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文档简介
2020-2021学年天津市东丽区高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共9小题,每小题5分,共45分).
1.复数z=2-3i的虚部为()
A.-3B.3C.2D.-3i
2.抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件4="第一枚出现奇数点”,事件8="第二枚出现
偶数点”,则A与8的关系是()
A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等
3.已知向量e2是两个不共线的向量,若;=2e[-62与芯=e1+入e2共线,则入=()
B.-2C.-4
A.2
2
4.在△A8C中,已知a—y[l2,6=4,c=3,则cosA=(
R.返C.近。・考
5.有一个三位数字的密码锁,每位上的数字在0到9这十个数字中任选,某人忘记了密码
最后一个号码,那么此人在开锁时,在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能
开锁的概率为()
1111
A.qB.nC.——D.A
10310210104
6.若样本数据xi,Xi,,,,,xio标准差为8,则数据212-1,…,2xio-1的标准差
为()
A.8B.64C.32D.16
为的中点.若菽•布=1,则
7.在平行四边形A3C。中,AD=19ZBAD=60°ECD
AB的长为()
A.1B.返C.《
D.2
22
8.在空间中,下列命题正确的是()
①平行于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两条直线平行;
③平行于同一个平面的两条直线平行;
④垂直于同一个平面的两条直线平行.
A.①③④B.①②③④C.①D.①④
9.如图,正方体ABCD-ALBICLDI的棱长为1,E、尸分别为棱A。、BC的中点,则平面
GOiEF与底面ABC。所成的二面角的余弦值为()
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
10.若,为虚数单位,复数z:¥-,则回=___.
1+1
11.若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为.
12.已知向量软,b其中IakJW"H=2,且(a+b,,a,则向量a与b的夹角是-
13.样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的
第50百分位数是,第75百分位数是.
14.小明爸爸开车以80%//?的速度沿着正北方向的公路行驶,小明坐在车里向外观察,在
点A处望见电视塔P在北偏东30。方向上,15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°
方向上,则汽车在点B时与电视塔P的距离是km.
15.如图,若正方体ABC。-ABiGDi的棱长为1,则异面直线AC与42所成的角的大小
是;直线48和底面ABCO所成的角的大小是.
G
AB
三、解答题(共5小题,满分45分)
16.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为自和;.
(1)求2个人都译出密码的概率;
(2)求2个人都译不出密码的概率;
(3)求至多1个人译出密码的概率;
(4)求至少1个人译出密码的概率.
17.已知向量软=,k),b=(°,-1),c=(1,)・
(I)若求左的值;
(II)当上=1时,之-入]与"^共线,求人的值;
(III)若,l=E后,且7与W的夹角为150°,求目2a
18.2020年开始,山东推行全新的高考制度,新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其
中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高
校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、
生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分,2020年初受疫情影响,
全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选
科目进行线上检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以组距20分
成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260)
280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中。的值;
(2)由频率分布直方图;
(z)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;
(»)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表);
(3)为了进一步了解选科情况,由频率分布直方图,在物理、化学、生物三科总分成绩
在[220,240)和[260,280)的两组中,用分层随机抽样的方法抽取7名学生,再从这7
名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
19.在△ABC中,-\[2flcosB=bsinA.
(I)求N&
(II)若6=2,c=2a,求△ABC的面积.
20.如图,在三棱柱ABC-A向G中,AA」底面ABC,且△ABC为正三角形,AAi=AB=
6,。为AC的中点.
(1)求证:直线〃平面BCLD;
(2)求证:平面平面ACGA;
(3)求三棱锥的体积.
参考答案
一、选择题(共9小题,每小题5分,共45分).
1.复数z=2-3z.的虚部为()
A.-3B.3C.2D.-3i
解:复数z=2-3i的虚部为-3.
故选:A.
2.抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A="第一枚出现奇数点”,事件2="第二枚出现
偶数点”,则A与2的关系是()
A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等
解:由题可知,抛掷两枚质地均匀的骰子,第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下,
①(奇数,奇数),②(奇数,偶数),③(偶数,奇数),④(偶数,偶数),
事件A=”第一枚出现奇数点"={①,②},
事件3=”第二枚出现偶数点”={②,④},
两个事件不相等,排除。,
ACBW0,所以不是互斥事件,排除A,B,
Q1
C选项,事件A=”第一枚出现奇数点",p⑷=2=(,
o2
21
事件8="第二枚出现偶数点",P(B)=2=(,
o2.
_3X3_1
事件43="第一枚出现奇数点,第二枚出现偶数点”,P(AB)
36
满足尸(AB)=P(A)*P(B),
所以事件A和事件B是相互独立事件,
故选:C.
3.已知向量e],a之是两个不共线的向量,若@=2巳]-*2与b=e]+入e?共线,则入=()
A.2B.-2C.-4D.4
22
解:a=2巳[-巳2与b=巳]+入e2共线,
,心=总20,
,・・,■・,,■―・,・
:・k(2巳]-©2)=巳[+入巳2,
・・,向量力,22是两个不共线的向量,
解得入=_/
故选:C.
4.在△ABC中,已知〃=m,/?=4,c=3,则cosA=(
A.—B.返C.遮
222D.平
解:在△ANC中,已知b=4,c=3,
12.22n2.J2•<Qi
所以:cosA=-------―a—J-----4T。1二-.
2bc2X4X32
故选:A.
5.有一个三位数字的密码锁,每位上的数字在。到9这十个数字中任选,某人忘记了密码
最后一个号码,那么此人在开锁时,在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能
开锁的概率为()
1111
A.qB.nC.--D.A
10310210104
解:所求只有最后的一位需要确定,这个位置上的数字在。到9这十个数字中任选,共
有10种方法,能开锁的只有I个,所以概率为击.
故选:C.
6.若样本数据制,X2,…,X10标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2xio-1的标准差
为()
A.8B.64C.32D.16
解:设样本数据尤1,及,…,xio标准差为倔,则而=&即方差Z)X=64,
数据2尤1-1,2尤2-1,…,2xio-1的方差为。(2尤-1)=2W=22X64=256,
数据2xi-1,2x2-1,2xio-l的标准差为&^=16.
故选:D.
7.在平行四边形ABC。中,AD=1,ZBAD=60°,E为CD的中点.若立•强=1,则
AB的长为()
A.1B.返C.—D.2
22
解:在平行四边形ABC。中,AD=1,ZBAD=60°,E为CO的中点.
,>...*1...~l.
则AC=AB+AD,CE=qBA+BC=AD”AB,
因为菽•禅=1,所以(屈+屈)*(AD-j-AB)=1,
即AD-AB+yAB・AD=l,1-5屈力XIX|AB|X彳=1,解得|黜|=亍
故选:C.
8.在空间中,下列命题正确的是()
①平行于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两条直线平行;
③平行于同一个平面的两条直线平行;
④垂直于同一个平面的两条直线平行.
A.①③④B.①②③④C.①D.①④
解:由平行公理可得,平行于同一条直线的两条直线平行,故①正确;
垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系,平行、相交或异面,故②错误;
平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系,平行、相交或异面,故③错误;
由直线与平面垂直的性质可得,垂直于同一个平面的两条直线平行,故④正确.
故选:D.
9.如图,正方体ABCD-ALBICLDI的棱长为1,E、尸分别为棱A。、BC的中点,则平面
CLDIEF与底面ABC。所成的二面角的余弦值为()
2娓
~5~。・噜
解:根据题意,石/,平面ADA4,
:.EDi.LEF,EDLEF,
・・・ZDiED是平面CiDiEF与底面ABCD所成的二面角的平面角,
故选:B.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
1-71
10.若i为虚数单位,复数z=V、,则出=5
1+1
(1-i)
解:zTd(l+i)(l-i)~-3-4i,
则闭=V(-3)2+(-4)2=5'
故答案为:5.
11.若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为3n.
解:设正方体的棱长为。,则6a2=6,得a=l.
•••正方体的对角线长为
正方体外接球的半径为府.
,正方体外接球的表面积s=4冗X(零)2=3冗.
故答案为:37T.
12.已知向量H,其中后=2,且(Z+E)~LZ,则向量Z与而勺夹角是150°
解::Ia|-A/3,IbI=2,且(a+b)_L
•1-a2+|"a|•|b|cos<a>b>=0,
即3+2愿cos<a,b>=。,
解得cos<a,b>=-^^,
,向量之与己的夹角是150。,
故答案为:150。.
13.样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的
第50百分位数是5,第75百分位数是7.
解:样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,
从小到大排列为:0,1,2,3,4,6,6,7,8,9,
V10X50%=5,
该组数据的第50百分位数是誓=5,
V10X75%=7.5,
第75百分位数是7.
故答案为:5,7.
14.小明爸爸开车以S0km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,小明坐在车里向外观察,在
点A处望见电视塔P在北偏东300方向上,15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°
方向上,则汽车在点B时与电视塔P的距离是10后km.
15
解:如图,由已知可得,A3=80义妥=20
60
在AABS中,ZBAS=30°,AB=20,ZABS=180°-75°=105°,ZASB=45°
BSAB
由正弦定理可得•
sin300sin450
.”_ABsin30°_20Xq
"BS=sin45°;返=18历
故答案为1072
北
15.如图,若正方体A8CO-48ICLDI的棱长为1,则异面直线AC与A1所成的角的大小
是60°;直线AiB和底面ABCD所成的角的大小是45。.
连接4G,-:AAi//CCi,AAi^CCi,
四边形AACC为平行四边形,可得4Ci〃AC,
...异面直线AC与ALB所成的角即为/BAiCi,连接BG,
则△BA1C1为等边三角形,.,.异面直线AC与A18所成的角的大小是60°;
正方体ABCD-AiBiCiDi的侧棱A4i_L底面ABCD,
.♦./AbBA为直线48和底面48CQ所成的角,大小为45°.
故答案为:60°;45°.
三、解答题(共5小题,满分45分)
16.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为]•和;.
(1)求2个人都译出密码的概率;
(2)求2个人都译不出密码的概率;
(3)求至多1个人译出密码的概率;
(4)求至少1个人译出密码的概率.
解:记甲独立译出密码为事件4乙独立译出密码为事件2,
且A,8为相互独立事件,且尸(A)=]■,P(B)=;,
OTE
贝IJ(1)P(AB)=P(A)P(B)=±,
-----1
⑵P(AB)=P(A)P(B)=y-
(3)P=1-P(AB)=1会考,
—231
(4)P=l-P(AB)=l-*X—$
342
17.已知向量k),E=(O,T),3=(1,
(I)若求左的值;
(ID当%=1时,之-入石与1共线,求入的值;
(III)若苒=«阴,且,与W的夹角为150。,求$+2/
解:(I)a_Lc'>",a*c=O,>'•Vs+V3k=0,解得k=-1;
(II)k=1,,a=G/§,1)'又b=(0,-1),;•a-入b=卜人).
,北-入防《共线,,加X«Y1+入)=0,解得入=2;
(III)|b|=Vo+(-l)2=1,>'•|m|=V3-
又7与W的夹角为150。,|c|=71+(V3)2=2-
,,m,c=ImIIc|cosl500=V3x2Xcos150*=-3,
Im+2cI=7m2+4m'c+4c2=V(V3)2+4X(-3)+4X22=V7-
18.2020年开始,山东推行全新的高考制度,新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其
中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高
校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、
生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分,2020年初受疫情影响,
全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选
科目进行线上检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以组距20分
成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260)
280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中。的值;
(2)由频率分布直方图;
(力求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;
(»)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同•组中的数据用
该组区间的中点值作代表);
(3)为了进一步了解选科情况,由频率分布直方图,在物理、化学、生物三科总分成绩
在[220,240)和[260,280)的两组中,用分层随机抽样的方法抽取7名学生,再从这7
名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
解:(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+4+0.0025)X20=l,
解得<7=0.005.
(2)(z)(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,
•••三科总分成绩的中位数在[220,240)内,设中位数为x,
则(0.002+0.0095+0.011)X20+0.0125X(%-220)=0.5,
解得x=224,即中位数为224.
(拓)三科总分成绩的平均数为:
170X0.04+190X0.19+210X0.22+230X0.25+250X0.15+270X0.1+290X0.05=225.6.
(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别为25人,10人,
7
抽样比为1
25+105
,三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内抽取的学生数量分别为:25X4-=5
人,10义看=2人,
D
设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”,
从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,
基本事件总数"=(^=21,
事件A包
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