2022-2023学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷含解析

2022-2023学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.cos20°cos25°—sin20°sin25°的值为（）

A.0B.1C.—D.-亨

2

2.复数z=Z詈，则z的虚部为（）

A.2B.2iC.6D.6i

3.方程sin%=x的实数解的个数为（）

A.1B.3C.5D.7

4.如图，为测量出山高MN,选择4和另一座山的山顶C为测量观测点，从4点测得“点的仰

角NM4N=60。，C点的仰角NC4B=45。以及NMAC=75。，从C点测得NMC4=60。，已知山

高BC=100zn,则山高MN为m.（）

A.100B.150C.200D.250

5.已知向量3=（LI）,B=（1,—1）.若（日+/1石）i（4+〃石），则（）

A.入+〃=1B.A4-/z=-1C.=1D,AjU=—1

6.已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，若球的体积是乙则正方体的体积为（）

A丫巧加..R2V-3TT..「2\/-3..八9V3..

A・——IZD.---VC.——VD・-----V

3337rJr

7.在平面四边形/BCD中，已知B+D=zr,AB=2,BC=CD=4,AD=26,

则四边形ABCO的面积是（）

A.4（C+，7）B.4（<^+\T5）C.4（q+H）D.4（^+AT6）

8.在平面直角坐标系中，角a+抛终边经过点P（l,2）,则sina=（）

A2AT5-<75D3<5-<l5「

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.以下结论正确的有()

A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.等底面积、等高的两个柱体，体积相等

C.经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大

D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

10.下列叙述中正确的是()

A.^a//b,b//c，则到"

B.若五=3，则3五>2方

C.己知非零向量d与3且五〃石，则石与族的方向相同或相反

D.对任一非零向量五■是一个单位向量

11.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的

噪声，然后降噪芯片生成与喽声振幅相同、相位相反的声波来抵

消噪声，设噪声声波曲线函数为y=f(x),降噪声波曲线函数为

y=g(x)，已知某噪声的声波曲线函数=Asin(cox+3)(3>

0,即|<方的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

A./(%)=-g(x)

B./(x)=2sin(2x+

C.曲线y=g(x)的对称轴为x=^^兀+・

D.将y=/(x)图象向左平移兀个单位后得到y=g(x)的图象

12.在△ABC中，角B,C的对边分别为a,b,c,a=3,4=。为△ABC的外心，则

()

A.若44BC有两个解，则3<c<20

B.瓦？•前的取值范围为

C.瓦丁瓦f的最大值为9

D.若B,C为平面上的定点，则4点的轨迹长度为争「兀

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

已知则嘿篝篝掾的值为

14.如图，直角梯形4BCD中，4B〃CD,4B_L40,4B=1，AD=<3

CD=2、则瓦f•前=

15.己知9为第二象限角、化简cos。I;鳖+s讥。门三照=.

16.用一张正方形纸片(不能裁剪)完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个

正方形的边长至少是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知2、3是同一平面内的两个向量，其中d=(3,3),b=(-2,1).

⑴求|d+2亩的值;

(2)求d在It的投影.

18.(本小题12.0分)

已知复数z满足z+z=2，z—z=4i.

(1)求|3+刁；

(2)设复数zz,z+2z，产在复平面内对应的点分别为4,B,C,求cos＜希，＞.

19.(本小题12.0分)

在44BC中，角4、B、C所对的边分别为a,b,c.己知△4BC的周长为，2+1,且sin4+sinB=

\T~2sinC-

(1)求边c的长：

(2)若△ABC的面积为卜讥C,求角C的大小.

20.(本小题12.0分)

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知4夕=4,B/C=l,A'D'=

I，且A'D7/B'C.

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形4BCD并求面积;

(2)将原平面图形4BCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

21.(本小题12.0分)

设函数/(x)=2sinxcos(x——孑工若锐角△ABC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,

△ABC外接圆的半径为R,acosB-bcosA=R.

(1)若f(A)=l,求B；

(2)求与三的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=sin(a>x+勿)-1(3>0,0<,<兀)的图像两相邻对称轴之间的距离是若

将〃%)的图像上每个点先向左平移行个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数g(x)为

偶函数.

(1)求/'(X)的解析式；

(2)若对任意％e[0,，[f(x)]2-(2+7n)/(x)+2+m<0恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数/i(x)=2/(x)+3的图像在区间[a,b](a,beR且a<b)上至少含有30个零点，在所

有满足条件的区间[a,0上，求b-a的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为cos20°cos25°—s»20°sin25°

cos(20°+25°)

故选：C.

直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论.

本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用.在应用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式

中的符号的写法，避免出错.

2.【答案】A

【解析】解：z==—=6+2i,其虚部为2.

故选：A.

先对Z化简，再结合虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：方程sinx=x的实数解的个数即为函数y=sinx与y=x的交点个数，

在同一坐标系中作出y=sinx与y=x的图象，如图所示：

尸$inx,rER

由此可得y=si?i%与y=%只有一个交点(0,0),

所以方程sinx=x的实数解的个数为1,即x=0.

故选：A.

画出y=sinx与y=x的图象，由两函数的交点个数即可得答案.

本题考查了转化思想，数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意：C点的仰角NC4B=45。，山高BC=100m,

勾股定理，可得AC=100<7.

在△MC4中，/.MAC=75°,/.MCA=60°,那么NAMC=45。

AC=100<2.

正弦定理：AMxsinz.>lMC=ACxsin^MCA

即AMxsin45°=ACxsin60°

可得：AM=lOOC.

在RtAMAN中，/.MAN=60°,

可得：MN=100/^xsin60°=150.

故选：B.

根据C点的仰角NC4B=45。，山高8c=100m,利用勾股定理求解出AC,正弦定理求解出AM,

在^MAN中即可求解山高MN.

本题考查正弦定理在三角形的实际应用，考查计算能力.属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：1=(1,1),b=(1,-1)-

二a+4b=(A+1,1—A)'a+〃b=+1,1—

由0+zlB)_L(五+〃B)，得Q+1)(〃+1)+(1-A)(l-M)=0,

整理得：24〃+2=0,BPA/z=-1.

故选：D.

由已知求得2+；1弦与五+的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设正方体的棱长为a,则其对角线长为=

正方体外接球的半径R=?a,由题意可得gzr•(?a)3=K，

解得：口3=署=空.

V37r37r

•••正方体的体积为姿八

故选：C.

设正方体的棱长为a,可得其外接球的半径，由球的体积公式可得a与U的关系，则答案可求.

本题考查正方体及其外接球的体积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：如图，连接4C,依题意可知：zB+zD=n,即4。=兀一/8,

又4B=2,BC=4AT2.CD=4,AD=

在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB■BC-cosB=

22+(4V-2)2-2x2x4yJ~2cosB=36-16<2cosB-

在△4CD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2-2AD-DC-cosD=

(2AT5)2+42-2x2cx4cosD=36-16>J~5cosD

=36+16V_5cosB>

36—16HcosB=36+16>/-5cosF>

解得：cosB=0,则B=D=90°,

则四边形ABCD的面积是S-BC+S—DC=；x4BxBC+^ADxOC=；x2x4，7+jx4x

2厅=^T2+4c.

故选:B.

在三角形ABC中，利用余弦定理得至I]4c2=AB2+BC2-2AB-BC-COSB,将力B,BC的值代入表

示出4。2,在三角形A。。中，由余弦定理得到AC2=4D2+DC2-24D-DC-COSD,将AD,DC的

值，以及表示出的40代入，利用诱导公式化简，根据4c相等，列出关系式，求出cosB的值，即

可求得。，B,从而求得四边形ABC。的面积.

本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及四边形的内角和定理，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：由题意知sin(a+今=亮，cos(a+5=右，

则sina=sin[(a+§—§=sin(a+1)cos|-cos(a+今sing=^=x|-^=x^=

故选：A.

先利用任意角的三角函数的定义求出sin(a+学和cos(a+)再利用两角和与差的三角函数公式

即可求出sina的值.

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及两角和与差的三角函数公式，是基础题.

9.【答案】AB

【解析】解：对4选项，•••侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，二A选项正确；

对B选项，根据柱体的体积公式可得：等底面积、等高的两个柱体，体积相等，选项正确；

对C选项，当圆锥的轴截面面积是顶角为钝角的等腰三角形时，轴截面面积不是最大，

此时当经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为等腰直角三角形时，截面面积最大，・•.(:选项错误;

对D选项，当其余四个面的等腰梯形的所有腰的延长线不交于同一点时，不是棱台，；.。选项错误.

故选：AB.

根据棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，即可分别判断.

本题考查棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，属基础题.

10.【答案】CD

【解析】解：A：若6=0时，a//b<b//c>一定有益〃房错误；

B-.向量不能比较大小，错误；

C-.非零向量4与B且五〃3，贝展与3的方向相同或相反，正确；

D：非零向量落则高是一个单位向量，正确.

故选：CD.

4注意坂=6即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；0由单位向量的定义判

断.

题考查了平面向量的定义与性质的应用问题，也考查了分析与判断能力，是基础题.

II.【答案】ABC

【解析】解:由已知,g(x)=Asin[-(G)x4-(p)]=—Asin3%+w)=一/(%),所以/(%)=-g(x)，

选项A正确；

因为3>0,所以由图象知，弱=者-招=》解得7=兀，所以3=票=2,

又因为f砥)=As讥(2x居+0)=0,且“招在f(x)的单调递减区间上，

所以2x号+0=等+0=2/OT+兀，(keZ),因为所以W=*,

又因为f(0)=Asi唯=1,所以4=2,所以/(无)=2s讥(2%+9选项8正确；

对于函数g(x)=-2sin(2x+?),

令2%+^=上兀+白，fcGZ,求得刀=2卜兀+】fcGZ,

6226

所以曲线y=g(x)的对称轴为工=+5,keZ,选项C正确；

把/(x)=2sin(2x+弓)的图像向左平移兀个单位，

得到y=2sin[2(x+兀)+刍=2sin(2x+2+2兀)=2sin(2x+?)=f(%)的图像，

所以选项。错误.

故选：ABC.

由函数的图象求出/(x)的解析式，依据题意得出g(x)的解析式，再对各选项判断正误即可.

本题考查了三角函数的图象与性质，以及图象平移变换应用问题，也考查了运算求解能力，是中

档题

12.【答案】AB

【解析】解：对于4△4BC中，a=3,4=|,若44BC有两个解，则csinA<

a<c,

即?c<3<c，解得3<c<2q，所以选项A正确;

对于B,由正弦定理得亮=2R,所以R=/=q

oITi/iZX—

设乙40c=0,则NBOC=2兀一专一”与一仇其中6€(0号),

所以次-BC=01-(0C-OF)

^OAOC-OA'OB

47r

—3cos0—3cos(——8)

=3(^cos6+?sin8)

=3<3sin(0+J

因为06(0号)，所以片)，所以sin(6+,HTl],

所以3Csin(0+$6[-3，3,3/3],选项8正确；

对于C,BA-JC=(OA-'OB)■(OC-OB)

^OAOC-OAOB-'OBOC+OB2

=3cos。—3cos(——0)—3cos—+3

=3Csin(e++|G[1-3^,|+3AT3],选项C错误；

对于C,A=^,。为△力BC的外心，所以NBOC=第

所以点4的轨迹是优弧BC,不包括端点，

计算优弧长为|x2nR=殍兀，选项D错误.

故选：AB.

选项A中，根据△4BC有两个解，满足cs讥4<a<c,由此求出c的取值范围；

选项8中，由正弦定理以及平面向量的数量积，即可求出面•瓦:的取值范围；

选项C中，利用选项8的结论，即可求出瓦？.近的取值范围；

选项。中，根据题意，结合图形得出点4的轨迹是优弧BC,不包括端点，由此求出轨迹长度.

本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

13.【答案】1

【解析】解：因为tan。=2，

所以sin(e+，)-2sin(8-1)——sind+2cos3_—tand+2__1+2_

,cos(-0)+sin(?r-0)cosb+sin。l+tan0n-l*

故答案为：1.

由已知利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解.

本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

14.【答案】2

【解析】解：■.•BD=AD-AB^BC=BD+DC=AD-AB+2AB=AD+AB^

22

.-.BC-^D=(AD+AB)-(AD-AB)=AD-AB=3-1=2-

故答案为：2.

由平面向量的线性运算将前，配用费,而表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.

15.【答案】sin。-cos。

【解析】解：。为第二象限角，

sinO>0,cosd<0,

cos。店耍+sin。I』

y]1+sinSyjl+cos0

=res。"附2।c(1-COS6)2

个(l+sine)(l-sin。)J(1-COS0)(1+COS0

八八

=cos0•-l-——sin—0+,si.nO-l-।cos0

\cosO\|sin0|

=—(1—sind')+1—cos0

=sind—cosd.

故答案为：sind-cosd.

根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的同角公式，即可求解.

本题主要考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的同角公式，属于基础题.

16.【答案】再生

【解析】解：由题意得，将正四棱锥沿底面将侧面都

展开，得到如图所示的平面展开图，

可得当以P'P为正方形的对角线时所需正方形的面积

最小，

此时这个正方形的边长也最小，设此时正方形的边长

P'

为X,

则有Sx=l+2x?=l+y/~l，

变形可得X=匕裂.

故答案为：£2+£6.

根据题意，将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开图的形状可得包装纸的对角线处在如图所

示的P'P位置时，包装纸面积最小，由此结合正三角形和正方形的性质加以计算，即可获得问题的

解答.

本题考查四棱锥的侧面展开图，涉及正方形和正三角形的性质等知识，属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为日=(3,3),6=(-2,1).

所以得到五+2方=(-1,5).

故|五+2E|=V1+52=<26.

(2)根据投影的定义可知，石在3上的投影数量为|为|cos<a,b>=需=-亨・

【解析】(1)利用向量的坐标运算直接求解即可.

(2)利用投影的定义，先求出投影数量，再求出单位向量，即可得出答案.

本题主要考查向量的投影，属于中档题.

18.【答案】解：(1)复数z满足z+z=2,z—z=4八

所以z=1+2i,

所以z-1—2i,

故|3+句=|4-2i|=V16+4=2门；

(2)由(1)得zW=(1+2i)(l-2i)=1-4i2=5,

则4(5,0),

z+2z=1+2i+2-4i=3-2i,则B(3,-2),

竺=磊=竺辛1=2—43贝北(2,—4),

zl+2i5v

所以荏=(-2,-2),~BC=(-1,-2)..

tF寸、AB-JC63CU

故+fcos<4B，BC==—.

【解析】(1)根据已知条件，结合共辄复数的定义，复数模公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出4B,C,再结合向量的夹角公

式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

19.【答案】解：（1）由sinA+s讥8=及正弦定理可知：a+b=yTlc----（2分）

又a+b+c=+1

:.y/~2c+c=y/~~2+1

从而c=1-------（4分）

（2）三角形面积S=^absinC=jsrnC--------（6分）

••ab=^,a+b=V-2--------------（8分）

•・•cosC

2ab（10分）

（a+b）2—2a6—1_1

2ab=2

-----------（12分）

又0<C<TT,

...c==-------------(14分)

【解析】(1)通过sin4+s讥B=CsbiC，利用正弦定理a，b，c的关系，通过△ABC的周长为-2+1，

即可求边c的长；

(2)直接利用AZBC的面积公式求出面积为分讥C,求出a,b,c关系，利用余弦定理求出C的余弦

O

函数值，然后求角C的大小.

本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力，

20.【答案】解：(1)根据题意，直观图中，A'B'=4,B'C=I,4D'=|，且

A'D'//B'C.

将梯形ABC。为还原的平面图形，作CEJ.4D交40于点，如图：

因为40=5,AB=4,BC=2,

所以DE=3,EC=4,DC=5,

（2x5）x4

所以&BC。14;

2

(2)根据题意，将原平面图形ZBCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去

一个以EC为底面半径的圆锥，

圆锥的底面半径EC=AB=4,母线DC=5,则S倒锥网=兀x4x5=20兀，

圆柱的底面半径AB=4,高4)=5,

则S版笛姆=2兀X4X5=40/r,S圆柱下底=16兀，

所以所形成的几何体的表面积为S=S圆锥例j+S圆柱侧+S圆柱下底=207r+407r+167T=76兀，

其体积%柱=7TX42X5=807T,

所形成的几何体的体积为v=V圆柱-V圆锥=8011_16兀=647r.

【解析】(1)根据题意，由斜二测画法分析可得原图，进而计算其面积可得答案；

(2)分析可得：将原平面图形ZBCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以4B为底面半径的圆柱挖去

一个以EC为底面半径的圆锥，由此计算可得答案.

本题考查组合体的表面积、体积计算，涉及斜二测画法，属于基础题.

21.【答案】解：(1)由题意得/'(x)=2sinx•(gcosx+殍sinx)—?=sinx•cosx—?(1—

2sin2x)=^sin2x-?cos2x=sin(2x-1)，

则sin(24一》=1,

又。<4<*

所以24*=看解得4=全，

sinAsinBsinC

则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

由acosB-bcosA=R,有2RsinAcosB—2RsinBcosA=R,得sin(4—8)=；,

因为4BG(O^),所以A—BE(一捐)，

所以4-8=也

o

故B=?

⑵由⑴知，4建+B,

所以C=兀一(A+B)=:一2B,

(0<A<^(0<l+B<^

2oz

因为B|jJo<8<^,所以Be(辅)，

0<C<20<^-2B

I4162

57r

则R-c_R-2RsinC_l-2sMC_l_2s讥(『28)_1一的28-，3sE2B_ZsiMa-zdsEBcosB__

b2RsinB2sinB2sinB2sinB2sinBSin

\T~3COSB=2sin(B—5)»BE(?!?)>有B—ge(一，,0),

ooooo

所以2s讥(B*)G(-1,0),

所以一的取值范围为(-1,0).

【解析】(1)先利用三角恒等变换化简/(x),解出4=招，再用正弦定理解三角形即可；

(2)先得出B