江西省九江市都昌县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(

)A.∠BAC=∠BAD

B.AC=AD或BC=BD

C.AC=AD且BC=BD

D.以上都不正确

3.不等式组x-1>1x+8<4x-1的解集是(

)A.x>3 B.x<3 C.x<2 D.x>24.如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为(

)A.28 B.18 C.10 D.75.如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，若BC的长为15cm，那么AA'的长为(

)A.103cm

B.153cm6.如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面有四个结论：①a<0；

②b<0；

③当x>0时，y1>0；④当x<-2A.①② B.②③ C.①③ D.①④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.已知点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b)，则a-b=______．8.m的6倍与4的差大于12，列不等式为______．9.以如图(1)(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图(2)的有______(只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分)．

①只要向右平移1个单位；

②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；

③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；

④绕着OB的中点旋转180°即可．10.如图，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12.则∠ACD=______度．

11.定义：对于任意实数a，符号a：表示不大于a的最大整数，例如5.8：=5，7：=7，-1.4：=-2.根据此定义，如果a：12.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题6.0分)

解不等式：x+52-1<3x+214.(本小题6.0分)

求不等式组x2-x15.(本小题6.0分)

如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．

(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；

(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．16.(本小题6.0分)

如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．

17.(本小题6.0分)

如图，△ABD中∠BAD=90°，将△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，∠E=20°，求∠BAC的度数．18.(本小题8.0分)

一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，错一题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于70分？19.(本小题8.0分)

不等式组x+5<5x+1x-m>1的解集是x>1，求m的取值范围．20.(本小题8.0分)

如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

(1)求证：△ADC≌△BEA；

(2)求∠PBQ的度数．21.(本小题9.0分)

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．

(1)求BC边的长；

(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．

22.(本小题9.0分)

为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．

(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？

(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？

(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？23.(本小题12.0分)

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

答案和解析1.答案：A

解析：解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：A．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

2.答案：B

解析：解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．

很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，

还需补充一对直角边相等，

即AC=AD或BC=BD，

故选：B．

根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．

此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：x-1>1 ①x+8<4x-1 ②，

解①得：x>2，

解②得：x>3，

则不等式的解集是：x>3．

故选：A．

首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4.答案：D

解析：解：∵DE是BC的中垂线，

∴BE=EC，

则AB=EB+AE=CE+EA，

又∵△ACE的周长为11，

故AB=11-4=7，

直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．

故选：D．

利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)有关知识．难度简单．

5.答案：C

解析：解：连接AA'．

∵△A'B'C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，

∴BC=B'C，AC=A'C；

又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，

∴从图中知，∠BAC=30°，

∴AC=2BC，AB=3BC；

而BC=15cm；

∴在Rt△ABA'中，

AB=153cm，A'B=BC+CA'=BC+AC=45cm，

∴AA'=AB2+BA'2=303cm．

故选：C．

连接AA'.构建Rt△ABA'；由旋转的性质可以推知BC=B'C，AC=A'C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得6.答案：D

解析：分析：

此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．

根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．

解答：

解：因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确；

一次函数y2=12x+b经过一、二、三象限，所以b>0，②错误；

由图象可得：当x>0时，y1<0，③错误；

当x<-2时，7.答案：5

解析：解：点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b)，

则a=2，b=-3，

a-b=5，

故答案为：5．

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

8.答案：6m-4>12

解析：解：根据题意得：6m-4>12．

故答案为：6m-4>12．

根据“m的6倍与4的差大于12”，即可列出关于m的一元一次不等式，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

9.答案：②③④

解析：解：由图可知，图(1)先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，

或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，

或绕着OB的中点旋转180°即可得到图(2)．

故答案为：②③④．

根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．

本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．

10.答案：45

解析：解：∵∠A=90°，AC=AB=8，

∴BC=82+82=82，

∵CD=4，BD=12，

∴CD2+BC2=16+128=144=BD2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠DCB=90°，

∵AC=AB，∠A=90°，

11.答案：4≤a<5

解析：解：∵a：=4，

∴4≤a<5，

故答案为：4≤a<5．

根据新定义的信息进行解答即可．

12.答案：52或4解析：分析：

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．

分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=2AE=52即可；

②当P1E=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；

③当P2A=P2E时，底边AE=5；即可得出结论．

解答：

解：如图所示：

①当AP=AE=5时，

∵∠BAD=90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴底边PE=2AE=52；

②当P1E=AE=5时，

∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，

∴P1B=P1E2-BE13.答案：解：去分母，得x+5-2<3x+2，

移项，得x-3x<2+2-5，

合并同类项，得-2x<-1，

化系数为1，得x>12．

表示在数轴上为：

解析：先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1进行计算．

本题考查了不等式的性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

14.答案：解：x2-x3>-1①2(x-3)-3(x-2)>-4②，

∵解不等式①得：x>-6，

解不等式②得：x<4，

∴不等式组的解集是-6<x<4，

∴不等式组的非负整数解是0，1解析：先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解即可．

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．

15.答案：解：(1)如图1中，△A'B'C'即为所求．

(2)如图2中，△AB'C'即为所求．

解析：(1)分别作出A，B，C的对应点A'，B'，C'即可．

(2)根据AB=25，BC=5，AC=5，利用数形结合的思想解决问题即可．

16.答案：解：∵∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴AD=2DE=2，

∴AC=AD+CD=4，

设BC=x，则AB=2x，

由勾股定理得，(2x)2-x2=16，

解得，x=433解析：本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c17.答案：解：∵△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，

∴AB=AC，∠D=∠E=20°，

∵∠BAD=90°，

∴∠B=90°-∠D=70°，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=70°，

∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，

即∠BAC的度数为40°．

解析：先根据旋转的性质得到AB=AC，∠D=∠E=20°，再利用互余计算出∠B=70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

18.答案：解：设小明答对x道题，则小明答错(20-1-x)道题，

根据题意得：5x-2(20-1-x)≥70，

解得：x≥1537．

∵x为整数，

∴x≥16．

答：小明至少要答对16道题，总分才不会低于70解析：设小明答对x道题，则小明答错(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其内最小的整数即可．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，列出关于x的一元一次不等式是解题的关键．

19.答案：解：x+5<5x+1① x-m>1②，

解①得x>1，

解②得x>m+1，

∵不等式组的解集是x>1，

∴m+1≤1，

解得m≤0解析：首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集是x>1，即可得到一个关于m的不等式，从而求解．

本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

20.答案：(1)证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠BAE=60°，

在△ADC和△BEA中，

AC=AB∠C=∠BAECD=AE，

∴△ADC≌△BEA(SAS)；

(2)解：∵△ADC≌△BEA，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°解析：(1)由在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，易得∠C=∠BAE=60°，则可利用SAS证得：△ADC≌△BEA；

(2)由全等三角形的对应角相等，即可得∠CAD=∠ABE，继而可得∠BPD=∠BAC=60°，又由BQ⊥AD，即可求得∠PBQ的度数．

此题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．21.答案：解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2-AC2=52-32=4(cm)；

(2)由题意得：BP=t cm，分两种情况：

①当∠APB=90°时，如图1所示：

点P与点C重合，

∴BP=BC=4cm，

∴t=4；

②当∠BAP=90°时，如图2所示：

则CP=(t-4)cm，∠ACP=90°，

在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP解析：(1)由勾股定理求解即可；

(2)①由题意得：BP=t cm，分两种情况：①当∠APB=90°时，点P与点C重合，则BP=BC=4cm，得t=4；

②当∠BAP=90°时，CP=(t-4)cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AC2+C22.答案：解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：

2a+b=35a+3b=30,

解得a=15b=5,

答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；

(2)根据题意得：

955≤15x+5(120-x)≤1000，

解得35.5≤x≤40，

∵x是整数，

∴x=36，37，38，39，40．

∴有5种购买方案；

(3)W=15x+5(120-x)=10x+600，

∵10>0，

∴W随x的增大而增大，

当x=36时，W最小=10×36+600=960(元)，

∴120-36=84．

答：购买甲种文具解析：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出W关于x的一次函数关系式．

(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；

(2)根据题意列不等式组解答即可；

(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．23.答案：解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°