2020-2021学年南京市秦淮区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南京市秦淮区八年级上学期期末数学试卷

、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

第

第

用第

三

小明将一正方形纸片划分成16个全等的小正方形，如图所示为他将四

行

行后行

其中四个小正方形涂成灰色的情形.若小明想再将一小正方形涂成

灰色，使此纸片上的灰色区域成为轴对称图形，则此小正方形的位第一列

第二列一

置为（）fII

第三列T|一

A.第一列第四行第四列丁

B.第二列第一行

C.第三列第三行

D.第四列第一行

2.如图，△ABCWABAD,4和8.C和。分别是对应顶点，若AB=6cm,AC=

5cm,BC=4cm,则AD的长为（）

A.6cm

B.5cm

C.4cm

D.以上都不对

3.如图，已知o。的弦AB、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=（,EA切0。于点4

4E与CD的延长线交于点E,若AE=2岔cm，则PE的长为（）

E

A.4cmB.3cmC.5cmD.V2cm

4.估算闻的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

5.如图，点P为等边△48C的边48上一点，Q为8C延长线上一点，PA=

CQ,连接PQ交/C于D,若CO=3,BQ=10,贝iJPA的长为

A.2

B.2.2

C.2.5

D.2.4

6.

二、填空题（本大题共10小题，共22.0分）

7.若a-b+6的算术平方根是2,2a+b-l的平方根是±4,则a-5b+3的立方根是.

8.已知44BC,AB=BCA4C,作与4aBe只有一条公共边，且与ZL4BC全等的三角形，这样的三

角形能作出_个.

9.有四张不透明卡片，分别写有实数或，-1,V3,除正面的数不同外其余都相同，将它们背

面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是.

10.有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字-2,-1,2,3.把这四张卡片背面朝上，随

机抽取两张，记下数字为晨b,贝!|y=kx+b不经过第三象限的概率为

11.如图所示，将三角形4BC向下平移3个单位，则点B的坐标变为B',

B'为.

已知I：二:是方程组7Fl：2的解，那么一次函数y=一各口y=8-2%的交点坐标是

12.

（y-4,।y—o33

13.如图，在△48C中，。是延长线上一点，48=50。，44=70。，则

/-ACD=.

B'D

A

14.如图，在△ABC中，/.ABC=60°,AB=4,BC=6,BO是角平分线，则8。的长为

15.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面48宽为2m,M为4B的中点，且CM1AB,若CM=2.5m,

则圆拱形门所在圆的半径为m.

16.己知函数丫=「2+3/＞：的图象与x轴有3个交点，则实数a的取值范围为

三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）

17.解下列各题：

⑴运著-（遮+夜）（遮-烟；

vo

（2）716-（I）-1X（7T-1）°-（-1）2013+

18.计算:

LL1

(1)273-V36+-^

(2)-52瓜+V8xV3

解方程:

(3)2(x+=8

(4)3(2%—1产=-81

19.已知：如图，平行四边形4BCD的两条对角线相交于点。,BE1AC,D

CF1BD,垂足分别为E,凡且BE=CF.求证：平行四边形力BCD是

矩形.

20.判断4(1,3),8(—2,0),C(2,4)三点是否在同一条直线上.

21.(1)已知|2012-+=求x-20132的值；

(2)已知a>0,b>0且五(VH+VF)=3VF(Va+5VF).求簟;;窑的值.

22.如图，在△ABC中，。为BC边上的中点，连接4D.请用尺规作图

法，在4。上找一点E,使得4E=2DE.(保留作图痕迹，不写作

法)

23.如图，格点△ABD在长方形网格中，边BD在直线［上.

(1)请画出△48。关于直线/对称的△CBD；

(2)将四边形ZBCD平移得到四边形点4的对应点儿的位置如图所示，请画出平移后的四

边形A1B1GD1.

「

「

一

「

r-rr-r「-THT_rT

L-L1L1-11u

1-1-£_X

I1IlI|1IAIlI

1Jr

「

「

r-r-r「-rTT_T

I1U

_A

I—I

24.AB为。。直径，C为。0上的一点，过点C的切线与4B的延长线相交于点D,CA

(1)连接BC,求证：BC=0B-.

(2)E是卷中点，连接CE,BE,若BE=2,求CE的长.

25.某校运动会需购买4,B两种奖品，若购买/种奖品3件和B种奖品2件，共需80元，若购买4种奖

品5件和B种奖品4件，共需150兀.

(1)求4、B两种奖品的单价各是多少元？

(2)学校计划购买4、B两种奖品共100件，购买费用不超过1375元，且4种奖品的数量不大于B种奖

品数量的4倍，设购买4种奖品M件，购买费用为W元，写出皿(元)与m(件)之间的函数关系，求

出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.

26.如图所示，在直角梯形ABCD中，△4=ND=90°,AB=8cm,CD=10cm,AD=6cm,点E从

点4出发，沿4T。TC方向运动，运动速度为2sn/s,点尸同时从点4出发，沿A-B方向运动，

运动速度为lcm/s.设运动时间为t(s),△CEF的面积为S(cm2).

(1)当0WtW3时，t=,EF=V10.

(2)当0Wt43时(如图1),求S与t的函数关系式，并化为5=。《-/1)2+上的形式，指出当t为何值

时，S的最大值为多少？

(3)当3WtW8时(如图2),求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S的最大值为多少？

(4)有(2)(3)可得，在整个运动过程中，S最大值=.

参考答案及解析

I.答案：B

解析：

本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质和纸片上的四个灰色小正方形，确定出对称

轴，即可得出小正方形的位置.

解：根据题意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行.

第

第

第

第

三

四

一

二

行

行

行

行

—

，-

-♦*

故选B.

2.答案：C

解析：解：BAD,

AD=BC,

vBC—4cmf

・•・AD=4cm,

故选：C.

根据全等三角形的性质得出4。=BC,代入求出即可.

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角

形的对应边相等，对应角相等.

3.答案：A

解析：试题分析：首先根据相交弦定理得P4-PB=PC•PD,得PD=2.设DE=X,再根据切割线定

i^AE2=EDEC,即

x(x+8)=20,x=2或x=-10(负值舍去)，则PE=2+2=4.

vPA-PB=PC-PD,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,

・・・PD=2；

设。E=%,

vAE2=ED•EC,

・,,%（%4-8）=20,

・・.x=2或x=-10（负值舍去），

・・・PE=2+2=4.

故选A.

4.答案:B

解析：解：-闻=5花-3后=2遍，

又：（2佝2=20,16<20<25,42=16,52=25,

4<2>/5<5.

故选：B.

首先化简，然后用平方法估计2遍的大小即可.

本题考查估算无理数的大小，注意在估算2遍时不能先估算通的大小再乘以2是解本题的关键.

5.答案：A

解：如图，过点P作PF〃BC交4C于点F,

•••PF//BC,△ABC是等边三角形，

•••乙PFD=Z.QCD,Z.APF=48=60°,Z.AFP=Z.ACB=60°,=60°,

.•.△4PF是等边三角形，

AP-PF=AF,

又•：AP=CQ,

・・・PF=CQ,

在△PFO和AQC。中，

Z.PFD=Z.QCD

,/乙PDF=乙CDQ,

PF=CQ

•••△PFDwZkQCD(44S)

・・・FD=CD,

设AP=x,则有=PF=CQ=xf

vCD=3,

/.DF=3,CF=CD+DF=6,

ABC=AC=6+%,

二BQ—BC+CQ=6+2%,

vBQ=10,

・,・6+2%=10,

解得：x=2,即P4=2,

故选A。

6.答案：B

解析：解：4、C、。对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义；

只有B选项对于x的每一个确定的值，有两个y与之对应，不符合函数的定义.

故选:B.

函数有两个变量x与y，对于久的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，结合选项即可作出判断.

本题考查了函数的定义，注意掌握在函数变化的过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值

与其对应.

7.答案：一3

解析：解：•；a-b+6的算术平方根是2,2a+b-l的平方根是±4,

■.a—b+6=4,2a+b—1=16,

解得a-5,b=7,

a—5b+3=5—35+3=—27>

二a-5b+3的立方根一3.

故答案为：-3

运用立方根和平方根和算术平方根的定义求解.

本题主要考查了立方根和平方根和算术平方根，解题的关键是熟记定义.

8.答案：7

_______B

解析：解：以4B为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以4C为公共边有

V

一个，

所以一共能作出7个.

故答案为：7.

9.答案：1

解析：

此题主要考查了可能性的大小，要熟练掌握，解答此题的关键是求出无理数一共有多少个.还考查

了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数

和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数.首先判断出实数a，-1，V3.巳中，无理数

有几个；然后根据求可能性大小的方法，用无理数的个数除以4,求出取到的数是无理数的可能性大

小是多少即可.

解：;实数近，-1，V3,:中，V2»遮是无限不循环小数，

.•・无理数有2个，

二取到的数是无理数的可能性大小是：

2・4.

故答案为:j.

10.答案：I

解析：解：画树状图为：

-2-132

个/N/N

32.2-12-2-13

共有12种等可能的结果数，其中y=kx+b不经过第三象限的结果数为4,所以随机抽取两张，记下

数字为3b,贝物=kx+b不经过第三象限的概率=2=].

故答案为

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据一次函数的性质得到y=kx+b不经过第三象限的

结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事

件4或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件力或事件B的概率.也考查了一次函数的性质.

11.答案：(4,-3)

解析：解：根据题意：平移前，B点坐标为(4,0),将三角形力BC向下平移3个单位，则点B的坐标变

为B',B'为(4,—3).

故答案填：(4,一3).

直接利用平移中点的变化规律求解即可.

此题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相

同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

12.答案:(2,4)

解析：由题意可知：两个一次函数的解析式正好是方程组的两个方程.因此方程组的解即为两个一

次函数的交点坐标.

本题考查了一次函数与二元一次方程组解的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的

一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两

个相应的一次函数图象的交点坐标.

解：已知I；二:是方程组的解；

即点(2,4)同时满足一次函数y=1x-:和y=8-2x的解析式；

7o

二一次函数y=-x--ffy=8-2x的交点坐标是(2,4).

13.答案：120

解析：解：•.•乙4co是△ABC的外角，

•••Z.ACD=Z.A+Z.B=50°+70°=120°,

故答案为120。.

利用三角形的外角的性质解决问题即可.

本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14.答案：争

解析：解：如图，作4H_LBC于H,DE1BC^E,DF1BA^F.

在Rt△4BH中，；4AHB=90°,AB=4,^ABH=60°,

•••AH=AB-sin600=2百，

BD平分乙ABC,ED1BC,DFLAB,

■■■DF=DE,4ABD=乙DBE=30°,

.•・BD=2DE,

设DE=DF=x,

•・.S&ABC=BCAH=\-ABDF-BC-DE,

ix6x2>/3=1-x(4+6),

673

12b

・••BDDn=2x=---，

5

故答案为等

如图，作力H_LBC于H,DEJ.BC于E,OF1B4于凡利用面积法构建方程解决问题即可.

本题考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

15.答案:1.45

解析：解：连接0B,如图所示：

CM1AB,AM=BM=-AB=Im,

2

设圆的半径是xm,贝!|0M=(2.5—x)m,

在中，由勾股定理得：OB2=BM2+OM2,

即：M+(2.5—x)2,

解得：x=1.45,

即圆的半径长为1.45m.

故答案为：1.45.

连接。B,由垂径定理得出AM=BM=1m,设圆的半径是xm,则。M=(2.5-x)m,在Rt△

BOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

16.答案：0<a<3

X3

解析：解：y=[~22*与x轴有三个交点，

I一%,—3%x<a

取y=0,

若—％+3=0,则x=3,

•・•图象与久轴有三个交点，

/.%=3是-%+3=0的根，

Aa<3,

若一——3%=0,

解得％=—3或%=0,

・・,图象与％轴有三个交点，

・•.x=-3和％=0都是一/—3%=0的根，

-a>0,

综上，0WQV3,

故答案为0WQ<3.

由图象与x轴有3个交点可得当a有1个交点，当％Wa时有两个交点，由此可确定a的范围.

本题主要考查二次函数的图形与性质，关键是要能根据解析式找到三个交点的位置，然后根据每个

交点都存在确定a的范围.

17.答案：解：(1)原式=第一后一(3-2)

=3-72-1

=2—V2;

(2)原式=4-2xl-(—l)-3

=4-2+1-3

=0.

解析：(1)利用二次根式的除法法则和平方差公式计算；

(2)根据负整数指数累、零指数基、乘方的意义和立方根的定义计算.

本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-

6)=a2-〃.也考查了实数的运算.

18.答案：解：计算⑴原式=2百一6+曰=/—6;

(2)原式=-52V6+2V6=-50V6;

解方程：(1)(%+1尸=4,

则x+1=2或％+1=-2,

解得x=1或x=—1；

(2)(2x_1)2=-27<0,

则此方程无实数根.

解析：计算(1)先化简二次根式，再计算加减可得；

(2)先计算乘法，再计算加法可得答案；

解方程：(1)(2)利用直接开平方法求解可得.

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.

19.答案：证明：•••BELAC,CF1BD,

乙OEB=乙OFC=90。，

••・四边形ABC。是平行四边形，

•••OB=-BD,OC=-AC,

22

在ABE。和ACF。中,

Z.OEB=乙OFC

乙BOE=乙COF,

BE=CF

,^BEO^^CFO(AASy

OB=OC,

・•・BD=AC,

・•・平行四边形是矩形.

解析：由平行四边形的性质得出OB=1BD,OC=^AC,由44s证明△BE。三△CFO,得出对应边相

等。B=OC,得出80=4C,即可得出结论.

本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法，

证明三角形全等得出OB=0C是解决问题的关键

20.答案：解：设直线48的解析式为y=kx+b(kwO),

将4(1,3),8(-2,0)代入旷=依+小得：

解得:

3=2

.••直线AB的解析式为y=x+2.

当x—2时，y=x+2=2+2=4,

.•.点C(2,4)在直线AB上，

••.4(1,3),B(-2,0),C(2,4)三点在同一条直线上.

解析：根据点4,B的坐标，利用待定系数法可求出直线4B的解析式，再利用一次函数图象上点的坐

标特征可找出点C在直线力B上.

本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点4B的坐标,

利用待定系数法求出直线4B的解析式是解题的关键.

21.答案：解：(1)•••%—201320,

•••x>2013.

•••x-2012+Vx-2013=x-

Vx-2013=2012.

•••x-2013=20122.

%=20122+2013.

x-20132=20122-20132+2013

=-(2012+2013)+2013

-2012.

(2)vVa(V^+VF)=3Vb(Va+5>/F)»

:.a+yfab=S^fab+15b，

:.a—2y[ab-15b=0，

/.(yja—5Vb)(Va+3Vh)=0，

va>0,b>0,

・•・y/a-5>/b=0，

：■ci=25b,

.原式_2x25b+3b+V25b2_58b_?

・・八25d-d+V25d2129b一,

解析：（1）由二次根式有意义的条件可知xN2013,然后化简得Vx-2013=2012,由算术平方根的

定义可知：2013=20122,最后结合平方差公式可求得答案.

（2）根据单项式乘多项式的法则把（历+呵=3啊m+5伤）进行整理，得出a-2yfab-15b=

0,再进行因式分解得出（口一5①）（逅+3①）=0，然后根据a>0,b>。,得出连一5行=0,

求出a=25b,最后代入要求的式子约分即可得出答案.

本题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、

算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得x-2013=20122,第（2）求出a=25b是解题

的关键.

解析：作中线CT,CT与4。的交点E,即为所求作.

本题考查作图-复杂作图，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

23.答案：解:（1）如图所示:△CBD即为所求;

(2)如图所示：四边形&B1GD1，即为所求.

解析：(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案.

此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.

24.答案：(1)证明：连接。C.

•••AB为。。直径，

•••Z.ACB=90°,

•••CD为。。切线

ZOCD=90°,

AACO=乙DCB=90°-Z.OCB,

■：CA=CD,

:.Z-CAD=Z.D.

:.Z-COB=Z.CBO.

:.OC=BC.

・・・OB=BC；

(2)解：连接AE,过点B作BF1CE于点F.

•・•£是4B中点，

・•・弧4E=引kBE,

:.AE=BE=2.

・・•48为。。直径，

・・・Z,AEB=90°.

:.Z.ECB=Z.BAE—45°,AB=2A/2.

CB=-AB=V2.

2

:.CF=BF=1.

EF=yjBE2-BF2=V22-l2=V3.

•••CE=EF+CF=1+^3.

解析：本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是

解题的关键.

(1)连接。C,根据圆周角定理、切线的性质得到〃C。=NDCB,根据CA=C。得到NC4D=ND,证

明4COB=NCB。，根据等角对等边证明；

(2)连接AE,过点B作BF，CE于点尸，根据勾股定理计算即可.

25.答案：解：(1)设4种奖品的单价是x元，8种奖品的单价是y元，

由已知得:哈沈寓解得:沈茅

答：4种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是25元.

(2)设购买4种奖品瓶件，则购买B种奖品(100-m)件,

由m幻侬f10m+25X(100-m)<1375

由已知得：鼠44x(ioo一划‘

解得：75SznS80.

W=10m+25x(100-m)=-15m+2500(75<m<80),

•••-15<0,

.♦.当m=80时,W取最小值，最小值为1300.

故W(元)与m(件)之间的函数关系式为W=-15m+2500(75<m<80),最少费用为1300元.

解析：本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)

列出关于x、y的二元一次方程组；(2)根据数量关系列出勿关于m的函数关系式.本题属于中档题,

难度不大，解决该题型题目时: