强化训练二：导数应用的经典题型归纳（单调性、不等式、零点、恒成立） -高二数学精讲与精练高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页强化训练二：导数应用的经典题型归纳（单调性、不等式、零点、恒成立）【题型归纳】题型一、利用导数研究函数的单调性问题1．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】函数定义域为，且，依题意在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数在上单调递减，且当时，所以，即实数的取值范围是.故选：D2．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；(2)函数求导，对分类讨论，进而求得单调性.【详解】（1）当时，，，所以，曲线在处的切线方程为.（2），①当时，，所以函数在上单调递增；②当时，令，则(舍)或，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.③当时，令，则或(舍)，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减

当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增3．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；（2）已知函数.讨论的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【分析】（1）求导后利用分离参数法即可求出的取值范围；（2）对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性.【详解】（1）由题意，，在中，，函数在区间内是减函数,∴当时,恒成立,即当时,恒成立,故当时,恒成立，设，根据对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，且，，则，∴当时,，解得：.∴的取值范围是.（2）由题意，在中，当时,则,在上单调递减.当时,由，解得.当时,；当时,.∴在上单调递减,在上单调递增，综上，当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题4．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导得，由条件可得，求得，然后代入检验即可；（2）根据题意，由条件可得在上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）因为函数，定义域为，且，由函数在处取得极值，可得，所以，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值，综上所述，.（2）函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，当时，，所以在单调递减，则，所以，则实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.5．（2022上·陕西延安·高二校考期末）已知函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最值．【答案】(1)(2)最小值为；最大值1【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最值．【详解】（1）函数，又函数在处取得极值，所以有；所以实数的值为1.（2）由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，，，故函数的最小值为；最大值1.6．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数，(1)讨论的单调性：(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，进行求解；（2）参变分离，得到在上恒成立，令，，求导后再对导函数的分子求导，从而判断出的单调性，得到的最大值，从而得到实数a的取值范围.【详解】（1）定义域为，又，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由题意得，，变形得到在上恒成立，令，，则，令，则在上恒成立，故在单调递减，又，故当时，，则，在上单调递增，当时，，则，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，且，所以，故实数a的取值范围是题型三、利用导数研究恒成立问题7．（2021下·湖北·高三校联考阶段练习）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把不等式进行同构变形：，引入函数，由导数确定单调性，不等式化为，分离参数为，再引诱函数，由导数求出其最大值后可得结论．【详解】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，故选：B．【点睛】方法点睛：有些函数不等式是混合不等式，如不等式中既有自然对数，又有以为底的指数时，我们可以把不等式变形为形式，利用的单调性化简不等式为（或），这类方法称为同构，函数可称为母函数，如，，等等，注意掌握常见的指对同构关系：，，．8．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解.【详解】，则，令，解得或；令，解得，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，且，故，任意的，都有成立，则，因为，则，当时，在单调递增，所以，故，即(舍去)；当时，令，解得；令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：A【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③分类讨论参数.9．（2022上·云南曲靖·高二校考期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得出切线方程；（2）将不等式转化为即可，构造函数，利用单调性求出其最值，即可求得的取值范围为.【详解】（1）易知函数的定义域为则可得切线斜率所以曲线在点处的切线方程为；（2）易知，由，得令，则由得，由得所以在上单调递增，在单调递减，且函数定义域内只有一个极值点即在处取得极大值，也是最大值，即依题意可得即可，所以；所以的取值范围为.题型四：利用导数研究能成立问题10．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得.【详解】依题意，，令，即，由，得，令，则原问题等价于存在，使得成立，求导得，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，又，则当时，，若存在，使得成立，只需且，解得且，即，所以的取值范围为.故选：D【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.11．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案.【详解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以.故选：C.12．（2023上·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知函数．(1)求函数的极值；(2)证明：当时，，使得．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.【详解】（1）易知，,当时，，函数在上单调递减；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，，使得．题型五：利用导数研究零点问题13．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）设函数，，函数有两个零点的m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对求导，得到的解析式，令，分参得到，转化为函数与的图象有两个交点，求m范围.【详解】因为，所以，，所以，因为有两个零点，所以有两个大于0的根，化简得：，令函数，，所以，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为，，所以函数与的图象有两个交点，所以.故选：B.14．（2023下·安徽池州·高二校联考期中）已知函数，若关于的方程恰好有6个不同实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，令可得，再求导分和两种情况，数形结合分析极值满足的区间范围，进而列式求解即可.【详解】设，则时，，解得，要满足题意则，且方程分别应有3个不同实根.又，①当时，单调递增，方程不可能有3个不同实根；②当时，可得在上单调递增，上单调递减，则.要使原方程有6个不同实根，则；（ⅰ）当时，因，故只需，解得满足；（ⅱ）当时，只需，设，原不等式等价为，即，即.综上得满足条件的的取值范围是.故选：D.15．（2022上·陕西安康·高二校考期末）设函数，(1)讨论的单调性(2)当时，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）由解析式求出定义域和，化简后对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出的范围，对进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出和、判断出符号，即可证明结论．【详解】（1）由得，函数的定义域是，；①当时，，所以在上单调递增，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，由得或（舍去），当时，，当时，令，所以的递减区间是，递增区间是综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的递减区间是，递增区间是；（2）证明：由（1）知，当时，在上的最小值为．因为存在零点，所以，解得．当时，在上递减，且，所以是在,上的唯一零点．当时，在上单调递减，且，，所以在区间,上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在,仅有一个零点.题型六：利用导数研究方程的根问题16．（2021·陕西宝鸡·校考二模）已知是方程的一个根，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】化简方程，利用构造函数法，结合导数求得，由此求得的值.【详解】依题意，，由，得，，设单调递增，由得，即，即，所以，所以.故选：B17．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．|【答案】B【分析】根据题意将问题转化为函数的图象与直线有3个不同的交点，然后对求导，求出单调区间和极值，画出图象可得答案.【详解】因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以函数的图象与直线有3个不同的交点，由，得，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极小值，函数图象如图所示

由图象可知当时，两图象有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是，故选：B18．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.【详解】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.题型七：利用导数研究函数性质和图像问题19．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.【详解】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.

20．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用导数研究单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.【详解】因为当时，，则，，，所以在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，则在上单调递增，，当时，，综上，的图象如图所示，

因为，所以或，又因为恰有4个不等的实根，且，所以恰有3个不等的实根，即恰有3个不同的交点，所以由图象可知，.故选：A.21．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；当时，，则，所以，所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.题型八：利用导数研究双变量问题22．（2023下·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数，若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.【详解】，则，令，当时，单调递减，当时，单调递增，在上，且，，，即.综上，的图象如下：结合，，令，如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；又，故，则不一定成立，B错误；令，则，当时，，得，则；当时，，得，则，所以函数在R上单调递增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函数在单调递减，得，即，D正确.又，则，即，故，C错误.故选：D.23．（2021下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知函数有两个零点，，则下列说法：①函数有极大值点，且；②；③；④若对任意符合条件的实数，曲线与曲线最多只有一个公共点，则实数的最大值为.其中正确说法的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】分类讨论的单调性，即可得，，的范围，根据，得到和之间关系，构造，，可知单调递减，由此得到，即可判断①；对进行变形化简，即可判断②；根据①中，，的范围，即可判断③；构造，当时，可知单调递减，则方程最多有一个根，当时，有两根，由时，，只需考虑极小值，根据单调性求得极小值，进而求极小值的范围，即可求得的范围，即可判断④.【详解】解：因为，所以，当时，，在上单调递增，则最多有一个零点，故不符合题意，舍；当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，取得极大值点，即，因为有两个零点，，所以，且有，解得，设，，所以.由，所以，由，当，所以，，所以，故单调递减，所以在时，，因为，所以，即，因为，，在单调递减，所以，即，故①正确；由有两个零点，且，所以，故，所以，故②正确；由①知，，所以，故③正确；因为曲线与曲线最多只有一个公共点，所以在时最多只有一根.令，则，令，即时，，单调递减，此时方程最多有一个根，当时，，所以有两根，令，则，，由韦达定理，可知，故，所以在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，当时，，所以只需考虑极小值即可，根据单调性，可知为极小值点，即，即，即，所以，由，令，则，当时，，单调递减，所以，所以，即实数的最大值为，故④正确.故选：D．24．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可知函数为上的增函数，即对任意的，，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】不妨设，由可得出，即，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，则，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，则，令，其中，则，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，所以，，可得，且当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，.故选：A.题型九：利用导数研究实际问题25．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知一长方体纸箱（有盖），底面为边长为的正方形，高为，表面积为12，当该纸箱的体积最大时，其底面边长为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据长方体的表面积列方程，由此化简长方体的体积，利用导数求得体积最大时对应的底面边长.【详解】依题意，，由解得，所以长方体的体积，，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减.所以当时，长方体的体积取得最大值.故选：B26．（2023下·四川绵阳·高二统考期中）当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（

）A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套【答案】B【分析】根据题意确定的值，然后求出该网校每日销售套题所获得的利润的解析式，利用导数求解最大值即可.【详解】因为当时，，所以，解得.每日的销售量，所以该网校每日销售套题所获得的利润为，从而，令，得.在区间上，单调递增；在区间上，单调递减；在区间上，单调递增，而，因为，所以当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大.故选：B.27．（2023下·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校联考期末）已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设底面三角形的边长为a，在中，利用勾股定理得到h和a的关系，得到三棱锥的体积，再利用导数法求解最值.【详解】解：因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，如图所示：

设底面三角形的边长为a，且为等边三角形的中心，则，在中，，解得，所以，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值为，故选：A.题型十、利用导数研究不等式问题28．（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数，函数的单调递减区间为，且函数的极小值为0．(1)求函数的解析式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出导数，由题意可得和1是方程的两根，将和1代入即可求解；（2）构造新函数，将原不等式转化为函数最小值大于零，求导，通过单调性求新函数的最小值.【详解】（1）定义域：，的减区间上为减函数，是方程的两根，，所以，令可求单调递增区间为和，令可求单调递减区间为，又的极小值为，.（2）令，显然，是的一个根，下面我们讨论方程是否有其他根，令，的范围的符号0单调性极小值方程有且只有一个根，的减区间为，增区间为，，.29．（2023下·福建·高二校联考期中）已知函数在时取得极小值为(1)求的值；(2)令，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用极值点和极值列方程组求解即可；（2）研究的极小值点需要满足的关系，将的极小值用含有的式子表达后进行求解.【详解】（1），由得，解得，经检验知：当时在时取得极小值为，；（2）由（1）知，则，，记，由得，在单调递减，在上单调递增，又，所以在上有唯一零点，即存在唯一使得，且时，即在单调递减；时即在上单调递增，所以极小值为：，又由得，所以，又在单调递减，所以，即，所以.30．（2019下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)令，若正实数满足，求证：.【答案】(1)函数的单调递增区间为；单调递减区间为.(2)证明见解析.【分析】（1）先根据函数的解析式写出定义域和；再根据导函数的正负号确定函数的单调区间即可.（2）先写出的解析式，由得到；再利用换元法、构造函数，并求出的值域；最后建立关于的不等式求解即可.【详解】（1）由可得：函数定义域为，.令，得；令，得，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）由题意得.，整理得：，即..令（是正实数），则.令，得；令，得，函数的单调递增区间为；单调递减区间为.，即函数的值域为.，,因为是正实数，所以.【专题强化】一、单选题31．（2023下·四川眉山·高二校考阶段练习）已知向量，，若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的数量积公式，利用函数的单调性的导数符号的关系，进而将问题转化为恒成立问题，利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】因为，，所以.，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，令，，则由在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，，即，所以的取值范围是.故选：A.32．（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以在上有解，且，所以，，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，且，所以当时，由最大值，即.故选：D33．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州第一中学校校考阶段练习）已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，得出函数的单调性与极值，结合有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．【详解】由函数，可得，令，解得或，令，解得或；令，解得，则在和上单调递增，在上单调递减，又由，，要使有3个不同的零点，则，解得，所以实数的取值范围是．故选：D．34．（2023下·四川广元·高二广元中学校考期中）已知函数，对于任意，，，有，则实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得对于任意，，，有，令，则对于任意，，，有在上单调递增，即对于任意，，进而可得答案．【详解】因为对于任意，，，有，所以对于任意，，，有，令，对于任意，，，有在上单调递增，所以对于任意，，，令，当，即时，，所以要使得在上恒成立，需要，即，，无解，当，即时，，所以要使得在上恒成立，需要，即，化简得，解得，又a>1综上所述，实数的取值范围为．故选：A【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可先化简要研究的不等式，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的范围，由此来求得结果.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.35．（2023下·河南许昌·高二校考期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为，所以①，令，则，设，所以，当时，，当x>1时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以在单调递增，因为①式可化为，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，故选：C.36．（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合的图象，通过求切线方程的方法来求得的取值范围.【详解】画出的图象如下图所示，（1）设直线与的图象相切于点，如图，当时，由解得，即，即切点，则，切线方程为.（2）设直线与的图象相切于点，如图，当时，由解得，即，即切点，则，切线方程为.综上所述，结合图象可知的取值范围是.故选：D

【点睛】方法点睛：利用导数求解曲线的切线方程，情况有两种，一种是已知切点的，另一种是已知斜率的，不管是哪种情况，关键点都是两个，一个是切点，一个是斜率，切点既在切线上，也在曲线上，斜率可由切线方程得到，也可以由导数得到.37．（2023下·上海浦东新·高二校考期中）关于函数，下列判断正确的是（

）①是的极大值点；②函数有且只有1个零点；③存在正实数k，使得成立；④对任意两个正实数，且，若，则．A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】对于①：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于③：整理得，构建，利用导数分析其单调性，进而可得结果；对于④：分析可得原题意等价于即证，令，利用导数判断其单调性，进而分析判断.【详解】对于①：由题意可得：函数的定义域为，且，当时，0；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故①错误；对于②：令，则函数的定义域为，且恒成立，可知在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，故②正确；对于③：若，整理得，令，则，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，即，所以在上单调递减，且当趋近于时，趋近于，所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误；对于④：由①可知：若，则，要证，即证，且在上单调递增，即证，又因为，所以证，即证.令，则，所以在上单调递减，所以，所以，④正确；故选：B.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．38．（2023下·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知函数，若，且，则·c的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出函数的图象，结合图象得到且，进而求得的取值范围.【详解】由函数，当时，可得，可得，所以在上单调递减，且；当时，可得，可得，所以在上单调递增，且；当时，在单调递减，且，画出函数的图象，如图所示：若，且，则且，所以.故选：B.

二、多选题39．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）对于函数，下列说法正确的有（）A．的单调递增区间为 B．在处取得最大值C．有两个不同零点 D．【答案】BD【分析】利用导数求得的单调区间、最值、零点以及比较函数值的大小.【详解】的定义域是，，所以在上单调递增，在上单调递减，A选项错误，在处取得最大值，B选项正确，在上单调递增，当时，，所以没有两个零点，C选项错误，在上单调递减，所以，，，所以，所以，，所以，所以，所以D选项正确.故选：BD40．（2023下·河南郑州·高二校考阶段练习）对于函数的描述，下列说法不正确的是（

）A．函数存在唯一的零点 B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递增 D．函数的值域为R【答案】ABD【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数的零点及单调性即可判断选项A，B，C选项，利用最值以及函数值即可判断选项D．【详解】对于A，由题意函数，定义域为，无解,A错误；又，当或时，，故函数在和上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，B错误，C正确；当时，，又,，当时，，所以，故函数的值域不为R，故D错误.故选：ABD．41．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数有极小值B．函数在处切线的斜率为4C．当时，恰有三个实根D．若时，，则的最小值为2【答案】AD【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B.【详解】由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：

对于选项A：可知的极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.42．（2023下·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）在函数的图象上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】根据题意，转化为函数与函数有两个不同交点，转化为有两个实数解，设，求得，得到函数的单调性与最值，根据函数图象，求得的范围，结合选项，即可求解.【详解】由函数关于对称的函数为，要使得函数的图象上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图象上，可转化为函数与函数有两个不同交点，当时，两函数只有一个交点，不合题意；当时，由方程有个实数解，即有两个实数解，设函数，可得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，可得，且时，，时，，结合图象，可得，结合选项，可得可以是或.故选：BC.

43．（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数x，都有，且满足，则（

）A．函数为偶函数B．C．D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】令，结合已知及函数奇偶性的定义即可判断A；由已知可得的解析式即可判断B，C；将不等式进行转化，即可求解不等式的解集，从而判断D．【详解】，函数定义域为R，由，有，即，函数为偶函数，故选项A正确；由，得，即，，有，得，，得，，故选项B正确；C选项错误；，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递递减，且当时，，又，则不等式即为且，所以，即的解集为，故D正确．故选：ABD.三、填空题44．（2023上·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】利用奇偶性及单调性去函数符号解一元二次不等式即可.【详解】易知，且，即为奇函数，又，当且仅当时取得等号，故为增函数，对于，所以，故答案为：.45．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数的导数为，若，，则不等式的解集为.【答案】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，讨论出函数的单调性，即可求解．【详解】不等式变形为，设函数，则，因为，所以在上恒成立，则在上单调递增，又，则，所以不等式即为，由在上单调递增，可得，即不等式的解集为．故答案为：．【点睛】方法点睛：利用导数解不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．46．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】因为，，结合的单调性分析可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，利用切线法结合图象分析求解.【详解】因为，，且在上单调递增，可知在上单调递增，由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，又因为，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，若切线过原点，则，解得，结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则，所以实数的取值范围是.故答案为：.

47．（2023上·河北·高三统考阶段练习）在同一直角坐标系中，分别是函数和图象上的动点，若对于任意.都有恒成立.则实数的最大值为.【答案】【分析】根据题意分析可得，整理得，分析可知值域为，构建，，利用导数判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.【详解】因为图象即为直线，则到直线的距离，可知：，又因为，由，可知在上单调递增，则在上单调递增，且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，所以值域为，构建，，则，令，解得；令，解得；可得在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，也是最小值，即，可知，可得，所以实数的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解.四、解答题48．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若对任意的恒成立，求整数的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，对求导，比较与的大小，即可得出的单调性，进而求出函数的最小值；（2）由可得，令，分类讨论和，结合恒成立可得答案.【详解】（1）当时，，，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）由可得：，即，记，，若，即，，则在上单调递增，又时，，不合题意；若，即，令，则，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，，令，，则令，解得：，令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，且，故整数的最大值为.49．（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知函数，曲线在处的切线方程为．(1)求的值；(2)求函数的定义域及单调区间；(3)求函数的零点的个数．【答案】(1)(2)；递增区间为，单调递减区间为,；(3)1【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应的等式，即可求得答案；（2）根据函数解析式可求得其定义域；结合（1）的结果，可得函数的导数的表达式，判断导数的正负，即可求得单调区间；（3）结合（2）的结论以及零点存在定理，即可判断函数零点个数.，【详解】（1）由函数可知其定义域为，则，故，，因为曲线在处的切线方程为，故，，解得；（2）由（1）可知，需满足，则其定义域为；而，由于，令，解得，令，解得且，即的递增区间为，单调递减区间为,；（3）由（2）可知时，取得极大值，当且x无限趋近于0时，的值趋向于负无穷大，即在区间内无零点；当且x无限趋近于0时，的值趋向于正无穷大，当且x无限趋近于1时，的值趋向于负无穷大，由此可作出函数的图象：

结合，，可知在内的零点个数为1.【点睛】难点点睛：解答本题的难点是判断函数的零点个数时，要结合函数的单调性以及零点存在定理去判断，特别是特殊值的选取以及正负判断，计算比较复杂.50．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数．(1)求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．【答案】(1)当时，在处取极大值(2)【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结