2022-2023学年四川省成都市蓉城联盟高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城联盟高二（下）期末数学试卷

（文科）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%|—2cxe2},B={x\x>A/--3)»则4n8=()

A.(-2,2)B.(-2,<3)C.(<3,2)D.(-2,+8)

2.已知i为虚数单位，则复数二等于（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1-i

3.已知函数/'(%)=j若f(x)=8,则x=()

A.-3B.-2C.3D.3或一2

x>0,

4.已知％,y满足约束条件>—y—lW0,则目标函数z=-2x+y的最小值为()

X+y-1<0,

A.-4B.-2C.—1D.1

5.在区间［-2,5］上随机地抽取一个实数x,则%满足/<4的概率为（）

A.|B.|C.D.|

6.若双曲线的渐近线方程为y=±3》，实轴长为2a=2,且焦点在x轴上，则该双曲线的标

准方程为（）

A.%2—y=1或5—X2=1B.y—X2=1

C.x2T=iD.gy2=i

7.设a,0为不同的平面，m,兀为不同的直线，n1a,n1/?,则"m_La"是"mL0"

的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

8.函数/（x）=x+sinx在R上是（）

A.偶函数、增函数B.奇函数、减函数C.偶函数、减函数D.奇函数、增函数

1

9.已知Q=o,b=e05,c=ln2,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

10.一次数学考试中，某班平均分为100分，方差为M,后来发现甲乙两名同学的成绩统计

有误，甲同学的成绩统计为102分，而实际成绩应该是107分；乙同学的成绩统计为110分，

而实际成绩为105分，现重新统计计算，得到方差为N,则M与N的大小关系为()

A.M=NB.M>NC.M<ND.不能确定

11.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2,各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()

AV~~2ITTD287r厂567rT-X7V21/r

A--B--C--D--a-

二、多选题(本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求)

12.若方程xlnx=a(x-1)恰有一个实数根，则实数a的值为()

A.eB.—eC.1D.—1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知方=(2-k,3),K=(2,-6).a//b，则实数k=.

2

14.曲线/+y-2x-6y=0所围成平面区域的面积为.

15.已知过原点的直线与曲线/'(x)=ex相切，则直线的斜率为.

16.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为马+马=l(a>b>0),则椭圆上一点4(出必)

处的切线方程为整+得：=1.试运用该性质解决以下问题：椭圆C：1+y2=i，点B为C在

第一象限中的任意一点，过点B作C的切线2,I分别与x轴和y轴的正半轴交于M,N两点，则

△OMN面积的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

1

已知函数/'(x)=-X3—ax2—3x.

(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=-4x+1平行，求实数a的值；

(2)当a=1时,求函数〃%)的单调区间.

18.(本小题12.0分)

现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与

物理科目组合分别编制.为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随

机抽取了100名学生的物理成绩,将成绩分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格.

(1)求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学

生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自［50,60)的概率.

19.(本小题12.0分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形4BCD为正方形，DEl^ABCD,DE//BF,AD=DE=2,

BF=1.

(1)证明：ACLEF-,

(2)求三棱锥尸-4EC的体积.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆E：今+，=l(a>b>0)的离心率为?，且其中一个焦点与抛物线y2=8x的焦点

重合.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线&y=依+2与椭圆E交于不同的4B两点，且满足而•~OB=-1(。为坐标原点)，

求弦长|/B|的值.

21.(本小题12.0分)

函数/(%)=(%—2)ex—ax2+2ax,aER.

(1)当Q=0时，证明：/(%)4-e>0；

(2)若％=1是/(x)的一个极大值点，求实数a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知曲线C的参数方程为X=1+QCOS6,(。为参数)，直线1的倾斜角为a,且过点P(0,l).

y=1+v2sin9

(1)求曲线C的普通方程与直线，的参数方程;

(2)若直线I与曲线C交于4,B两点，且焉+焉=，石，求直线，的倾斜角a.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A=[x[—2<x<2),B={x\x>

则4nB={x[C<%<2}.

故选：C.

根据集合的交集运算求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】A

22(l+t)2(l+t)«

【解析】解:-----------------------=----------=I

1-i(l-i)(l+i)2

故选：A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

3.【答案】C

【解析】解：当xWO时，/=8,解得x=2,不满足要求，舍去;

当x>0时，2才=8,解得x=3,满足要求.

故选：C.

分xW0与久>0两种情况，求出答案.

本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

将z=-2x+y化为y=2x+z,

观察图形可得，当直线y=2x+z过点B时，z最小，

联立方程匕；；二:二:,，可得贝也加配=-2x1+0=-2.

故选：B.

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

本题主要考查线性规划的应用，利用Z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：因为/<4,所以一2<尤<2,

根据几何概型的概率公式知：P=|4郎=；.

故选：C.

根据不等式可解得-2<x<2,由几何概型的概率公式即可求解.

本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由题可得仁=3,解得£=

12a=23=3

因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为/一9=1.

故选：C.

根据双曲线的性质求解.

本题考查双曲线方程的求法，是基础题，

7.【答案】A

【解析】解：因为九_La,n1/?,所以a〃£,

若m1a,则m1八

若m1。,则m1a.

故选：A.

利用线面垂直和面面平行的知识即可判断.

本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了线面垂直的性质，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=%4-sinx,

则f(一冗)=—X—sinx=一/(%),

所以函数/(%)是奇函数，

f'(_x)=1+cosx>0>

所以/(x)在R上是单调递增的.

故选：D.

由函数奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性.

本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

9.【答案】C

［解析］解：因为0<a=康=蜃='。。32</。。33=1

log32

0<c=ln2<Ine=1,b—eos>e°=1,

In2ln2.Zn3.

又诉=震="2nx放=In3o>lne=41,

所以"2>log32,即b>c>a.

故选：C.

根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：因为102+110=107+105,所以更正后的平均分不变，

又(102-100)2+(110-100)2>(107-100)2+(105-100)2,

所以M>N.

故选:B.

根据已知条件可知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小即可.

本题考查方差的相关知识，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：由已知做出正三棱柱力BC-4B1G，则AB=BC=AC=

AAr=2,

设点M,N分别为正AABC,正△&B1C1的中心，连接MN,则MN=2,

连接CM并延长交于AB于点D,则40=80=1,CM=|cD,

A

设点。为MN中点，连接CO,则点。为正三棱柱ABC-A/】Ci外接球的球心，且MN_L平面ZBC,

ON=0M=1,

因为点M为正△ABC的中心，

所以CD_L4B,

所以CO=VAC2-AD2=V22-l2=V3.贝=手，

因为CMu平面4BC,

所以MN1CM,

则正三棱柱外接球半径R=CO=VCM2+MO2=J(今孕+#=

所以该球的表面积为：4TTR2=47rx公竽.

故选：B.

由己知画出图形，连接上下底面中心MN,则MN的中点即为外接球球心，连接C0,求出C。即可

计算得出外接球的面积.

本题考查球的表面积相关知识，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：令/(%)=xlnx9x6(0,+oo),则/(%)=Inx+1,

当xe(0,；)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当xeg+8)时，f(x)>0,/Q)单调递增，当x=l时，/(x)=0,

当x趋向正无穷大时，/(X)趋向正无穷，故作出y=/(x)的大致图象，如图所示:

由题意，方程%bix=a(x-1)恰有一个实数根，

即函数y=f(%)的图象与直线y=a(%-1)的图象有一个公共点，

易知点(1,0)为函数y=/(%)的图象与直线y=a(x-1)的公共点,

又曲线y=/(%)在点(1,0)处的切线方程为y=%—1,所以Q=1,

显然a40也成立，故实数Q的值为a=1或a40.

故选：BCD.

把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于

中档题.

13.【答案】3

【解析】解：因为弓〃石,

所以(2-k)x(-6)=3x2,解得k=3.

故答案为：3.

由平面向量平行的坐标公式计算即可.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

14.【答案】107T

【解析】解：由/+y2-2x-6y=。得(久-I)2+(y-3)2=10.

则曲线表示的是以(1,3)为圆心，中为半径的圆，

所以曲线所围成平面区域的面积为：兀(口工)2=10兀.

故答案为：10兀.

由方程得出曲线表示的轨迹是圆，求出半径即可求出面积.

本题考查定积分的应用，属于基础题.

15.【答案】e

【解析】解：由题意可得尸(x)=/,

设该切线方程y=且与/(x)=e*相切于点(x(),yo),

00—kx0

x

{%=eo>0,整理得a=1,

(k=f<x°)=ex°

•­k=e,

故答案为：e.

根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】解：设8(%1，丫1)，(%i>0,yi>0),由题意得，过点B的切

线，的方程为：平+y1y=1,

i\q/wxx

令y=0,可得M*40),令x=o,可得N(o,力，>/

1412

所以△OMN面积S=5X7X7=,

zX1Xi

2

又点B在椭圆上，所以a+衣=1，

所以S=—=2X-2(-^_+^1)>4I=2，

x/ix/i'4%-yj4yl«i

当且仅当就=言，即4=，2%=?时等号成立，

所以△OCD面积的最小值为2.

故答案为：2.

设8(x1,yi),(x1>O,y1>O),根据题意，求得过点B的切线［的方程，即可求得M、N坐标，代入

面积公式，即可求得AOMN面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.

本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为/(x)=_aM-3x,所以/'(x)=/-2ax-3,

因为f(x)在点(1)(1))处的切线与直线y=-4x+1平行，所以/''(1)=-4,

即1-2。-3=-4,解得a=l.

(2)当a=1时/'(久)=|x3-x2-3x,则1(x)=x2-2x-3=(x+1)(%-3),

令/'(x)>0,解得x<-l或x>3,所以/(x)的单调递增区间为(一8,-1),(3,+oo),

令尸(x)<0,解得一1<x<3,所以/(%)的单调递减区间为(一1,3).

【解析】(1)求出函数的导函数，依题意可得/'(1)=-4,代入计算可得；

(2)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解

能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）因为10x（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）=1,

所以a=0.025,

由频率分布直方图可知，成绩不少于60分的频率为1一10x（0.005+0.010）=0.85,

即及格率为85%；

（2）由分层抽样可知，成绩在［40,50）,［50,60）分别抽取的人数为6xg=2,6x|=4,

不妨设成绩在［40,50）的2人为%,a2,成绩在［50,60）的4人为瓦,b2,b3,b4,

则任取2人的所有基本事件为：

（%,比），Z>2），（。1也），（。1，匕4），（。2,瓦），（。2，82），（。2,。3），（。2,九），（瓦,占2）,（瓦,坛）,

（kb/电&），（。2也），（坛也），共15个,

其中2人成绩都在［50,60）的有6个，

所以由古典概型知P=A=|.

【解析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解；

（2）由分层抽样得出成绩在2个区间的人数，列出基本事件，由古典概型求解即可.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

19.【答案】解：⑴证明:连接BD交AC于点0,

因为DE//BF,

所以。E与8尸共面，

所以EFu平面BOEF,

因为四边形ABCD为正方形，

所以4c1BD,

又因为DE_L平面4BCD,ACu平面ABCD,

所以。E1AC,

又因为BDu平面BDEF,DEu平面8DEF,BDCDE=D,

所以AC，平面BDEF,

又EFu平面BDEF,

所以4c1EF.

E

(2)连接OF、OE,由⑴得AC_L平面BOEF,

因为OFu平面8DEF,OEu平面BDEF,

所以AC1OF,AC1OE,

因为。El平面4BC0,DE//BF,BOu平面ABC。，

所以DE1DB,BF1DB,

易得OD-OB=7_2.EF=Jl2+(2\T2)2=3，

在Rt△ED。中，EO=VDE2+DO2=J22+(V-2)2=R，

在Rt△BF。中，FO-VOB2+BF2=J(<1)2+l2=C，

因为Ed2+/。2=EF2t

所以E。1FO,

又因为"u平面AEC,E。u平面4EC,ACf]EO=0,

所以F。JL平面4EC,

所以/TEC=15A4EC-F0=|x|x2/1x「x「=2.

【解析】(1)连接8。交4c于点0,首先证明EFu平面BDEF,再根据正方形的性质得出力C，BD,

由DE1平面ZBCD得出。E1AC,即可证明；

(2)连接。尸、0E,证明出OF_1平面4/(7,得出三棱锥F-4EC以△4EC为底，F。为高，根据体积

公式计算即可.

本题考查线面垂直的判定定理与性质，几何体的体积的求解，属中档题.

20.【答案】解：(1)由y2=8x得焦点(2,0),则椭圆的焦点为(2,0),

因为椭圆离心率为好，

所以二？=-=解得a=2V-2,则A?=a2—c2=8—4=4,

2aa

所以椭圆E的方程为1+4=1.

84

(2)设4(%%)，8。2而，

*2y2

由8+4一得,(1+2k2)x2+8kx=0,

y=kx+2

易得d>0,则/+%2=-xr-x2=0,yi•丫2=+2)(k%2+2)=

因为刀•布=-1，

所以**=一1,解得/=

1+2/6

所以|AB|=V1+k2Xyj(xj+x)2—

24XXX2

64k2

Vl+/c2x

(l+2fc2)2

【解析】(1)由抛物线方程得出椭圆的一个焦点，得出c,根据椭圆离心率得出a,再根据炉=a?一©2,

即可写出椭圆方程；

(2)设4(%为)，B(X2，，2)，由直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得出与+%2,E62,％为，

结合成•南=-1得出由弦长公式计算即可.

本题主要考查椭圆的性质及椭圆的方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)当a=0时/(x)=(x-2)eX,则((%)=(x-1)蜻,

所以当%>1时/'(X)>0,当》<1时/'(x)<0,

所以f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(一8,1),

所以“X)在久=1处取得极小值即最小值，即=/(I)=—e，

所以J(*)+e20恒成立.

(2)函数f(%)=(x—2)ex—ax2+2a%定义域为R,且/''(%)=(x—l)ex-2ax+2a=(%—

l)(ex-2a),

当2Q<0,即a<0时e*-2a>0恒成立，

当%>1时f'O)>0,当％V1时(。)<0,

所以/(%)的单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(一8,1),

所以/(X)在x=l处取得极小值，即％=1是f(x)的一个极小值点，不符合题意；

当2a=e,即。=抑/'(%)20恒成立，所以/(%)在R上单调递增，无极值，不符合题意；

当0<2a<e,即0Va<|时，，

令—(%)>0,解得x<bi2a或x>1,令/'(x)<0,解得，n2a<x<l,

所以/'(%)在(-8,/n2a),(1,+8)上单调递增，在2a,1)上单调递减，

所以“乃在久=1处取得极小值，即x=1是/。)的一个极小值点，不符合题意；

当2a>e,即a>卯寸，

令f'(x)>0,解得无<1或#>/n2a,令/'(x)<0,解得l<x<ln2a,

所以/(x)在(一8,1),Qn2a,+8)上单调递增，在(1,仇2a)上单调递减，

所以/(x)在x=