∴z在A点取得最大值，在C点取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y－25＝0,x＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(22,5)))，∴A(1，eq\f(22,5))，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y－25＝0,x－4y＋3＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝2))，∴C(5,2)，∴zmax＝eq\f(22,5)，zmin＝eq\f(2,5).注意：线性规划求最值问题要充分理解目标函数的几何意义，比如直线的截距问题，两点间的距离问题，点到直线的距离，过两点的直线的斜率等，只有把握好这点才能准确求出．3）参变类型：例5：若实数满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是（）A、B、C、D、解析：作出线性约束条件的平面区域，如图所示．∵目标函数，即仅在点处取得最小值，∴其斜率应满足，即，故选（B）例6：当满足约束条件(为负常数)时，能使的最大值为12，试求的值。解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)当直线经过区域中的点时，取到最大值，令，得.∴所求实数的值为－9.练习6：已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x－y≤2，,0≤y≤3，))若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为________．解析：画出可行域，如图所示．由z＝y－ax得y＝ax＋z，则z为直线y＝ax＋z在y轴上的截距，由于函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，如图所示，直线y＝ax＋z过点P(5,3)，且直线y＝ax＋z的斜率a大于直线x－y＝2的斜率，所以a＞1.答案：(1，＋∞)练习7.已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x＋3y－3≥0,y－1≤0)).若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为________．【解析】由约束条件画出可行域如图所示．要使仅在点(3,0)处取最大值．即－a＜－eq\f(1,2)，所以a＞eq\f(1,2).练习8．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为()A.eq\f(25,6)B.eq\f(8,3)C.eq\f(11,3) D．4解析：选A.线性约束条件所表示的可行域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0,3x－y＋6＝0))，得M(4,6)，将z＝ax＋by化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)(－eq\f(a,b)＜0)，由图知当直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)过M(4,6)时eq\f(z,b)最大，即z最大，此时zmax＝12＝4a＋6b.∴eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(2,3)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(3,2)≥eq\f(13,6)＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝eq\f(25,6).当且仅当a＝b＝eq\f(6,5)时取“＝”．三、线性规划的实际应用：例7：某公司计划20XX年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得，即目标函数为，则作出可行域．如图所示作直线，