2020-2021学年天津市东丽区高一（下）期末数学试卷解析版

2020-2021学年天津市东丽区高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.

1.复数z=2-3i的虚部为（）

A.-3B.3C.2D.-3i

2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件4="第一枚出现奇数点”，事件8="第二枚出现

偶数点”，则A与8的关系是（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

3.已知向量e2是两个不共线的向量，若；=2e[-62与芯=e1+入e2共线，则入=（）

B.-2C.-4

A.2

2

4.在△A8C中,已知a—y[l2,6=4,c=3,则cosA=（

R.返C.近。・考

5.有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码

最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能

开锁的概率为（）

1111

A.qB.nC.——D.A

10310210104

6.若样本数据xi,Xi,,,,,xio标准差为8,则数据212-1,…，2xio-1的标准差

为（）

A.8B.64C.32D.16

为的中点.若菽•布=1，则

7.在平行四边形A3C。中，AD=19ZBAD=60°ECD

AB的长为（）

A.1B.返C.《

D.2

22

8.在空间中，下列命题正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两条直线平行；

③平行于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一个平面的两条直线平行.

A.①③④B.①②③④C.①D.①④

9.如图，正方体ABCD-ALBICLDI的棱长为1,E、尸分别为棱A。、BC的中点，则平面

GOiEF与底面ABC。所成的二面角的余弦值为（)

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

10.若，为虚数单位，复数z：¥-，则回=___.

1+1

11.若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为.

12.已知向量软，b其中IakJW"H=2，且（a+b，，a，则向量a与b的夹角是-

13.样本容量为10的一组样本数据依次为：3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的

第50百分位数是,第75百分位数是.

14.小明爸爸开车以80%//?的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在

点A处望见电视塔P在北偏东30。方向上,15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°

方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是km.

15.如图，若正方体ABC。-ABiGDi的棱长为1,则异面直线AC与42所成的角的大小

是；直线48和底面ABCO所成的角的大小是.

G

AB

三、解答题(共5小题，满分45分)

16.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为自和;.

(1)求2个人都译出密码的概率；

(2)求2个人都译不出密码的概率；

(3)求至多1个人译出密码的概率；

(4)求至少1个人译出密码的概率.

17.已知向量软=，k),b=(°，-1),c=(1，)・

(I)若求左的值；

(II)当上=1时，之-入]与"^共线，求人的值；

(III)若，l=E后,且7与W的夹角为150°,求目2a

18.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其

中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高

校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、

生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分，2020年初受疫情影响，

全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选

科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分

成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260)

280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)由频率分布直方图；

(z)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

(»)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表)；

(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩

在［220,240)和［260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7

名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

19.在△ABC中，-\[2flcosB=bsinA.

(I)求N&

(II)若6=2,c=2a,求△ABC的面积.

20.如图，在三棱柱ABC-A向G中，AA」底面ABC,且△ABC为正三角形，AAi=AB=

6,。为AC的中点.

(1)求证：直线〃平面BCLD；

(2)求证：平面平面ACGA；

(3)求三棱锥的体积.

参考答案

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.

1.复数z=2-3z.的虚部为（）

A.-3B.3C.2D.-3i

解：复数z=2-3i的虚部为-3.

故选：A.

2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A="第一枚出现奇数点”，事件2="第二枚出现

偶数点”，则A与2的关系是（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下,

①（奇数，奇数），②（奇数，偶数），③（偶数，奇数），④（偶数，偶数），

事件A=”第一枚出现奇数点"={①，②},

事件3=”第二枚出现偶数点”={②，④},

两个事件不相等，排除。，

ACBW0,所以不是互斥事件，排除A,B,

Q1

C选项，事件A=”第一枚出现奇数点"，p⑷=2=（，

o2

21

事件8="第二枚出现偶数点"，P（B）=2=（，

o2.

_3X3_1

事件43="第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB）

36

满足尸(AB)=P(A)*P(B),

所以事件A和事件B是相互独立事件,

故选：C.

3.已知向量e],a之是两个不共线的向量,若@=2巳]-*2与b=e]+入e?共线，则入=（)

A.2B.-2C.-4D.4

22

解：a=2巳［-巳2与b=巳］+入e2共线，

，心=总20，

，・・，■・，，■―・，・

:・k（2巳］-©2）=巳［+入巳2,

・・,向量力,22是两个不共线的向量，

解得入=_/

故选：C.

4.在△ABC中，已知〃=m，/?=4,c=3,则cosA=(

A.—B.返C.遮

222D.平

解：在△ANC中，已知b=4,c=3,

12.22n2.J2•<Qi

所以：cosA=-------―a—J-----4T。1二-.

2bc2X4X32

故选：A.

5.有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在。到9这十个数字中任选，某人忘记了密码

最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能

开锁的概率为（）

1111

A.qB.nC.--D.A

10310210104

解：所求只有最后的一位需要确定，这个位置上的数字在。到9这十个数字中任选，共

有10种方法，能开锁的只有I个，所以概率为击.

故选：C.

6.若样本数据制，X2,…，X10标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…，2xio-1的标准差

为（）

A.8B.64C.32D.16

解：设样本数据尤1,及，…，xio标准差为倔，则而=&即方差Z）X=64,

数据2尤1-1,2尤2-1,…，2xio-1的方差为。（2尤-1）=2W=22X64=256,

数据2xi-1,2x2-1,2xio-l的标准差为&^=16.

故选：D.

7.在平行四边形ABC。中，AD=1,ZBAD=60°,E为CD的中点.若立•强=1，则

AB的长为（）

A.1B.返C.—D.2

22

解：在平行四边形ABC。中，AD=1,ZBAD=60°,E为CO的中点.

,>...*1...~l.

则AC=AB+AD，CE=qBA+BC=AD”AB，

因为菽•禅=1，所以(屈+屈)*(AD-j-AB)=1，

即AD-AB+yAB・AD=l，1-5屈力XIX|AB|X彳=1,解得|黜|=亍

故选：C.

8.在空间中，下列命题正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两条直线平行；

③平行于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一个平面的两条直线平行.

A.①③④B.①②③④C.①D.①④

解：由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；

垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故②错误;

平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故③错误;

由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故④正确.

故选：D.

9.如图，正方体ABCD-ALBICLDI的棱长为1,E、尸分别为棱A。、BC的中点，则平面

CLDIEF与底面ABC。所成的二面角的余弦值为（）

2娓

~5~。・噜

解：根据题意，石/，平面ADA4,

：.EDi.LEF,EDLEF,

・・・ZDiED是平面CiDiEF与底面ABCD所成的二面角的平面角,

故选：B.

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

1-71

10.若i为虚数单位，复数z=V、，则出=5

1+1

(1-i)

解:zTd(l+i)(l-i)~-3-4i,

则闭=V(-3)2+(-4)2=5'

故答案为：5.

11.若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为3n.

解：设正方体的棱长为。，则6a2=6,得a=l.

•••正方体的对角线长为

正方体外接球的半径为府.

,正方体外接球的表面积s=4冗X（零）2=3冗.

故答案为：37T.

12.已知向量H，其中后=2,且（Z+E）~LZ，则向量Z与而勺夹角是150°

解：：Ia|-A/3,IbI=2，且（a+b）_L

•1-a2+|"a|•|b|cos<a>b>=0,

即3+2愿cos<a,b>=。,

解得cos<a,b>=-^^，

，向量之与己的夹角是150。，

故答案为：150。.

13.样本容量为10的一组样本数据依次为：3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的

第50百分位数是5,第75百分位数是7.

解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,

从小到大排列为：0,1,2,3,4,6,6,7,8,9,

V10X50%=5,

该组数据的第50百分位数是誓=5,

V10X75%=7.5,

第75百分位数是7.

故答案为：5,7.

14.小明爸爸开车以S0km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在

点A处望见电视塔P在北偏东300方向上,15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°

方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是10后km.

15

解：如图，由已知可得，A3=80义妥=20

60

在AABS中，ZBAS=30°,AB=20,ZABS=180°-75°=105°,ZASB=45°

BSAB

由正弦定理可得•

sin300sin450

.”_ABsin30°_20Xq

"BS=sin45°;返=18历

故答案为1072

北

15.如图，若正方体A8CO-48ICLDI的棱长为1,则异面直线AC与A1所成的角的大小

是60°；直线AiB和底面ABCD所成的角的大小是45。.

连接4G,-：AAi//CCi,AAi^CCi,

四边形AACC为平行四边形，可得4Ci〃AC,

...异面直线AC与ALB所成的角即为/BAiCi,连接BG,

则△BA1C1为等边三角形，.,.异面直线AC与A18所成的角的大小是60°；

正方体ABCD-AiBiCiDi的侧棱A4i_L底面ABCD,

.♦./AbBA为直线48和底面48CQ所成的角，大小为45°.

故答案为：60°；45°.

三、解答题(共5小题，满分45分)

16.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为]•和;.

(1)求2个人都译出密码的概率；

(2)求2个人都译不出密码的概率；

(3)求至多1个人译出密码的概率；

(4)求至少1个人译出密码的概率.

解：记甲独立译出密码为事件4乙独立译出密码为事件2,

且A,8为相互独立事件，且尸(A)=]■,P(B)=；,

OTE

贝IJ(1)P(AB)=P(A)P(B)=±,

-----1

⑵P(AB)=P(A)P(B)=y-

(3)P=1-P(AB)=1会考，

—231

(4)P=l-P(AB)=l-*X—$

342

17.已知向量k),E=(O,T)，3=(1，

(I)若求左的值；

(ID当％=1时，之-入石与1共线，求入的值；

(III)若苒=«阴，且，与W的夹角为150。，求$+2/

解：(I)a_Lc'>",a*c=O,>'•Vs+V3k=0,解得k=-1；

(II)k=1,，a=G/§,1)'又b=(0,-1)，；•a-入b=卜人).

,北-入防《共线,，加X«Y1+入)=0,解得入=2;

(III)|b|=Vo+(-l)2=1,>'•|m|=V3-

又7与W的夹角为150。,|c|=71+(V3)2=2-

,,m,c=ImIIc|cosl500=V3x2Xcos150*=-3,

Im+2cI=7m2+4m'c+4c2=V(V3)2+4X(-3)+4X22=V7-

18.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其

中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高

校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、

生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分，2020年初受疫情影响，

全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选

科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分

成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260)

280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)由频率分布直方图；

(力求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

(»)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同•组中的数据用

该组区间的中点值作代表)；

(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩

在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7

名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+4+0.0025)X20=l,

解得<7=0.005.

(2)(z)(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,

•••三科总分成绩的中位数在［220,240)内，设中位数为x,

则(0.002+0.0095+0.011)X20+0.0125X(%-220)=0.5,

解得x=224,即中位数为224.

(拓)三科总分成绩的平均数为：

170X0.04+190X0.19+210X0.22+230X0.25+250X0.15+270X0.1+290X0.05=225.6.

(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别为25人，10人,

7

抽样比为1

25+105

，三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内抽取的学生数量分别为：25X4-=5

人，10义看=2人，

D

设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，

从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,

基本事件总数"=(^=21,

事件A包