三角形全等的判定-利用全等三角形课件沪科版数学八年级上册

沪科版八年级上册数学利用全等三角形全等三角形的作法和原理

全等的三角形的作法和原理1、如图，△ABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，请作出与△ABC全等的三角形.

原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）作法（1）①作射线B′M，以B′为圆心，以a的长为半径画弧交射线B′M于点C′；②分别以B′、C′为圆心，以c、b长为半径画弧，两弧交于点A′；③连接A′B′、A′C′；△A′B′C′即为与△ABC全等的三角形.ACBbcaA′C′B′bcaM

全等的三角形的作法和原理作法（2）①先作∠B′=β，画出角的两边；②以B′为圆心，以c、a长为半径分别在角的两边上画弧与角的两边分别交于A′、C′；③连接A′C′；△A′B′C′即为与△ABC全等的三角形.原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）A′B′C′βac1、如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，请作出与△ABC全等的三角形.ACBbca作法（3）①作线段A′B′=c；②作∠NA′B′=α；③作∠KB′A′=β；④A′N与B′K相交于点C′；△A′B′C′即为与△ABC全等的三角形.原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）A′cNB′C′βαK1、如图，△ABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，请作出与△ABC全等的三角形.ACBbca全等的三角形的作法和原理ACBbca注意：我们知道：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形（SSA）不一定全等，所以我们不能用两边及其中一边的对角与已知三角形对应相等来作全等三角形.如图：①先画出∠B′=β，画出角的两边；②以B′为圆心，以c长为半径在角的一边上画弧与角的这一边交于A′；③以A′为圆心，以b长为半径在角的另一边上画弧与角的另一边交于C′或D；④连接A′C′、A′D；则所作三角形有两种情况，分别为△A′B′C′和△A′B′D.所以作出的三角形与已知三角形不一定全等.A′cDB′C′βb2、如图，已知直角三角形中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，∠A=α，∠B=β，作一个三角形与已知三角形ABC全等.BAC除了上述的3种方法外，还有一种针对于直角三角形的特殊作法.①作B′C′=a；②作NC′⊥B′C′；③以B′为圆心，以c长为半径画弧与NC′交于A′；④连接A′B′.直角△A′B′C′即为与直角△ABC全等的三角形.原理：在直角△ABC和直角△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）B′A′C′bacaNc一、全等的三角形的作法和原理例.如图，用尺规作图的办法作∠A'B'C'＝∠ABC（见作图痕迹），其作图的理论依据是首先运用了三角形判定方法中的（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL分析：根据尺规作图作相等角的步骤结合全等三角形的判定定理解答解：∵尺规作图作相等角的步骤为：先做射线B′C′，以B为圆心，以任意长为半径画弧与BA、BC交于D、E两点，以B′为圆心，以BD长为半径画弧与B′C′交于E′点，再以E′为圆心，以DE长为半径画弧与另一条弧交于D′，连接B′D′，如图，则∠A'B'C'＝∠ABC.∴△ABC和△A′B′C′中，BD＝B′D′，BE＝B′E′，DE＝D′E′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）DED′E′ABCB′C′A′例.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．回答下列问题：（1）只要从模具片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A′B′C′模具？请简要说明理由．（2）按尺规作图的要求，正确作出△A′B′C′图形，保留作图痕迹，不写作法和证明．分析：观察图中的无破损部分可知∠B，∠C，BC的大小结合全等三角形的判定定理解答ACB例.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．回答下列问题：（1）只要从模具片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A′B′C′模具？请简要说明理由．（2）按尺规作图的要求，正确作出△A′B′C′图形，保留作图痕迹，不写作法和证明．解：（1）因为两角及夹边对应相等的两个三角形全等；所以要从模具片中度量出边BC的长度、∠B及∠C的大小，就可以到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A′B′C′模具．（2）如图△A′B′C′ACBA′B′C′DEE′D′解：例.一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（

）A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了 C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可1432由图可知，带上1，4相当于已知两角及夹边的大小，根据全等三角形的判定定理ASA，所以可以确定买的玻璃和原来的玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．角平分线的作法和原理角平分线的作法和原理1、度量法作法：如图所示，用量角器量出∠MON=α，在∠MON内部画∠NOP=，则射线OP就是∠MON的角平分线.MNOP2、尺规作图法作法：（1）以O为圆心，以任意长为半径画弧交OM于点A，交ON于点B；（2）分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠MON内交于点P；（3）作射线OP，则OP就是∠MON的角平分线.

PONMBA原理：连接PA、PB，则在△OPA和△OPB中，PA=PB，OA=OB，OP=OP∴△OPA≌△OPB（SSS）∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的角平分线3、利用三角板（利用三角板的直角和刻度作角平分线）作法：（1）在∠MON两边分别量取OA=OB；（2）把两个完全一样的三角板的直角顶点分别放在A、B两点，一条直角边与角的一边重合，三角板的另一直角边交于点P，则射线OP就是∠MON的角平分线.

原理：∵OA=OB，OP=OP∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的角平分线.POMNBA例．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（

）A．OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD

C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE解：OEBADC根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC＝OD，B正确；C、∵OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SSS)∴两三角形面积相等，又∵底边是公共边，∴两三角形的高也相等∴点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE＝∠BOE，D正确．故选：C．角平分线的尺规作图全等三角形的判定和性质定理例.数学课上，探讨画角平分线的方法．（1）李老师用直尺和圆规作角平分线．作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以点D、E为圆心，以大于

的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．画射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线．李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________；解：OCBADE根据尺规作角平分线的原理：连接CE、CD，则CE=CD，OE=OD，OC=OC∴△OEC≌△ODC（SSS）例.

数学课上，探讨画角平分线的方法．（2）小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以画出角平分线．画法：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③画射线OP，则OP为∠AOB的角平分线．请你对小聪的方法进行证明，即证明OP就是∠AOB的角平分线．OPMNBA∵PN⊥OB，PM⊥OA∴∠PNO＝∠PMO＝90°在Rt△PNO和Rt△PMO中OM＝ON，OP＝OP∴Rt△PNO≌Rt△PMO（HL）∴∠PON＝∠POM即OP是∠AOB的角平分线．解：角平分线的定义全等三角形的判定例.我们已经学习了用“量角器”或“尺规作图”的方法作一个已知角的平分线，小明与小聪同学只利用“带刻度的直尺”也能画出一个已知角的平分线，他们的画法如下，请你说明他们的画法是正确的理由．（一）小明的画法如图：（1）利用带刻度的直尺在∠AOB的两边分别量得OC＝OD；（2）连结CD，利用带刻度的直尺画出CD的中点E；（3）画射线OE；∴射线OE就是∠AOB的角平分线．OADCBE∵OC=OD，CE=DE，OE=OE∴△OCE≌△ODE（SSS）∴∠COE＝∠DOE∴OE是∠AOB的角平分线．解：（二）小聪的画法如图：（1）利用带刻度的直尺在∠AOB的两边分别量得OC＝OD，OE＝OF：（2）连结CF、DE交于点G；（3）画射线OG；∴射线OG就是∠AOB的角平分线．OCBADGFE解：∵OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE∴△CO