数学实验课件 第11章11.2

11.2拟合

测量数据的数据量较大或者测量值与真实值有误差，这时一般用曲线拟合的方法来解决问题.

已知离散点上的数据集

，即已知在点集

上的函数值

，构造一个解析函数f(x)（其图形为一曲线），使f(x)在原离散点xi上的值尽可能接近给定的yi值，这一构造函数f(x)的过程称为曲线拟合.最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数f(x)使得

最小.

在MATLAB中，利用polyfit和lsqcurvefit函数进行拟合.11.2.1多项式拟合polyfit函数调用格式如下：p=polyfit(x,y,n)其中x和y是节点数据向量，n是多项式的次数；p是返回的多项式p(x)=p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1系数向量，系数按降幂排列，p的长度为n+1.例11.8求如下给定数据的拟合曲线：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60].解MATLAB命令如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)%选取次数的时候，次数长度不得超过length(x)-1x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);%求以p为系数的多项式的值plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')计算结果为p=0.56140.82871.1560此结果表示拟合函数为：用此函数拟合数据的效果如图11-7所示.图11-7多项式拟合例11.9某乡镇企业2015-2021年的生产利润如表11-3.

试预测2022年的利润.

解作已知数据的散点图，>>x0=[2014201520162017201820192020];>>y0=[70122144152174196202];>>plot(x0,y0,'*')发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升（见图11-8）.因此，我们可以y=a1x+a0用作为拟合函数来预测该乡镇企业未来的利润.年份2015201620172018201920202021利润（万元）70122144152174196202表11-3生产利润

图11-8数据的散点图11.2.2非线性拟合

lsqcurvefit函数是MATLAB提供的用于求解非线性最小二乘拟合问题的专用函数，用作各种类型曲线的拟合，调用格式如下：

x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

其中，fun是非线性函数模型；x0是求解初始值；xdata和ydata是原始输入和输出数据向量；返回值x为拟合输出的未知参数.例11.10用最小二乘法求形如

的函数拟合下列数据.x0.10.20.150-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72表11-4拟合数据解先将参数，合写为，编写如下程序：fun=@(c,x)c(1)*exp(c(2)*x)x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)norm(feval(fun,c,x)-y)^2其中，[0,0]是初始值，最后一句是计算残差的平方和，也就是拟合函数在给定点的值和原始数据的差的平方和，运行结果为：Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.c=1.0997-1.4923ans=0.0031可得a=1.0997，b=-1.4923，拟合函数为

.ans=0.0031说明残差很小.例11.11我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表11-5，请预测2019年和2030年的全国人口数.表11-5各年份全国总人数（单位：千万）解因为Logistic人口模型的基本形式为其中t0=1954，N0=60.2.当t→+∞时，人口数量达到最大值Nm.首先定义函数文件：functionf=flsqcurvefit(x,t)f=x(1)./(1+(x(1)/60.2-1).*exp(-x(2).*(t-1954)));MATLAB程序如下：cleart0=1954:2005;y0=[60.261.562.864.666.067.266.265.967.369.170.472.5...74.576.3 78.580.783.0 85.287.1 89.2 90.992.4 93.7 95.0...96.259 97.598.705100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5...109.3 111.026 112.704114.333 115.823 117.171 118.517 119.850...121.121122.389123.626124.761125.786 126.743 127.627...128.453129.277129.988130.756];x=[0.03,250];a=lsqcurvefit('flsqcurvefit',x,t0,y0)plot(t0,y0,'o')holdonlt=1954:0.1:2040;ly=flsqcurvefit(a,lt);plot(lt,ly)t1=[2019,2030];y1=flsqcurvefit(a,t1)holdoff运行后可得：Localminimumpossible.lsqcurvefitstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance.<stoppingcriteriadetails>a=0.0336181.0280y1=147.6920156.6069得到图形如图11-9所示.

从图11-9可以看出，拟合效果较好，2019年全国总人数为147.6920千万人，接近实际人口数140.005千万人，并预计2030年全国总人数为156.6069千万人.图11-9人口增长预测图Matlab工具箱提供了命令cftool，该命令给出了一维数据拟合的交互式环境.具体执行