圆的一般方程课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程圆的方程一般代数形式是什么特点呢展开得任何一个圆的方程都是二元二次方程-a-br2-2ax-2by+a2+b2-r2=0思考结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：探究：是不是任何一个形如

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？配方得不一定是圆以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆配方得不是圆思考（1）当时，表示圆，（2）当时，表示点（3）当时，不表示任何图形圆心·

圆的一般方程:

说明：思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？标准方程易于看出圆心与半径.一般方程突出形式上的特点.

探究新知

例1

若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.类型一圆的一般方程的理解解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解答反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.P88页

练习1，2题

习题2.41题跟踪训练1

(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，

则圆心坐标为___________，半径为___.解析答案解析

由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋

＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合题意.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(－2，－4)5(2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为____.解析答案9π由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴该圆的面积为9π.例4

求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.典型例题反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.P88页

习题2.43，4，6题解答跟踪训练2

已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为

求圆的方程.解1：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入此式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③

∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.

④故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.解答跟踪训练2

已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为

求圆的方程.解：(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.例5.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.相关点法.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)【分析】点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程.

变式已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.轨迹.

.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.P88页7题：等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解答解设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一条直径的两个端点.故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1)，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，

为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点.特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.求轨迹方程的常用方法：直接法:根据题目条件，建立标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.求轨迹方程的常用方法：定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.P88页8题：长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的