2019-2020年高三数学上册14.3《空间直线和平面的位置关系》教 案沪教版

2019-2020年高三数学上册14.3《空间直线和平面的位置关系》教案（2）

沪教版

一、教学内容分析

空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量

分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，前面我们已研究了两异面直线所成

的角，本节研究直线与平面所成的角

课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景.接着借助图14-

22引出了一系列概念.

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个

平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直

来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计

算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

求直线和平面所成的角的方法是：

射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出

斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算.

注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若

9为线面角，a为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有.

二、教学目标设计

理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后

确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和

空间想象能力等.

培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.

三、教学重点及难点

斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面

所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影

四、教学用具准备

投影仪，PPt演示

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

运动员起跑时，腿部与地面给你怎样一种形象？运动员投出的标枪落地以后，标枪一定会垂

直地面吗？大都是怎样的状态？

［说明］运动员投出的标枪落地以后，大多是插在地面上的，它们的状态有时“偏陡”些,

有时“偏平”些，如何描述标枪落地时“偏陡”或“偏平”的程度呢？这就涉及到标枪所在

的直线与地面所成角的大小了，这节课我们要研究直线与平面所成的角

二、学习新课

问题1:(1)前面我们学习了直线与平面垂直，这其实是直线和平面相交的一种特殊情况,

我们对它的研究，是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的，它体现了什么

数学思想方法？

(2)类比上述数学思想方法，我们该如何刻画一条直线与一个平面所成的角呢？

［说明］引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的

数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，同时渗

透类比的数学思想方法.

定义:

1.平面的斜线

当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，叫做平面的斜线.

斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线

段.如图14—22

2.射影

如图14-22,设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们

把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影，

3.直线和平面所成角

规定直线与其平面上的射影所成的锐角叫做直线与平面所成的角.

我们规定，当直线与平面垂直时，它们所成的角等于；

若直线与平面平行或直线在平面上时，它们所成的角为;

［说明］教师边画出课本图形14-22,边讲解.

点。一点A在平面上的射影

A0一点A到平面的垂线段A图14—22/

直线AM—平面的一条斜线

M一斜足

线段AM一斜线段

直线0M—斜线AM在平面上的射影

线段0M—斜线段AM在平面上的射影

问题2：

1.直线与平面所成的角的大小与点在上的取法有关吗？

2.直线和平面所成角的范围是多少？

3.证明：与平面内经过点的直线所成的所有角中，最小.

［说明］直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；直线和平面所成角的范围是；斜线

和平面所成角的范围是

2.例题分析

例1.已知正方体中的棱长为，

(1)求直线和平面所成的角；

(2)求直线和平面所成的角；

(3)求直线和平面所成的角

解：(1)；(2)；(3).

［说明］通过本例熟练掌握正方体的棱与面、对角线与面的关系，掌握求平面的斜线与平面所

成角的其本步骤：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.

例2.如图，/BOC在a内，0A是a的斜线，

ZA0B=ZA0C=60°,OA=OB=OC=a,求:0A和平面a所成角的大小

分析：此题关键是确定在内的射影.

在本例中，可直接作于，进而证明，从而确认是在内的射影.--------------/

也可过作于，进而证明在上.

可求得0A和平面a所成角的大小为.

［说明］正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只有确定了

射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.

确定点在平面上的射影位置有以下几种方法:

(1)斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

(2)利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.

例3.在例1的正方体中，若分别是的中点，求和平面所成的角.

分析：在本例中仍可“一找二证三求”来求和平面所成的角.但是正方体的体对角线，而

平面是正方体的面对角线所在的面，因此可以通过证明来说明和平面所成的角为.

［说明］直线和平面所成的角，包括直线和平面垂直，直线和平面平行或在平面内，即角

和角情况，所以求直线和平面所成角时，可先看是否是以上两种特例.

3.问题拓展

例4.如图，已知在平面内，，，

求证：点在平面上的射影在的平分线上.

证明：作，，垂足分别为，连结，

PE±AB,PF±AC

在和，,

即点在平面上的射影在的平分线上.

［说明］本题给出了一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的

角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结

论在解答一些问题时常常用到，如前面的例2.

三、巩固练习

练习：1.如图，已知六边形ABCDEF是边长为a的正六边形,PA垂直于六边形ABCDEF所在

的平面M,并且PA=a,求点P与正六边形各顶点连线和平面M所成的角

P

2.课本页练习.

［说明］通过练习进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握直线与平面所成角的

有关概念.

四、课堂小结

求直线与平面所成角解题的一般步骤是：

（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出

角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案.

五、作业布置

1.如图，在正方体力8〃^45K〃中，求48和平面48切所成的角.

2.A是△BCD所在平面外的点，ZBAC=ZCAD=ZDAB=600,AB=3，AC=AD=2.

(1)求证：AB±CD；

(2)求AB与平面BCD所成角的余弦值.

［说明］通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握确定点在平面上的射影的

方法.

六、教学设计说明

直线与平面所成的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关

系进行定量分析的一个重要概念.

研究时要分清：斜线、垂线、直线，因此涉及的概念较多，为了便于学生理解记忆，要

注意边讲边画图，并在图上注出有关概念的名称.

为了更好的理解直线与平面所成的角的概念，引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系

研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找

新知识的“生长点”，同时渗透类比的数学思想方法.

接着通过例1,掌握求直线和平面所成的角的常用方法：

射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出

斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算.

通过例2,了解正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只

有确定了射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.而确定点在平面上的射

影位置有以下几种方法：

(1)斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

(2)利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.

通过例3,对直线与平面所成的角的范围更准确、全面的理解.

通过例4,了解一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角

的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论

在解答一些问题时常常用到.

总之，对于直线与平面所成的角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的

角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线

与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应

用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

2019-2020年高三数学上册14.3《空间直线和平面的位置关系》教案（3）

沪教版

一、教学内容分析

空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究

的起点.

14.3空间直线和平面的位置关系（3）是在学习了空间直线和平面垂直之后，进一步探索

空间直线和平面的特殊位置关系之二一一直线和平面平行.

课本通过两个例题要求学生能理解空间直线和平面，平面和平面平行的含义，掌握空间

直线和平面平行、平面和平面平行的性质定理，并能用反证法进行证明.

通过练习1,要求学生掌握空间直线和平面平行的判定定理，并能据此判断长方体中的线

面关系.

空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面

与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平

行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行

推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：

线线平行线面平行线线平行

根据教材编排的特点，及平行链的完整，本节设计拓展了面面平行的判定定理，可视学生的

具体情况酌情处理.

二、教学目标设计

在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平

行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平

行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化

归和转化的数学思想方法.

三、教学重点及难点

空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；空间平面和平面平行的性质定理

四、教学用具准备

投影仪，多媒体课件

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

引例:复习直线和平面的位置关系

直线在平面上-一有无数个公共点

一平行--没有公共点

直线和平面＜直线不在平面上-一

〔相交一-有且只有一个公共点

、（直线在平面外）

［说明］同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.

前面我们已经研究了空间直线和平面垂直，也掌握了这样一个规律：要证线线垂直，可找线

面垂直，反之亦然.即：

直线与直线垂直直线与平面垂直

今天我们来探索空间中直线和平面平行有没有这样一种规律，并且有什么作用.

二、学习新课

1、概念形成

如何判定一条直线和一个平面平行呢？

问题1:(1)在黑板的上方装一盏日光灯，怎样才能使日光灯与天花板平行呢？

(2)将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如

何呢？

(3)把门打开，门上靠近把手的边与墙面所在的平面有何关系？

［说明］引导学生类比直线与平面垂直的研究方法，利用“降维”的思想将直线与平面平行的

问题转化为直线和直线平行的问题.

直线和平面平行的判定定理(即课本练习1)

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

1/-------------b/

符号语言：bu=>〃〃。；图形语言：2_______________/

blla

［说明］1.该定理可简述为：线线平行二线面平行.

2.用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件:，这三个条件缺一不可.

3.该定理的作用：证明线面平行.

辨析1.如图，长方体中，

(1)与四平行的平面是,

(2)与平行的平面是|B'

(3)与2。平行的平面是|

［说明］通过此例，加深对定理的理解.掌握寻找与直线平行的平馆婀族7)二^(

问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线一定平行争这个平面内的所有直线吗夕

即该定理的逆命题是否成立？试举例说明.

［说明］学生很易通过举例说明知道该定理的逆命题不成立.此时可让学生思考加上什么条件

可让结论成立，引出以下定理：

直线和平面平行的性质定理(即课本例4)

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交

线平行.

符号语言：alla,auf3,ar\/3=allb.

图形:

CL

证明：方法（一）：定义法;

方法（二）：反证法；

［说明］1.课本上定理的证明采用了反证法，应用反证法时注意体会：①“导出矛盾，肯定

结论”是反证法的精髓，“否定之否定等于肯定”是反证法的原理.

②证题过程“没有把假设作为已知使用”的证法不能算作反证法..

2.该定理可简述为：线面平行n线线平行.

3.该定理可看作直线和直线平行的判定定理.

4.定理中的三个条件缺一不可.

5.其作用是证明线线平行.

辨析2.以下命题（其中a,6表示直线，a表示平面）

①若a〃6,baa,贝！］a〃a

②若a〃a,b//a,贝lja〃6

③若a〃6,b//a,贝!Ja〃a

④若a〃a,baa,贝！Ia〃方

⑤过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条

其中正确命题的个数是（）

（4）0个（6）1个（C）2个（〃）3个

［说明］通过问题辨析，进一步加深对直线和平面平行的判定定理和性质定理的理解.体会

三个条件的缺一不可.

2、例题分析

前面我们已学习了证明空间两条直线平行的两种判断方法，即：（1）用定义；（2）公里4.现

在我们又可利用直线和平面平行的判定定理和性质定理证明空间两条直线平行，判定定理和

性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行,

复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：

线线平行线面平行线线平行

例2.如下图，设尸为长方形切所在平面外一点，M、“分别为/反加上的点，且=,求证:

直线如■〃平面PBC.

R

分析：要证直线椒平面如G只需证明仞V〃平面阳。内的一条直线或睇所在的某个平

面〃平面PBC.

证法一：过N作NR〃DC交PC于点R,连结施，依题意得====版="：加?〃〃加26,/.

四边形腕仍是平行四边形..•.例V〃做又：您平面PBC,直线历V〃平面PBC.

证法二：速N忤NR〃DC交PC千点R,连结附依题意有=,；.=,=++=.C.MN//RB.X

:您平面如G，直线如■〃平面阳C

［说明］1：要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理

的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用.

2.找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质.

3.鼓励学生一题多解，

［说明］本题重点考查直线与平面平行的性质.

例3.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,

已知：allP，a[\y=a,fi[\y=b

求证:

证法一：与没有公共点

与也没有公共点

allp

=a>=>«///?

j3C\y=b

证法二：反证法

［说明］实际这就是两个平面平行的性质定理，它的作用是判定两直线平行.成立的条件有三

个，缺一不可.

3.问题拓展

问题3：两平面平行的条件是什么呢？能否转化为线面平行问题呢？

问题4：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以

确保两个平面平行即不相交？

［说明］引导学生分别研究一条直线、两条直线、无数条直线和一个平面平行的情况，得出结

论：要想两平面平行，只要一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面即可.

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行.

--------------/符号语言：alia,b//tz,a,bcz/3,a^\b=Oa//J3.

［说明］1.定理成立的条件有四条，缺一不可.特别注意“线不在多，相交则灵”.

2.其作用是判定两平面平行.

3.根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：即：如果两个平面平

行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

到此为止，线线、线面、面面平行之间形成了一个非常完美的平行链.

例4.学习了两个平面平行的判定定理后，你是否还有其它方法解决例2?

证法三：过"作NQ//AD交PA于点、Q,连结QM,V==,QM//PB.又NQ//AD//BC,平面MQN

〃平面PBC.直线团V〃平面PBC.

［说明］体会平行链中蕴含的数学思想：转化、降维.

例5.判断下列命题是否正确，并说明理由.

（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；

（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；

（3）平行于同一直线的两个平面平行；

（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；

（5）过己知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面.

［说明］通过问题辨析，加深对定理条件的理解.

三、巩固练习

已知分别为正方体ABCD—ABCD的棱的中点（如图4）,

求证：〃平面.

［说明］通过练习进一步掌握求直线和平面平行的判定定理及，僻定理.

四、课堂小结

1.数学思想方法：转化的思想：空间问题平面问管

2.判断平行的转化思想:

（"平行公理

⑵三角形中位线

（乡平行线分线段成比例

（彳相似三角形对应边成比例

⑸平行四边形对边平行

塌〃面面〃面

要判断，可以通过构造过直线的平面与平面相交于直线b,判断即可.

五、作业布置

1.如图，已知分别是三棱锥的侧棱的中点，

求证：平面.

分析：要证明平面，只要在平面内找一条直线与平行.

证明：'/K

又•平面，且平面，/\\

平面.