八年级数学上册期末压轴100题：第十二章20题（含答案）

八年级数学上册期末压轴100题：第十二章20题

1.在RSA8C中，ZB=90°,AO平分N8AC,交BC于点D,DELAC,垂足为点E,

若80=3,则。E的长为（）

C.2D.6

2.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则N1的度数是（）

D.96°

3.根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（）

A.NA=50°,ZB=60°,NC=70°B.NA=50°,ZB=50°,AB=5cm

C.AB=5cm,AC=4cm,ZB=30°D.A8=6cm,8c=4cm,ZA=30°

4.如图，己知/48C,小彬借助一把没有亥I度且等宽的直尺，按如图的方法画出了/A8C

的平分线BP.他这样做的依据是（）

A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等

5.如图，在中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交4C,

A3于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线AP交BC于点£),若C£>=3,AB=10,则△ABO的面积为().

A.10B.15C.20D.30

6.如图，点尸是NAOB平分线OC上的一点，PDVOB,垂足为D,若P£>=3,则点尸

到边。4的距离是()

A.£B.3C.5D.4

7.如图，已知/4BC=/£>C8,则需添加的一个条件是可使VACB/VDBC.(只

写一个即可，不添加辅助线).

8.(1)如图1,在三角形A6c中，8平分ZACB,点E在边AC上，Zl=Z2,试说

明。E与BC的位置关系，并予以证明；

(2)如图2,在(1)的条件下，若NCBD=NCDB,NCDE的平分线交AC于点尸，连

接8F.求证：ZDBF+ZDFB=90°；

(3)如图3,在前面的条件下，若NA8的平分线与AB、。厂分别交于G、H两点，

且N8GC=54。，求ZACB的度数.

A

9.角平分线的探究

（教材再现）

苏科版八上尸25页介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下：

①如图1,以0为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线04、0B于点C、D.

②分别以点C、。为圆心，大于gCD的长为半径作弧，两弧在/A0B内部交于点M.

③作射线0M.则射线0M为NA0B的平分线.

（1）用尺规作图作/4。8的平分线原理是证明两个三角形全等，那么证明三角形全等

依据是—.

（数学思考）

在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学研究了下面的方法画角的平分线（如

图2）：

①在NA0B的两边04、0B上分别截取0C=0£>.

②过C作“，03,垂足为E.过。作。FJ_0A,垂足为F.CE、DF交于点M.

③作射线0M.

（2）请画出图形，并证明0M平分NA0B.

（问题解决）

（3）已知：如图3,四边形ABCD中，ZABC+ZD=\S0°,AC平分/BA。，CELAB

10.（问题）在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=120°,/A£>C=90。，E、F

分别是8C、C。上的点，且ZE4尸=60。，试探究图1中线段BE、EF、尸。之间的数量

关系.

（1）（探索）有同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE丝△AOG,

再证明△AEFg/\AGF,则可得至I」BE、EF、F。之间的数量关系是.

（2）（延伸）在四边形ABC3中如图2,AB=AD,ZS+ZD=180°,E、/分别是BC、

CD上的点，ZEAF^^ZBAD,上述结论是否仍然成立？说明理由.

（3）（构造运用）如图3,在某次搜救行动中，甲艇在指挥中心（。处）北偏西30。的A

处，乙艇在。点的南偏东70。的8处，且AO=3O,接到行动指令后，甲艇向正东方向

以60海里/小时的速度前进，乙艇沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进1.5小

时后，甲、乙两艇分别到达E,尸处，NEOF=70°,试求此时甲、乙两艇之间的距离.

11.在中，AB=BC,N5=90。，点。为直线8c上的一个动点（不与3、C重

合），连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.

（1）如果点O在线段BC上运动，如图1：求证：ZBAD=ZEDC

（2）如果点。在线段上运动，请写出AC与CE的位置关系.通过观察、交流，小

明形成了以下的解题思路：过点E作EFL8c交直线BC于凡如图2所示，通过证明

ADEFqAABD,可推证ACEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请

你写出证明过程.

（3）如果点。在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍

然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

12.如图，AB〃S,点E是直线A3和直线CO之间动点.

(1)图1中，试说明：ZAEC=ZBAE+^DCE.

(2)图2中，当㈤£的角平分线与/ECO的角平分线交于点F,请直接写出NAEC与

NAFC的数量关系.

(3)图3中，当点E在线段上AC,场的邻补角平分线与/ECO的邻补角平分线

交于点立试判断A尸与CF的位置关系，并说明理由.

(4)图4中，若Nfi4£的邻补角平分线与NECO的邻补角平分线交于点F,写出NAEC

与4FC的数量关系，并说明理由.

13.(1)如图1,NA的两条边为AB和AC,的两条边为。E和。F,AB//DE,AC

//DF,猜想/A与/。的数量关系，试证明你的猜想.

(2)如图2,乙4的两条边为AB和AC,的两条边为OE和OF,ABI/DE,AC!I

DF,猜想N4与ND的数量关系，试证明你的猜想.

(3)如果两个角的两条边分别平行，那么它们的角平分线是何位置关系？试证明你的

猜想.

14.如图1,ZABC=90°,于点A,。是线段AB上的点，AD=BC,AF=BD.

(1)判断DF与DC的数量关系为，位置关系为.

(2)如图2,若点。在线段48的延长线上，过点A在AB的另一侧作并截

^AF=BD,连接。C、DF,CF,试说明(1)中结论是否成立，并说明理由.

(3)若点D在线段A8外，点E是BC延长线上一点，且CE=B£),连接AE,与OC

的延长线交于点P,直接写出NAPC的度数.

A

BC

备用图

15.(1)如图①，已知AABC中，/54C=90。，AB=AC,直线必经过点A,BDJ.直

线机，CE_L直线"?，垂足分别为点。，E,易证：DE=.

(2)如图②，将⑴中的条件改为：在A4BC中，AB=AC,D,A,E三点都在直

线机上，并且有NBZM=NA£C=NB4C,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系，

并证明.

(3)如图③，在AABC中，ABAC=90°,BC^AC,点C的坐标为(—2,0),点A的坐

标为(Y,3),请直接写出8点的坐标.

16.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A(0,a)在y轴正半轴上，点Bg,0)

_{2a-b=8

在X轴正半轴上，且。，b是方程组”，，的解.

\a+2b=\4

设P点的运动时间为t秒，AAOP的面积为S,用含f的式子表示S,并直接写出f的取

值范围：

(3)在(2)的条件下，当点尸在x轴负半轴上时，且5=6,在y轴负半轴上有一点C,

过点B作x轴垂线，与射线PC交于点。，若/“0+2/”0=180°,尸。=?,连接AD,

交0B于点E,求点E的坐标.

17.在ABCA中，AB=AC.

(1)如图1、求证：NB=NC：

(2)如图2,。为AB上一点，连接CO,E为CO中点，过点E作EF_L8于点E,

连接FC,ED,求证：FC=FD；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点/作FH_LAC于点4,连接AF,若AF〃BC,

FH=4,CH=20,BD=10,求产的面积

18.如图，CDA.AB,BELAC,垂足分别为O,E,8后与8相交于点F,FB=FC.

(1)求证：BD=CE；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形..

19.已知：如图，BELCD于点、E,BE=DE,BC=DA.

(1)求证：△8CE2/XDAE

(2)判断£＞尸与BC的位置关系，并说明理由.

20.如图，在A4BC中，ZACB=90°,AC=BC,BELCE于E,AO_LCE于。，AD=

2.5cm,DE—\71cm,求BE的长.

参考答案

1.A

【分析】

根据角平分线的性质即可求得.

【详解】

解：VZB=90°,

：.DB±AB,

又：A。平分N84C,DEVAC,

：.DE=BD=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键.

2.C

【分析】

先根据三角形内角和定理求出/2=84。，再根据全等三角形的对应角相等解答.

【详解】

解：根据三角形内角和定理可得，/2=180。-49。-47。=84。.

•••如图是两个全等三角形，

/.Z1=Z2=84°.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等时解题的

关键.

3.B

【分析】

根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形

状和大小确定，否则三角形的形状和大小不能确定.

答案第1页，共27页

【详解】

解：4、ZA=50°,ZB=60°,ZC=70°,△ABC的形状和大小不能确定，所以A选项不符合

题意；

B、ZA=50°,ZB=50°,AB=5cm,则利用“ASA”可判断△A3C是唯一的，所以3选项符合题

忌；

C、AB=5cm,AC=4cm,ZB=30°,△ABC的形状和大小不能确定，所以C选项不符合题意；

D.AB=6cm,BC=4cm,ZA=30°,△ABC的形状和大小不能确定，所以。选项不符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法.选用哪一种方法，取

决于题目中的已知条件.

4.A

【分析】

根据角平分线判定得出BP平分NOPE,根据平行线的性质推出NOBP=NEBP,即可得出

答案.

【详解】

解：VZM=Z/V=90°,BM=BN,

:.BP平分NDPE,

ZDPB=NEPB,

'：DP//BC,PE//BD,

，NDPB=NPBE,NEPB=NDBP,

：.NDBP=NEBC,

即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，

故选：A.

答案第2页，共27页

【点睛】

本题主要考查了角平分线的判定，平行线的性质的应用，注意：角的内部到角的两边距离相

等得点在角的平分线上.

5.B

【分析】

根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过。作。于E,则

DE=OC=3,再根据三角形的面积公式即可求得.

【详解】

根据题中所作，AD为NBAC的平分线，

VZC=90°,ADCA.AC,

过。作。E_LAB于E,则£>E=DC=3,

VAB=10»5AABD=-^ABD£=-^xl0x3=15.选B.

【点睛】

本题的关键是根据作图过程明确AP是角平分线，然后根据角平分线的性质得出三角形AB。

的高.

6.B

【分析】

作PELOA于E,根据角平分线的性质即可求得.

【详解】

作PE±OA于E

,••点P是NAOB平分线OC上一点，PD1OB,PE±OA

，PE=PD=3

答案第3页，共27页

A

E.

0DB

故选B.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

7.AB=DC（答案不唯一）

【分析】

因为ZABC=/DC8和公共边BC,根据全等证明方法即可求得.

【详解】

当AB=DC时

根据全等证明方法SAS可证VACB丝VOBC

故答案为：AB=DC（答案不唯一）

【点睛】

本题考查三角形全等的判定条件，掌握五种全等证明方法是解题的关键.

8.（1）DE//BC,证明见解析；（2）证明见解析；（3）72°

【分析】

（1）证明N2=NBCC,可得结论.

（2）根据£>E〃BC,得到NEQ8+NQBC=180。，再利用角平分线的性质，即可解答；

（3）根据FDLAB,NBGC=54。,得到NOHG=36。,利用外角的性质得到NFCC+/”CC=36。，

再根据。产平分NEDC,CG平分乙4C。，得到NE£>C=2/尸。C,NACD=2NHCD,得到

ZEDC+ZACD=2（ZFDC+ZHCD）=108°,利用三角形内角和为180。，Z£）£C=180°-

（.ZEDC+ZACD）=180。-108。=72。，再利用平行线的性质求出NACB.

【详解】

解：（1）结论：DE//BC.

理由：如图1中，

答案第4页，共27页

：・N1=NBCD,

VZ1=Z2,

：・N2=NBCD,

C.DE//BC.

(2)证明：如图2中,

.,.ZEDB+Z£>BC=180°,

工NEDF+NFDC+NCDB+NDBC=T80。,

■:/CDB=/DBC,/EDF=/FDC,

：.2ZFDC+2ZCDB=180°,

JZFDC+ZCDB=90°,

:・FDLBD,

：.ZDBF+DFB=90°.

(3)如图3中，

答案第5页，共27页

图3

VZBGC=54°,FDLBD,

：.ZDHG=36°,

：./FDC+NHCD=36。,

广平分NEDC,CG平分NACO,

AZEDC=2ZFDC,ZACD=2ZHCD,

：.ZEDC+ZACD=2CZFDC+ZHCD)=72°,

/.Z£)EC=180°-(NEDC+NACD)=180°-72°=108°,

'：DE//BC,

：.ZACB+ZDEC=\S00,

：.ZACB=12°.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角

和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系.

9.(1)SSS；(2)见解析；(3)AB+AD=2AE

【分析】

(1)利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案；

(2)利用AAS证明△OCEQXODF,再运用HL证明RtXOMEqRtXOMF,即可得出答案；

(3)过点C作CF，A£＞于F,利用AAS证明△CAE丝△CAF,再运用A4S证明△CDF^/XCBE,

即可得出答案.

【详解】

解：(1)用尺规作图作NAOB的平分线原理是证明两个三角形全等，证明三角形全等依据

是SSS；

故答案为：SSS；

(2)所画图形如图所示，0M平分/AOB,

答案第6页，共27页

oEDB

证明：VCE±OB,DF±OAf

：.NCEO=NDFO=90。,

在△。。£和40。尸中，

/CEO=NDFO

・ZCOE=ZDOF,

0C=0D

:•△OCEq40DF(A4S),

:.0E=0F,

•?0M=0Mf

/./?/△OME出OMF(HL),

：.ZMOE=ZMOFf

：.0M平分NAO8.

(3)AB+AD=2AE.理由如下：

如下图，过点。作CFLAQ于凡

贝IJNC注NCRX90。，

VCE1AB,

:.NCE4=90。，

：.ZCFA=ZCEAf

〈AC平分NBA。，

：.ZCAE=ZCAF,

在^CAE和^CAF中,

答案第7页，共27页

ZCEA=ZCFA

-NCAE=ZCAf,

AC=AC

.♦.△CAE丝△C4F(A4S),

：.AE=AF,CE=CF,

VZABC+Z£)=180°,/4BC+/CBE=180。，

，NCBE=ND,

在△。£＞尸和4CBE中，

'ZD=NCBE

-ZCFD=NCEB,

CF=CE

：./\CDF^/\CBE(4AS),

：.DF=BE,

'：AB+BE=AE,AD-DF=AF,

：.AB+BE+AD-DF-AE+AF,

：.AB+AD=2AE.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了基本作图，全等三角形判定和性质，正确掌握全等三角形

判定和性质是解题关键.

10.⑴【探索】E尸=8E+F。；(2)【延伸】结论仍然成立，证明见解析；(3)【构造运用】210

海里

【分析】

(1)【探索】根据全等三角形的性质解答即可；

(2)【延伸】延长FD到G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE^AADG和^AEF^AAGF,

得到答案；

(3)【构造运用】连接EF,延长AE、BF交于点C,得至UEF=AE+BF,根据距离、速度和时

间的关系计算即可.

【详解】

解：(1)【探索】EF=BE+FD,

证明：如图，延长")到G,使。G=BE,连接AG,

答案第8页，共27页

o

VZB=Z/lDC=90,ZADG=ZADC=90°9

：.ZB=ZADGf

在△A3E和△AOG中，

BE=DG

<NB=ZADG,

AB=AD

：./XABE^^ADG(SAS),

：.AE=AGfNBAE=/DAG,

VZE^F=60°,ZBAD=\20°,

：.NGAF=NDAG+/DAF=NBAE+NDAF=NBAD-ZEAF=ZEAF=60°,

:.ZEAF=ZGAF9

在△AEb和△AG尸中，

AE=AG

,ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：./\AEF^/\AGF(SAS),

：.EF=FG,

：.FG=DG+FD=BE+DF；

故答案为：EF=BE+FD,

(2)【延伸】结论仍然成立，

证明：如图2,延长尸。到G,使OG=8E,连接AG,

答案第9页，共27页

图2

VZB+ZA£)C=180°,NAOG+NA00180。，

：.ZB=ZADGf

在△ABE和△ADG中，

BE=DG

<NB=ZADG,

AB=AD

：./XABE^^ADG(SAS),

：.AE=AGfNBAE=/DAG,

ZEAF=-ABAD,

2

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZE4F=ZEAF,

/EAF=NGAF,

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

：・EF=FG,

：.FG=DG+FD=BE+DF；

(3)【构造运用】解：如图3,连接"，延长AE、BF交于点、C,

图3

答案第10页，共27页

VZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZEOF=70°,

:.ZEOF=-ZAOB,

2

'：OA=OB,

ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

符合探索延伸中的条件

，结论EF=AE+BF成立,

BP£F=1.5x(60+80)=210海里,

答：此时两舰艇之间的距离是210海里.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,

注意要正确作出辅助线.

H.(1)见解析；(2)垂直，理由见解析；(3)成立，证明见解析

【分析】

(1)根据直角三角形的性质证明即可；

(2)过点E作跖，BC交直线BC于忆如图2所示，通过证明尸名△A8D,可推证

△CEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系；

(3)如图3所示，过点E作跖，OC于尸，证明△45。且△。庄,进一步可证明AC，EC

【详解】

解：(1)证明：VZB=90°

・・・ZBDA+ZBAD=90°

丁ZADE=90°

JZBZM+ZEDC=90°

:./BAD=/EDC

BDC

图1

答案第11页，共27页

(2)垂直

图2

■:EFLBC

・•・Z£FD=90°

4=90。

:・ZEFD=AB

在△ABO和△DFE中

/BAD=NFDE

<NB=NDFE

AD=DE

：.AABD^ADFE(AAS)

:・AB=DF,BD=EF

*：AB=BC

：.BC二DF,

：.BC-DC=DF-DC

即5O=CF.

：.EF=CF

又丁/EFC=90。

：.ZECF=45°,且ZACB=45。

・・・ZACE=180°-90°=90°

即AC1CE.

(3)(2)中的结论仍然成立

如图3所示，过点后作历，。。于尸

*/ZABD=90°

・・・/EDF=ZDAB=90。一ZADB

答案第12页，共27页

在△ABO和△DFE中

ZDAB=NEDF

，ZABD=ZDFE

AD=DE

：.^ABD^ADFE(AAS)

DB=EF,AB=DF=BC

：.BC-BF=DF-BF

即FC=£>8

FC=EF

，NDCE=45。

，ZACE=ZDCE+ZACB=90°

AC±EC.

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明

△Afig△。在:是解本题的关键.

12.(1)证明见解析；(2)ZAEC=2ZAFC；(3)AFLCF,理由见解析；(4)

2ZAFC+Z4EC=360°,理由见解析

【分析】

(1)如图5中，过点、E作EG//AB,如图1,由=Z2=ZDCE,可得出结果:

(2)如图2,由(1)的结论可得ZAFC=Zfi4F+ZDCF,由条件可得

ZAFC=；(NBAE+NDCE),即可得出结果；

(3)如图6,•••AB//CD；.NM4C+ZACN=180。,由条件和(1)中的结论可得出结果;

(4)如图7,由(1)的结论可得到NAEC=N8AE+NDCE,

答案第13页，共27页

NAfT=NM4尸+NNCF=g(NMAE+NECN),再由令|J补角的定义可证出结论.

【详解】

解：(1)过点E作EG//AB,如图5,

vAB//CD,

..EG//CD,

Zl=ZBAE,42=NDCE,

ZAEC=Nl+N2=/BAE+ZDCE；

(2)ZAEC=2ZAFC,

如图2,由(1)的结论可得ZAFC=N班尸+Z2X厂，

v㈤E的角平分线与/ECD的角平分线交于点石

NBAF=-/BAE,

2

ZDCF=-ZDCE,

2

・•.ZAFC=；(ZBAE+ZDCE),

•/ZAEC=ZBAE+4DCE,

:.ZAFC=-ZAEC,

2

.\ZAEC=2ZAFC；

(3)AFLCF,

如图6,•/ABHCD,ZMAC+ZACN=180°,

・•・NS4E的邻补角平分线与NECQ的邻补角平分线交于点F,

：.ZMAF=-ZMAa/NCF」NACN,

22

答案第14页，共27页

由（1）的结论得到

ZAFC=NMAF+ZNCF,

ZAFC=ZMAF+ZNCF=g(/MAC+ZACN)=90。,

AF±CF；

(4)2ZAFC+ZA£C=36O°,如图7,

由（1）的结论可得到

NAEC=NBAE+NDCE,

ZAFC=ZMAF+4NCF=；（ZMAE+4ECN）,

由邻补角的定义得，

NMAE+NBAE=180°,

NNCE+N£>AE=180。，

NMAE+ZBAE+NNCE+NDCE=360°,

由等量代换得出2ZAFC+ZAEC=360°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造平行线解决问题，有一定的难度，这也属于中考常考题型.

13.（1）NA=N。，见解析；（2）NA+/Q=180。，见解析；（3）如果两个角的两条边分

别平行，那么它们的角平分线相互平行或者相互垂直，见解析

【分析】

（1）根据平行线的性质可得NA=NEGC,NEGC=ND,等量代换即可得出答案；

（2）根据平行线的性质/A=/AGO,ZAGD+ZD=180°,等量代换即可得出答案；

（3）分两种情况，①如果两个角的两条边分别平行，作NBAC的平分线AM,/EOF的平

分线。N,根据平行线的性质可得/A=/AG。，根据角平分线的性质/NZ）R=；NEZ）F,

ZAND=-ZEDF,ZMAC=^BAC,即可得出/M4C=/4MD,由平行线的判定，内错角

答案第15页，共27页

相等，两直线平行即可得出答案；②延长五。至P,作/即P的平分线。N,作/即尸的平

分线DQ,交NBAC的平分线AM所在直线于Q,可得NQDE+NEDN=(NEDF+NEDP)

=90°,即NQDN=9O。，由平行线性质可得NMOD+NQ£)N=180。即可解答.

【详解】

解：⑴猜想：ZA-ZD,证明如下：

如图I,；AC和。E交于点G.

'：AB//DE,

二NA=NEGC,

"：AC//DF,

：.ZEGC=ZD,

,NA=N£)；

(2)猜想：ZA+ZD=180°.证明如下：

如图2,；AC和DE交于点G,

'JAB//DE,

：.ZA=ZAGD.

\'AC//DF,

：.ZAG£>+ZD=180°,

，ZA+ZD=180°；

(3)①如果两个角的两条边分别平行，那么它们的角平分线相互平行或者相互垂直，

如图3；AC和交于点G,作NBAC的平分线AM,NED尸的平分线DM交.AC于N.

'：AC//DF,

：.NAND=NNDF,

.：DN平分NEDF,

：.NNDR=yNEDF,

：.NAND=gNEDF,

平分N8AC,

/.NMAC=yABAC,

前面已证NBAC=NEQF,

答案第16页，共27页

:.ZMAC=ZAND,

：.AM//DN-,

②如图4,延长F£)至尸，作NEQP的平分线。N,作NEQF的平分线。Q,交NBAC的平

分线AM所在直线于Q.

；.NQDE+NEDN=g(NEDF+NEDP)=90°,

即/Q£W=90°,

前面已证AM〃£>M

ZMOD+ZQDN=180°.

：.ZMOD=9Q°.

即DQ1.AM.

综上述，如果两个角的两条边分别平行，那么它们的角平分线相互平行或者相互垂直.

【点睛】

答案第17页，共27页

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，弄清题意、明确各角的关系以及掌握分类

讨论思想成为解答本题的关键.

14.(1)DF=CD,CDVDF-,(2)成立，理由见解析；(3)45°

【分析】

(1)利用SAS证明△的OgAOBC,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,NADF=NBCD,

由NBCO+/C£)B=90°得NAO尸+NC£>B=90°,即可证得DF=CD且CDLDF；

(2)由已知证明A阳△OBC,得至UOF=QC,ZFDA=ZDCB,由/£>CB+NBQC=90。，

得到NFD4+NBZ)C=90°,所以/FDC=90°；

(3)过点A作AFL4B,并截取连接OF,CF,AC,由△COF为等腰直角三角形

得到NOCF=45。，证明△AFC彩△CEA得至lJ/CAE=NAC尸，推出NAPC=NFC。即可.

【详解】

解：⑴VAF1AB,

，ZDAF=90°,

在^AO尸和△BCD中，

AF=DB

•NDAF=ZCBD,

AD=BC

:.△ADFQABCD(SAS),

：.DF=CD,ZADF=ZBCD,

ZBCD+ZCDB=90°,

：.ZADF+ZCDB=W,即NCD尸=90°,

ACD±OF.

故答案为：DF=CD,CDLDF；

(2)成立，理由如下：

,：AFVAB,

：.ZDAF=90°,

在△4。/和^BCD中，

AF=DB

<NDAF=NCBD,

AD=BC

答案第18页，共27页

:•△ADFQ/\BCD(SAS),

：.DF=CD,ZADF=ZBCDf

:ZBCD+ZCDB=90°,

・・・ZADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

：.CDLDF；

(3)如图，由题意，过点A作AfLAB,并截取AF=3。，连接OF,CF,AC,

由(1)得ACO尸为等腰直角三角形，

工ZDCF=45°,

ZFAD=ZABC=90°,

：.AF//CE,

:.ZFAC=ZACE9

*：AF=BD,CE=BD,

：.AF=CE,XAC=ACf

：.AAFC^ACEA(SAS),

:.ZCAE=ZACF9

：.FC//AEf

：.ZAPC=ZFCDf

：.NAPC=/FCD=45。.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形.

15.(1)BD+CE；(2)DE=BD+CE,见解析；(3)(1,4)

【分析】

(1)根据同角的余角相等证明—即二屋3石，根据全等三角形的性质得出

AE=BD,AD=CE,结合图形即可得出答案；

(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明NABD=NC4£,得至ij△ABD=△(X£,根据

答案第19页，共27页

全等三角形的性质得到4石AD=CE,结合图形即可得出答案；

(3)根据△AECMaCEB得出C尸和3尸的值，结合坐标与图形性质即可得出答案.

【详解】

(1)证明：BDVAD

：.ZABD+ZBAD=90°

*/ZBAC=90°

・・・ZC4E+ZBAP=90°

：.ZABD=ZCAE

在△45。和VC4E中

ZABD=ZCAE

,ZBDA=ZAEC

AB=CA

：.^ABD=^CAE(AAS)

:・AE=BD,AD=CE

：.DE=AD+AE=BD+CE

(2)DE=BD+CE；

理由如下：在△43。中，ZABD=180°-ZADB-ABAD

■:ZCAE=180°-ABAC-ABAD,ABDA=ABAC

：.ZABD=ZCAE

在△A3。和VC4£B

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZAEC

AB=CA

：.^ABD^CAE(AAS)

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AD+AE=BD+CE

(3)如图③，作轴于点E,轴于点/，

由(1)可知，/\AEC=/\CFB

：.CF=AE=3

BF=CE=OE-OC=4

答案第20页，共27页

，OF=CF—OC=1

点8的坐标为(1,4).

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性

质定理是解决本题的关键.

16.(1)A(0,6);B(4,0)；(2)当点尸在线段B。上时，5=12-3?(0<r<4)；当点P在线段20

延长线上时，5=3r-12(r>4);⑶E与。｝

【分析】

(1)解二元一次方程组即可求得0/的值，进而求得A,8的坐标；

(2)分点P在线段80上时和点尸在线段B0延长线上时，两种情形讨论，根据(1)的结论，

利用三角形面积公式计算即可；

(3)过点A作AFJ_Z)P延长线于点尸，证明AA尸WAAOP,得AF=AO,过点A作

12

AG_L延长线于点G,根据SAIPQ+=SAAPB+SZSDPB,求得BE=亍,根据

O£=O8-应;进而求得点£的坐标.

【详解】

14=6

解得:U=4-

2a-b=8…

•«,6是方程组a+2b=14的解，

A(0,6),8(4,0),

(2)当点P在线段8。上时，S“"=；OPxOA=；x(4-r)x6=12-3r,

答案第21页，共27页

5=12-3z(0<r<4),

当点尸在线段BO延长线上时，S“必=；OPxOA=1x(r-4)x6=3r-12,

S=3f-12(f>4),

(3)由(2)得：3r-12=6,解得f=6,

:.BP=6,

•.•A(0,6),B(4,0),

/.OA=6,OB=4,

如图，过点A作AP延长线于点尸，作延长线于点G,

/.ZAPF=ZAPO,

在△AFP和AAOP中，

'/AFP=/AOP=90。

<ZAPF=/APO

AP=AP

:./\AFP^^AOP(AAS)

・..AF=AO=6

*.*S四边形APDB=+^^ADB，

s四边形APDB=S>APB+S>DPB，

…S&APD+S&ADB=S^APB+S&DPB，

答案第22页，共27页

:.—xPDxAF+—xBDxAG=—xPBxOA+—xPBxBD,

2222

PDxAF+BDxAG=PBxOA+PBxBD,

——x6+8Dx4=6x6+6xBD,

2

8D=-

921

...DG=BG+BD=6+-=——，

22

S2XADC=S&DBE+S梯形AGBE

：.-xDGxAG=-xBDxBE+-x(BE+AG)xBG,

222

DGxAG=BDxBE+(BE+AG)xBG,

219

—x4=-xB£+(B£+4)x6,

22

/.BE=—

7

[,1A

:.OE=OB-BE=4——=—

77

.•.喈,0.

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，列代数式，三角形全等的性质与判定，平面直角坐标系中图

形与坐标，正确的作出辅助线是解题的关键.

17.(I)见解析；(2)见解析；(3)30

【分析】

(1)过点A作4WLBC于点M,只需要证明R/ZMMB四用△AMC即可得到答案;

(2)只需要证明△FEZ注即可得到答案；

(3)过点尸作/G,84延长线于点G,然后证明Rf^AGF公RfAAHF,

Rt/\GDF^Rt£\HCF,然后计算求解即可得到答案.

【详解】

解：(1)证明：过点A作AA/_LBC于点附，

-,-AMLBC,

:.ZAMB=ZAMC=9G°,

在Rt/XAMB和Kt/\AMC中,

答案第23页，共27页

\AB=AC

\AM=AM

Ri/XAMB%Rt/\AMC(HL)

.・.N3=NC

vEFlCD,

.・.NFED=NFEC=90°,

・.・E为CD中点,

:.