专题强化二：双曲线的几何性质与直线与双曲线位置关系题型归纳-高二数学精讲与精练高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第专题强化二：双曲线的几何性质与直线与双曲线位置关系题型归纳【题型归纳】题型一：双曲线的定义和焦点三角形1．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.【详解】如图所示：∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，∴，，∵是圆上一动点，∴，∴，∴，，，∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，∴点的轨迹方程为.故选：C.2．（2023·高二课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（

）A．19 B．25 C．37 D．85【答案】B【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.【详解】由题意，双曲线焦点坐标为，设，且，则，当且仅当即时等号成立，所以最小值为25，故选：B.3．（2023·高二课时练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知等式可得，不妨设，，则点在以为直径的圆上，利用定义结合勾股定理求出，代入面积公式计算即可．【详解】由，得，所以，可得，不妨设，，所以，所以点在以为直径的圆上，所以是以为直角顶点的直角三角形，故．又因为点在双曲线的右支上，所以，所以，解得，所以，故选：C．题型二：双曲线的标准方程4．（2023·高二课时练习）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，则为或的充分不必要条件，故选：B.5．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，求解即可【详解】由题意可知双曲线方程为且，解得，所以双曲线的标准方程为，故选：B6．（2023·高二课时练习）若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.【详解】将代入解得点坐标分别为，因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在轴上且，解得，所以双曲线方程为：.故选：B.题型三：双曲线的几何性质7．（2021秋·江苏淮安·高二统考期中）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为8B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为【答案】B【分析】根据双曲线的性质直接求解即可.【详解】由题得双曲线方程为，所以，所以实轴长为6，故A错误；双曲线的渐近线方程为，故B正确；双曲线的焦点到一条渐近线即的距离为，由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等，故C错误；双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误.故选:B.8．（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出作答.【详解】由椭圆得其半焦距为，依题意，，双曲线的渐近线方程为，于是，即，由，解得，所以双曲线C的方程为.故选：A9．（2023春·江苏南京·高二统考期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解.【详解】圆，圆心，半径，因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，所以，又双曲线，则，，右焦点为，所以，又，即，所以，当点在右顶点时取等号，即，所以的最小值为，故选：D.

题型四：双曲线的渐近线问题10．（2022秋·江苏宿迁·高二统考期中）若双曲线C：（，）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则a的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据已知求得圆的半径和，利用点到直线的距离，垂径定理，和椭圆中之间的关系，即可求得.【详解】由已知，所以圆心为，所以双曲线渐近线被截得弦长为所以圆心到渐近线的距离为，又因为，故所以故选：B11．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】设，分别求出和，即可求出.【详解】设.过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.由双曲线可得渐近线为.由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以.因为，所以，解得：.故选：B12．（2023·高二课时练习），分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，设，，，可判断为直角三角形，再结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，从而可求出渐近线方程.【详解】因为，所以可设，，，其中，所以，所以为直角三角形．又因为，，所以，所以，所以2a＝2k，所以k＝a，所以，，又因为，所以，所以，又，所以，所以，所以渐近线方程为．故选：B．题型五：双曲线的离心率问题13．（2022秋·江苏扬州·高二扬州市第一中学校考期中）已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】方法1：连接，由已知可得△为直角三角形，可用c的代数式表示三边，再代入即可得结果.方法2：过P作PE⊥x轴于点E，由已知可得点P的坐标，因为点P在双曲线上，所以点P的坐标适合双曲线的方程，代入可得关于a、c的齐次式方程，即可求得结果.【详解】方法1：连接，因为P在双曲线的右支上，则∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，∴，∴又∵，∴△为等边三角形，即：，∴∴在直角△中，，

则∴即：解得：方法2：过P作PE⊥x轴于点E，∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，∴，∴∴在直角△中，，则∵点P在双曲线上，∴即：∴即：∴令即：解得：即：∵∴故选：A.14．（2022秋·江苏扬州·高二统考期中）双曲线方程为为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点，满足，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义确定中的边长后应用余弦定理求得的关系，从而可得离心率．【详解】由题意，又，∴，中，由余弦定理得，，，所以，故选：C．15．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知双曲线:的左焦点为,过的直线与圆相切于点,与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出草图,由为中点,,故过做构造相似三角形,根据相切找到长度,根据相似找到的长度,进而找到的长度,根据双曲线定义找到长度,在直角三角形中,用勾股定理即可找到之间的关系,再根据,即可得到离心率.【详解】解:由题知,记右焦点为,过做如图所示,与圆相切,,为中点,,故相似于,且相似比为,即,,,在双曲线中,有,,为直角三角形,,即,化简可得:,上式两边同时平方,将代入可得,,即离心率为.故选:A题型六：双曲线和直线的位置关系16．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用离心率求出之间的关系，设出坐标代入双曲线方程，结合的范围即可求出的取值范围.【详解】由题意，在双曲线（，）中，离心率，∵，解得：，∴，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，设，∴，解得：，∵直线的斜率分别为，，且，∴，∴故选：B.

17．（2023·高二课时练习）已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代入求解即可.【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以，即．又双曲线与直线相切，由，化简得，所以，即，将代入方程化简得，即，，故，解得或（舍去）．故选：D．18．（2021春·江苏徐州·高二统考期末）已知双曲线的左、右顶点为、，焦点在轴上的椭圆以、为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出椭圆的方程，设点，可得出，由点在椭圆上，点在双曲线上，可得出关于、的方程组，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.【详解】设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，双曲线的左顶点为，右顶点为，由于椭圆以、为顶点，则，该椭圆的离心率为，所以，，解得，所以，椭圆的方程为，设点，由于，则为的中点，则点，由于点在椭圆上，点在双曲线上，所以，，解得，所以，.故选：A.题型七：双曲线的弦长问题19．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.20．（2020秋·江苏常州·高二江苏省前黄高级中学校考期末）设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为，表示右焦点的坐标，根据点到线的距离公式求出到渐近线的距离，根据利用勾股定理求得，利用，得到方程，求得，得解.【详解】解：为双曲线的一条渐近线，故设双曲线方程为则右焦点的坐标为因为在上，且则右焦点的坐标为到直线的距离故故选：【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题.21．（2021秋·江苏常州·高二统考期末）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为8，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的渐近线方程可得点，的坐标，再由三角形的面积公式推出，然后利用基本不等式，即可得解．【详解】解：双曲线的渐近线方程为，，，的面积为8，，即，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为．故选：．题型八：双曲线的中点弦问题22．（2023·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.23．（2021·江苏·高二期中）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设双曲线的方程为，，，，，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线的方程为，由题意可得，①设，，，，可得，，两式相减可得，由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为，则，②由①②解得，，所以双曲线的方程为．故选：A．24．（2021·高二课时练习）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用点差法得到得解【详解】设，则，相减得，，所以，即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．故选：C．题型九：双曲线的定点定值问题25．（2023秋·高二课时练习）如图所示，中心为原点的双曲线的一条渐近线为y＝x，焦点在x轴上，焦距为．(1)求此双曲线方程及其离心率；(2)过P(2,0)的直线l交双曲线于点M、N．Q(b,0)，若对于任意直线l，数量积是定值，求b的值．【答案】(1)，离心率(2)【分析】（1）根据渐近线及双曲线参数关系求参数，即可得方程；（2）讨论直线斜率是否为0，设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理及且为常数，利用恒等关系求参数b、C，即可确定结果.【详解】（1）设双曲线方程为，又一条渐近线为y＝x，故，由，故，结合，则，所以双曲线方程为，离心率.（2）当直线斜率不为0，设，联立双曲线并整理得，所以，，，则，，，且为常数，所以，则，整理得，则，解得.当直线斜率为0，则，此时，则上述结果也满足，综上，.26．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.【详解】（1）解：因为，所以，解得，设双曲线的半焦距为，因为离心率为，所以，解得，则，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：设，则，，直线的方程为，直线的方程为.联立方程消去并整理得显然，即所以，，联立方程消去并整理得，显然，即，，即当时，直线的方程为，将上面求得的的解析式代入得，整理得，所以直线过定点.27．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3.(1)求A的轨迹；(2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设，表示出直线与直线的斜率，由题可得A的轨迹；（2）设过定点的直线方程为，将其与联立，后由及韦达定理可得答案.【详解】（1）设，由题意，化简可得所以A的轨迹为.（2）由题设过定点的直线方程为，将其与联立有：，消去y得：因交于、两点，则.设，则由韦达定理有：.又，则，，则.又，，解得，则的方程为：或.题型十：双曲线的定值线和向量问题28．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，即，即，解得，，因此；（2）设，联立双曲线方程，得：，当时，，，当时，设，因为直线与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，，而，代入，，，分离参数得，，因为，当时，由，，所以，综上可知，的取值范围为.29．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.30．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.【答案】(1)(2)证明见详解.【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）如图：

因为双曲线的实轴长为，所以，即.又因为C的一条渐近线斜率为，所以，所以，故双曲线.则其右焦点坐标为，因为直线l过C的右焦点，且斜率为，所以直线l的方程为：，设，.联立得：，所以由韦达定理得：，.所以，点到直线l的距离为：.所以.（2）证明：如图

设直线PQ的方程为：，设，.联立得：.，即所以：，.而，则，.因为，所以整理的：，所以，所以：，所以，整理得：，代入韦达定理得：，所以，整理得：，即，则或.当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点；当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点.即为，因为P，Q为双曲线C上异于点的两动点，所以不符合题意.故直线PQ过的定点为.【专题训练】一、单选题31．（2023秋·江苏连云港·高二）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】依题，，则，根据双曲线的定义，又，得，所以，所以其渐近线方程为.故选：C32．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过作与,

设，则，，∴，，，由题意知，∴在中，，，∴，在中,,即解得.双曲线的离心率为.故选：A.33．（2023秋·江苏南通·高二校联考阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解．【详解】圆，所以圆心，半径为1．设,，在双曲线右支上一个动点，且，所以,对称轴为,开口向上，因为，所以当时，取最小值为．故选：D．34．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】联立解得A、B纵坐标，再由对称关系得AB长，后余弦定理计算即可.【详解】联立圆O与双曲线C方程得，又由圆与双曲线的对称性可得，设圆的半径为，则，因为圆心为，则，在中，由余弦定理得，因为双曲线斜率大于1，所有化简得，故选：D35．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知点F为双曲线的右焦点，A，B两点在双曲线上，且关于原点对称，M、N分别为的中点，当时，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】记双曲线的左焦点为，由此可得四边形为平行四边形，由条件证明四边形为矩形，由此可得四边形为矩形，再求，结合双曲线定义求离心率.【详解】记双曲线的左焦点为，因为，，所以四边形为平行四边形，因为M、N分别为的中点，点为线段的中点，所以，又，所以四边形为矩形，故，所以四边形为矩形，故为直角三角形，斜边为，所以，因为直线AB的斜率为，所以，所以，，由双曲线定义可得，所以曲线的离心率.故选：C.

36．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D37．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设O为的中点，设，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】如图，不妨设M在第一象限，设Q为的中点，因为O为的中点，故,设，，在双曲线上，则，两式相减可得，即，而,故，即；又因为，则，故，即,即，即，所以，又，则，即，故，所以，而,故，故，则双曲线C的离心率为，根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得，当M在双曲线的顶点时，由于，此时与双曲线相切，不合题意，故双曲线C的离心率为故选：C【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，实际上就是求之间的关系，因而本题解答的方法是利用“点差”的方法，表示出，继而利用条件再表示出，从而求得，由此由可得之间的关系，即可求得答案.二、多选题38．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则C．若是双曲线C的一个焦点，则D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2【答案】BC【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m判断B.【详解】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；由渐近线为，若相互垂直，则，B对；由为焦点，则，则，C对；若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.故选：BC39．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知双曲线，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（

）A．双曲线C的实轴长为6B．双曲线C的离心率C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为、，则D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则【答案】BC【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，所以双曲线的实轴长为，故A错误；，所以，故B正确；设，则，，故C正确；设、，则，两式作差得，所以，，故D错误.故选：BC.40．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（

）A．离心率为 B．渐近线方程为C．虚轴长为4 D．若，则【答案】BCD【分析】根据双曲线的定义及基本概念求解即可.【详解】对于A，已知双曲线，则，A选项错误；对于B，，所以渐近线方程为，B选项正确；对于C，虚轴长，C选项正确；对于D，由定义可知，若，则或（舍），D选项正确；故选：BCD.41．（2023秋·江苏·高二统考期末）已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线为C．若双曲线的顶点为，则D．直线与有两个公共点【答案】AC【分析】根据题意解得双曲线方程为，即可判断ABC，联立方程，消去得，由即可判断D.【详解】由题知，双曲线，焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，因为圆，所以圆心为，半径为，因为双曲线经过点，并且它的一条渐近线记为被圆所截得的弦长为，所以圆心到的距离为，所以，解得，即，所以，所以，解得，所以，即双曲线方程为，所以双曲线的离心率为，双曲线的渐近线为，故A正确，B错误；因为双曲线的顶点为，所以，故C正确；联立方程，消去得，因为，所以直线与有1个公共点，故D错误；故选：AC三、填空题42．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程进行求解.【详解】如图所示：

设双曲线的一条渐近线方程为，因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，因为，所以，解得：.故答案为：.43．（2023春·江苏盐城·高二校考开学考试）已知，是双曲线C：的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M，则的面积为．【答案】【分析】根据题意求出圆方程和渐近线方程，联立求出点的坐标，进而可求面积.【详解】由题可知，所以线段为直径的圆方程为，渐近线为，联立得，因为在第一象限，所以，所以，故答案为:.44．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为.【答案】【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.【详解】解：如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，，所以双曲线的方程为：，所以，，，由双曲线定义得，所以，当三点共线时，最小为故.故答案为：.45．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线分别与的左、右两支交于点，．若，，则的最小值为．【答案】3【分析】由双曲线的定义知，利用余弦定理得，求出，根据及，代入化简利用基本不等式求最小值即可.【详解】如图所示：由双曲线定义可知：，在中，由余弦定理得：，解得，所以，解得，又，故，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：3四、解答题46．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．(1)求的值；(2)若点在上，且，求的面积．【答案】(1)1；(2)3.【分析】（1）根据曲线方程判断，根据共焦点列出方程，求解即可；（2）根据双曲线定义，结合三角形形状，列方程求解即可.【详解】（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，故，即，，解得或，又，故；（2）由（1）可得双曲线方程为：，设其左右焦点分别为，故可得；根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，设，由双曲线定义可得：，即；又三角形为直角三角形，则，即，即，；故△的面积.47．（2023秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知双曲线C:的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆O:上，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点）的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设双曲线C的半焦距为c，通过点在圆上易得的值，通过，求解的值，进而得到双曲线的标准方程；（2）直线与轴相交于点，当动直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线，由直线与双曲线的位置关系得，联立方程求解M，N纵坐标，求解面积即可.【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c，由点在圆O:上，得a=1，由，得，所以==3，所以双曲线C的标准方程为.（2）设直线与轴相交于点，双曲线C的渐近线方程为当直线的斜率在存在时，直线为1，|，得|MN||OD|1当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则把直线的方程与方程C:联立得3=0由直线与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且，于是得，得，设，由，得，同理得，所以=|==综上，△OMN的面积为.