《有限样本空间与随机事件》教学设计、导学案、同步练习

ao.i.i有限样本空间与随机事件》教学设计

【教材分析】

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限样本空

间与随机事件》，本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实

验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法

的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解随机试验的概念及特点1.数学建模：随机实验及样本空间的概念

B.理解样本点和样本空间，会求所给试验2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间

的样本点和样本空间3.数学运算：计算随机实验的样本空间

C.理解随机事件、必然事件、不可能事件4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；

的概念，并会判断某一事件的性质

【教学重点】：随机试验的概念及特点；

【教学难点】：理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间;

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、温故知新

概率论的产生和发展

概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自由回顾知识出发，提出

于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。传说早在1654问题，让学生了解概率

年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的论的产生和发展。增加

问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A学生的数学文化素养。

赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，发展学生数学抽象、直

这个钱应该怎么分才理？观想象和逻辑推理的核

心素养。

这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的

数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》

一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发

展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的

应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为

基础的。

在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等

可能的情形下求简单随机事件的概率.

本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的

性质.

随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有

的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无

穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具

有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充

满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.

所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.

高中阶段主要研究离散型概率模型.

研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将

一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10通过具体问题，让学生

名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命;感受随机实验及样本空

从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分囊数；记录某地区7月间的额概念。发展学生

份的降雨量等等.数学抽象、逻辑推理的

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(random核心素养。

experiment),简称试验,常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点

的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现

哪一个结果.

思考1：体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2

，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球

的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？

共有10种可能结果.

所有可能结果可用集合表示为：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集

合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义.

我们只讨论Q为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果3,

1

3,...,3,则称样本空间。={3,3,...,3,}为有限样本空间.

2n12n

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集

合称为试验E的样本空间(samplespace).

一般地，我们用。(欧米伽)表示样本空间，用3表示样本点.

例如，抛掷一对骰子，建立包含36个样本点的样本空间Q={(为力

1

G(1,2,3,4,5,6)),其中每个结果就是基本结果，

如果建立只包含4个可能结果的样本空间

Q={(偶，偶)，(偶，奇)，(奇，偶)，(奇，奇)},

2

其中每个元素就不能认为是基本结果.

因为在样本空间Q中无法求“点数之和为5”的概率.

2

例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。

解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样

本空间可以表示为Q=（正面朝上，反面朝上），如果用人表示“正面朝

上”，

力表示“反面朝上”，则样本空间。

例2.抛掷一枚骰子（touzi）,观察它落地时朝上的面的点数，写出试验

的样本空间.

解：用7表示朝上面的“点数为i”，

因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，

所以试验的样本空间可以表示为。二｛1,2,3,4,5,6｝.通过实例分析，让学生

构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可掌握分析样本空间和样

以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事本点的方法，提升推理

件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的论证能力，提高学生的

关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过数学抽象、数学建模及

程.逻辑推理的核心素养。

解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的

基本结果用x表示，

第二枚硬币可能的基本结果用y表示，

那么试验的样本点可用（为力表示.于

是，试验的样本空间

Q=｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本

空间

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第

二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为

Q=｛（1,1）,（1,0）,（0,1）,（0,0）｝.

如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.

第一枚第二枚

对于只有两个可能结果的随机试验,一般用I和0表示这两个结果.一方

面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面

的研究中会带来很大的方便.

理解样本点与样本空间以及随机事件

⑴由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的.

⑵样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间.

(3)随机试验、样本空间与随机事件的关系：

随机试验＞1样本空间^^随机事件.

1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为X,转盘②得到

的数为了，结果为(X,y).

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“水3且y〉l”呢？

(4)“灯=4”这一事件包含哪几个样本点？"x=/'呢？

解:⑴Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)).

⑵样本点的总数为16.

(3)“x+尸5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；

“水3且力1”包含以下6个样本点：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(4)“xy=4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“尸/包

含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

思考2.在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件

吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形

式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.

我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出

的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合

｛1,3,5,7,9).

因此可以用样本空间Q=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)的子集｛1,3,5,7,9｝表

示随机事件A.

类似地，可以用样本空间的子集｛0,3,6,9｝表示随机事件“球的号码为3

的倍数”

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子

集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Q的子集称为随机事件

(randomevent),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事

件(elementaryevent).

随机事件一般用大写字母A,B,C,•••表示，在每次试验中，当且仅当

A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

Q作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本

点发生，所以Q总会发生，我们称Q为必然事件.

而空集中不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们中称为

不可能事件.

必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和

不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空

间。Q的一个子集.

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。

1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件：

(1)某地1月1日刮西北风；(2)当x是实数时，

(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮；

(4)一个电影院某天的上座率超过50%。

(5)如果a>b,那么a—b>0；

(6)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4

号签；

(7)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

(8)随机选取一个实数X,得|x|<0.

随机事件;必然事件;不可能事件;随机事件;必然事件；随机事件；随机

事件;不可能事件

例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可

能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各

元件是否正常.

⑴写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：

M="恰好两个元件正常”；

N=”电路是通路”；

T=”电路是断路”.

I—[BFn

[—{3―

[O-J

解：(1)分别用X,x和X表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的

123

工作状态可用(X,X,X)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态,

123

用0表示“失效”状态，则样本空间

Q={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1

,1,1)}.

(2)“恰好两个元件正常”等价于(x,x,x)©Q,且x,x,x中恰有两

123123

个为1,

所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.

“电路是通路”等价于(x,x,x)eQ,x=l,且x,x中至少有一个是

123123

1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。

同理，“电路是断路”等价于(X,x,x)GQ,x=0,或x=1,x=x=0.所

1231123

以丁={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.

元件A元件B元件C可能结果

如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.

(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出

所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本

点组成的集合表示随机事件.

(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，

后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率.

三、达标检测

1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是通过练习巩固本节所学

()知识，通过学生解决问

A.3个都是篮球B.至少有1个是排球题，发展学生的数学抽

C.3个都是排球D.至少有1个是篮球象、逻辑推理、数学运

答案:c算、数学建模的核心素

解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机养。

事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.

2.先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x,y,则

事件：logy=l包含的样本点有.

2x

(x,y)123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6.3)(6,4)(6.5)(6,6)

解析先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结

果.解方程log尸1得尸2x,

2x

则符合条件的样本点有

(1,2),(2,4),(3,6).

3.写出下列各随机试验的样本空间：

(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其AB0血型；

(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5)射击靶3次，观察中靶的次数.

解：(1){男，女}或令m表示男生，f表示女生，

则样本空间为Q={m,f}.

(2)Q={0,A,B,AB}.

(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为0={bb,bg,gb,gg).

(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间为

Q={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1

,1,1)}

(5)。={(0,1,2,3)}o

4.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2)),

观察两个元件正常或失效的情况.

(1)写出试验的样本空间；

(2)对串联电路，写出事件距“电路是通路”包含的样本点；

(3)对并联电路，写出事件脂“电路是断路”包含的样本点.

-S­CB--

~~[U—1

II■_________!1_____/

1'"

(1)(2)

解：(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为

Q={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

⑵对于串联电路,M={(1,1)).

(3)对于并联电路,N={(0,0)).

5.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中

随机模出一个球

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示事件八="摸到球的号码小于5"，事件B="摸到球的号

码大于4"，事件C="孩到球的号码是偶数”

解：(1)Q={1,2,3,4,5,6,7,8,91。

(2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8).

四、小结

1.随机试验通过总结，让学生进一

可重复性、可预知性、随机性步巩固本节所学内容，

2.样本空间、样本点Q={o,3，…,。}提高概括能力。

12n

写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别

注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等.

3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件

五、课时练

【教学反思】

本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量

表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。教学中要注重学生的主体地位，调动

学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学

建模的核心素养。

uo.i.i有限样本空间与随机事件》导学案

【学习目标】

i.理解随机试验的概念及特点

2.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间

3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质

【学习重点】：随机试验的概念及特点

【学习难点】：理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间

【知识梳理】

一、有限样本空间的相关概念

1.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况，你能写出该试验的样本空间吗？

提示可以考虑用有序数对(a,⑹来表示试验的结果.其中a表示其中一枚骰子的点数,6

*

表示另一枚骰子的点数，则有。={(%6)/lWaW6,1W6W6,且a,6WN},当然。还可以用列

举法进行表示,该空间中有36个样本点.

2.填空：(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,

常用字母互表示.

说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

(2)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.

(3)样本空间:全体样本点的集合称为试验£的样本空间.

(4)有限样本空间：

一般地,我们用Q表示样本空间,用。表示样本点.如果一个试验有n个可能结

果，。，。，…，。，则称样本空间。=｛。，。，…，。｝为有限样本空间，也就是说Q为有限

12n12n

集的情况即为有限样本空间.

二、事件的概念及分类

1.思考

(1)考察下列事件:①导体通电时发热;②向上抛出的石头会下落；③在标准大气压下，水

温升高到100℃会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点？

提示都是必然会发生的事件.

(2)考察下列事件:⑦在没有水分的真空中种子发芽；②在常温常压下钢铁熔化;所个

三角形的大边所对的角小,小边所对的角大.这些事件就其发生与否有什么共同特点？

提示都是不可能发生的事件.

(3)考察下列事件:①某人射击一次,命中目标;鳏人购买福利彩票中奖;翘掷一枚质

地均匀的骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点？

提示都是可能发生也可能不发生的事件.

2.填空：(1)随机事件:样本空间Q的子集称为随机事件,简称事件.

(2)基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.

(3)事件A发生:在每次试验中，当且仅当月中某个样本点出现时,称为事件A发生.

(4)必然事件：Q作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点

发生，所以◎总会发生,我们称义为必然事件.

(5)不可能事件:空间。不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称竺为不可能

事件.

说明：(1)每个事件都是样本空间。的一个子集.

(2)为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.

【学习过程】

一、情境与问题

概率论的产生和发展

概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请

求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数

学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：”两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部

赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，

这个钱应该怎么分才理？

这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯

企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著

作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领

域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础

的。

在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求

简单随机事件的概率.

本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.

随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能

结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次

出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，

可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，

常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概

率模型.

研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷

2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批

灯管中任意抽取一只，测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些,观察分囊数；

记录某地区7月份的降雨量等等.

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment）,简称试验，

常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

⑵试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

思考1：体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,9的球

放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个

可能结果？如何表示这些结果？

我们只讨论。为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果a,«.....3,

12n

则称样本空间。={3,3,...,3,}为有限样本空间.

12n

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E

的样本空间（samplespace）.

一般地，我们用Q（欧米伽）表示样本空间，用3表示样本点.

例如，抛掷一对骰子，建立包含36个样本点的样本空间。={（x,力1x,yd

1

{1,2,3,4,5,6}},其中每个结果就是基本结果,

如果建立只包含4个可能结果的样本空间

。={（偶，偶），（偶，奇），（奇，偶），（奇，奇））,

2

其中每个元素就不能认为是基本结果.

因为在样本空间Q中无法求“点数之和为5”的概率.

2

例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。

例2.抛掷一枚骰子（touzi）,观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的

样本空间.

构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具

（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的

类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解

概率问题的过程.

例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么

样本空间还可以简单表示为Q={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.

对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学

追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便.

理解样本点与样本空间以及随机事件

⑴由于随机试验的所有结果皿确的，麻样本点也是明确伽

(2)样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间.

(3)随机试验、样本空间与随机事件的关系:

随机试验一样本空间当随机事件.

1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为X,转盘②得到的数为y,结果

为(X,力.

(1)写出这个试验的样本空间;

(2)求这个试验的样本点的总数;

⑶“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“*3且y>l”呢？

⑷“灯=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？

解：(1)Q=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

思考2.在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的

号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本

空间有什么关系？

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.

我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为

1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合｛1,3,5,7,9).

因此可以用样本空间Q=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)的子集也,3,5,7,9｝表示随机事件A.

类似地，可以用样本空间的子集｛0,3,6,9｝表示随机事件“球的号码为3的倍数”

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了

叙述方便，我们将样本空间Q的子集称为随机事件(randomevent),简称事件，并把只包

含一个样本点的事件称为基本事件(elementaryevent).

随机事件一般用大写字母A,B,C,•••表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本

点出现时，称为事件A发生.

Q作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以

。总会发生，我们称Q为必然事件.

而空集中不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们中称为不可能事件.

必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作

为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间。Q的一个子集.

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。

1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件：

(1)某地1月1日刮西北风；(2)当x是实数时，*3°

⑶手电筒的电池没电，灯泡发亮；

(4)一个电影院某天的上座率超过50%。

(5)如果a>b,那么a—b>0；

(6)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签;

(7)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

(8)随机选取一个实数x,得|x|〈0.

例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个

电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：

M="恰好两个元件正常”；

N="电路是通路”；

T="电路是断路”.

1-43—1

I—{3-----1

1-43—1

(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点.然

后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件.

(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件

的本质，且更便于今后计算事件发生的概率.

【达标检测】

1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中，不可能事件是()

A.3个都是篮球B.至少有1个是排球

C.3个都是排球D.至少有1个是篮球

2.先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x,y,则事件：logy=l

包含的样本点有

(x,y)123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)⑵4)(2,5)(2,6)

3⑶1)(3,2)(3,3)⑶4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5⑸1)(5,2)⑸3)(5.4)(5,5)⑸6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

3.写出下列各随机试验的样本空间：

(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；

(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5)射击靶3次，观察中靶的次数.

4.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2)),观察两个元件

正常或失效的情况.

(1)写出试验的样本空间；

(2)对串联电路，写出事件M="电路是通路”包含的样本点；

(3)对并联电路，写出事件加“电路是断路”包含的样本点.

(Z)—

(2)

5.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个

球

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示事件八="摸到球的号码小于5"，事件B="摸到球的号码大于4”，事

件C="孩到球的号码是偶数”

【课堂小结】

1.随机试验

可重复性、可预知性、随机性

2.样本空间、样本点Q={。，3,…,3}

12n

写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别

注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等.

3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件

参考答案：

学习过程

思考1：共有10种可能结果.

所有可能结果可用集合表示为：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

样本点是随机试验的每个可能的基本结果,样本空间是全体样本点的集合.关于什

么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义.

例1.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可

以表示为。=(正面朝上，反面朝上)，如果用人表示“正面朝上”，

力表示“反面朝上”,则样本空间Q=西正

例2.解：用，,表示朝上面的“点数为？”，

因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，

所以试验的样本空间可以表示为Q={1,2,3,4,5,6).

例3.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，

第二枚硬币可能的基本结果用y表示，

那么试验的样本点可用(％力表示.于是，

试验的样本空间

Q={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}

1.解:(1)Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(2)样本点的总数为16.

(3)“x+y=5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),⑶2),(1,4)；

“水3且y〉l”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

⑷“灯=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1)；“x=y”包含以下4个样本

点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

1.随机事件;必然事件;不可能事件;随机事件;必然事件；随机事件;随机事件;不可能事

件

解：(1)分别用x,x和x表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用

123

(x,x,x)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，

123

则样本空间

Q={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.

(2)“恰好两个元件正常”等价于(x,x,x)CQ,且x,x,x中恰有两个为1,

123123

所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.

“电路是通路”等价于(x,x,x)GQ,x=l,且x,x中至少有一个是1,所以

123123

N={(l,l,0),(1,0,1),(1,1,DJo

同理，“电路是断路”等价于(x,x,x)eQ,x=0,或x=1,x=x=0.所以

1231123

T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)).

可能结果

•-000

—001

…010

…Oil

—100

—101

—110

-Ill

如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.

1.答案:c

解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球，四个选项都是随机事件,进一步C

是不可能事件,D是必然事件.

2.解析先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果.解方程

logy=l得y=2x,

2x

则符合条件的样本点有

(1,2),(2,4),(3,6).

3.解：(1)。={男，女}或令m表示男生，f表示女生，

则样本空间为Q={m,f}.

(2)Q={0,A,B,AB}.

(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”,样本空间为Q={bb,bg,gb,gg}.

(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间

为Q={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1))

(5)Q={(0,1,2,3)}o

4.解：(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为

Q={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)对于串联电路，M={(1,1)).

(3)对于并联电路，N={(0,0)).

5.解：⑴Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

(2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8).

《10.1.1有限样本空间与随机事件》同步练习

一、选择题

1.下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯;

③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边,

则所有的样本点有（）

A.（男,女），（男，男），（女，女）

B.（男，女），（女,男）

C.（男,男），（男，女），（女，男），（女，女）

D.（男,男），（女，女）

3.在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少

有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不

可能事件，③为随机事件，则x=（）

A.5B.6C.3或4D.5或6

4.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是

（）

A.第一枚是3点，第二枚是1点

B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点

C.两枚都是4点

D.两枚都是2点

5.（多选题）下列事件是随机事件的是（）

A.连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上B.异性电荷相互吸引

C.在标准大气压下，水在结冰D.买一注彩票中了特等奖

6.（多选题）已知非空集合A3,且集合A是集合3的真子集，则下列命题为真命题

的是（）

A.“若xeA,则xeB”是必然事件B.“若xeA,则xe5”是不可能事件

C.“若则xeA”是随机事件D.“若8,则龙仁A”是必然事件

二、填空题

7.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚

数.则该试验的样本空间o=

8.在L2,3,4,5这5个自然数中，任取2个数,它们的积是偶数的样本点是

9.某种饮料每箱装6听,其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进

行检测,则检测出至少有1听不合格饮料的样本点有个.

10.已知关于x的二次函数/(》)=⑪2_法+1(4/0),设集合P={1,2,3},

2={-1,1,2,3,4),分别从集合户和。中随机取一个数a和6得到样本点(,切，则使函数

y=/(x)有零点的样本点的个数为.

三、解答题

11.将一枚骰子抛掷两次.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示事件后="向上的点数之和大于8”.

12.大富翁，又名地产大亨，是一种多人策略图版游戏.参赛者分得游戏资金，通过掷

骰子及交易策略，买地、建楼以赚取租金.问题

(1)在大富翁游戏中，抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6

个样本点.若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点.

(2)结合问题1,“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？

ao.1.1有限样本空间与随机事件》同步练习答案解析

一、选择题

1.下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；

③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象.故选：B.

2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，

则所有的样本点有）

A.（男，女），（男,男），（女，女）

B.（男,女）,（女，男）

C.（男,男），（男，女），（女，男），（女，女）

D.（男,男），（女，女）

【答案】C

【解析】由题知所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）.故选:

C.

3.在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少

有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不

可能事件，③为随机事件，则x=（）

A.5B.6C.3或4D.5或6

【答案】C

【解析】依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x=3或4.故

选C

4.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是

（）

A.第一枚是3点,第二枚是1点

B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点

C.两枚都是4点

D.两枚都是2点

【答案】B

【解析】依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样

本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是

2点”.故选：B.

5.（多选题）下列事件是随机事件的是（）

A.连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上B.异性电荷相互吸引

C.在标准大气压下，水在结