《函数的概念》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《函数的概念》教学设计

♦教学目标

1.在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念.

2.会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.

3.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.

4.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

♦教学重难点

___________________，

重点：函数的概念以及构成函数的三要素.

难点：函数概念的形成及理解.

♦教学过程

一、新课导入

初中阶段我们都学过哪些函数呢？初中时函数的概念是如何定义的？

初中阶段学习过一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数.

初中函数定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个

值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.

二、新知探究

活动1：通过生活实例，探究函数概念.

实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮

弹距地面的高度/?（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t2

实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图中的

曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积几年的变化情况.

实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低,

生活质量越高.表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城

镇居民的生活质量发生了显著变化.

时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001

恩格尔系数（％）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

通过这三个实仞,请同学们思考以下问题.

问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，时间t和高度h分别对应的集合是什么？是

否存在某一时间/没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？

答案：炮弹飞行时间的变化范围是数集4={t|0StS26},炮弹距地面的高度〃的变

化范围是数集B=值|0<h<845},对应关系h=130t-5t2.从问题的实际意义可知，对

于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对

应.

问题2：从1979-2001年，年份和臭氧空洞面积所对应的集合分别是什么？是否存在某

一年份没有面积与之对应？有两个或多个面积与之相对应？

答案：年份对应的数集A=仕|1979WtW2001},臭氧空洞面积所对应的数集B=

{s|0<s<26）,并且对于数集A中的任意一个时间f,按图中曲线，在数集B中都有唯一

确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

问题3：从1991-2001年，年份和恩格尔系数所对应的集合分别是什么？是否存在某

一时间没有恩格尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？

答案：年份对应的集合4={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,

1999,2000,2001}

恩格尔系数所对应的集合

B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}

设计意困：通过三个问题的提问，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样再用集合

与对应的观点描述函数是显得不突兀.

追问：以上三个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？

答案：（1）都有两个非空数集A,3（2）两个数集间都有一种确定的对应关系；

(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应.

追问：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？请各小组合

作探究.

答案：给定实数集R中的两个非空数集A和8,如果存在一个对应关系力使对于集

合4中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系/称

为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x),xeA.其中集合A称为函数的定义域，x

称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{/(x)|x€A}称为函数的值域.

活动2：小组讨论，准确把握函数概念.

问题4：请同学们观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？

答案：第一个图中不是函数关系，出现了“一对多”不满足对于集合A中的每一个数

x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应这个条件.

第二个图中不是函数关系，因为在集合A中“4”在集合8中没有元素与之对应，在

集合A中出现了元素剩余.

第三个图中是函数关系，虽然在集合A中出现了“多对一”的情况，但是符合函数定

义.

第四个图中是“一对一”函数关系.

特别注意：对应关系可以“一对一”，“多对一”，但不能“一对多”.

1X0

''与丫=春是同一个函数吗？

{-1,x<0,31

1v>Q

'与丫=言是同一个函数，虽然它们的解析式看着不同，

{-1,x<0,1x1

但它们表示的函数结果都是一样的，在这里，函数概念强调了数与数之间的对应关系，并

且对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程.

三、应用举例

例1下面各组的两个函数是否为同一个函数？

(1)/(x)=Vx7，g(x)=(V%)2;(2)/(x)=x2,g(x)=(x+l)2;

(3)/(x)=*，g(x)=x-1；(4)f(x)=x+：，g(t)=t+1;

答案：(D因为/'(x)的定义域是R,g(x)的定义域是［0,+00),两个函数的定义域不

同，所以不是同一个函数；

(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

(3)因为/(x)的定义域是｛x|x片-1｝,g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同，所

以不是同一个函数；

(4)/(x)和g(x)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以

是同一个函数.

例2求下面函数的定义域.

(1)y=2x+3+;(2)y=yjx+3+(3)y=-X+3+

x-1X,

V-X-3;

答案：(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即％-1。0,解得

%W1.

所以函数了=2%+3+£的定义域是｛%|x*1｝；

(2)为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，且分式的分母不为零.即

仔+：慨0解得「？一3，

所以函数>=依彳号+:定义域是｛%kN-3,且％H0卜

(3)为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，即1"+3匕。解得》=

l-x-3>0

-3.所以函数y=Vx+3+7-x-3的定义域是｛x|x--3｝=(-3｝.

四、课堂练习

1.求下列函数的函数值.

(1)已知/'(X)=5x—3,求/'(4)(2)已知g(t)=4f2+2t-7,求g(2)；

(3)己知FQ)=u,M(u)=6u2+u-3,求F(3)+M(2).

答案：(1)因为f(x)=5x-3,所以/(4)=5x4-3=17.

(2)因为g(t)=4d+2t-7,所以g(2)=4x22+2x2-7=13.

(3)已知FQ)=u,M(u)=6u2+u—3,所以F(3)=3,M(2)=6x22+2—3=23.

2

1.(1)函数/(x)=X和g(x)=亍v是同一个函数吗？为什么？

(2)函数f(x)=1和g(x)=?是同一个函数吗？为什么？

答案：(1)函数/(%)=x和g(%)=》不是同一个函数，因为定义域不同，函数/(%)=%

的定义域是R函数g(%)==的定义域是｛x|%H0｝.

(2)函数/(%)=：和g(x)=?不是同一个函数，它们虽然定义域相同都是｛%忱H0｝,但

解析式不同.

五、课堂小结

1.函数的概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系力

使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯--确定的数y和它对应，那么就把对应

关系/称为定义在集合4