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文档简介
2022-2023学年江苏省淮安市吁胎县九年级第一学期期末数学试
卷
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。每题的四个选项中,只有一个符合题
意,请把符合题意的选项填在下表中)
1.方程9-9=0的解是()
A.x\=3,X2=-3B.x=0C.XI=X2=3D.x\=X2=-3
2-微的顶点坐标为
2.抛物线y=2(x+1))
(1)
A.(1,B.C.(-1,—)D.4
*2
3.在射击训练中,某队员的10次射击成绩如图,则这10次成绩的中位数和众数分别是()
C.9.5,9.6D.9.6,9.8
4.若关于x的一元二次方程炉-2%+加=0没有实数根,则实数〃?的取值范围是()
A.tn<Z1B.m>-1C.m>lD,tn<-1
5.甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数彳(秒)及方差S2如下表所
示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是()
甲乙丙T
X777.57.5
S20.450.20.20.45
A.甲B.乙C.丙D.丁
6.如图,四边形48C。内接于。0,若N8=108°,则/。的大小为()
5
A.54°B.62°C.72°D.82°
7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4。小底面周长是7m则扇形的半
径为()
A.3cmB.ScmC.6cmD.5cm
8.如图所示是二次函数以+c图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象
对称轴为直线x=l,给出五个结论:①8c>0;②a+6+c<0;③4a-2/?+c>0;④方程
加+6*+0=0的根为xi=-1,及=3;⑤当X<1时,y随着x的增大而增大.其中正确结
论是()
A.①②③B.①③④C.②③④D.①④©
二、填空题(共8小题,每题3分,共24分)
9.将抛物线y="向上平移3个单位长度,所得抛物线的函数解析式为.
10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3℃,则该天气温的极差是.
11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球,如果已知袋中只有一4个红球,且
摸出红球的概率为那么袋中的球共有个.
12.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20JICM,则此扇形的面积是cm2.
13.抛物线y=-/+公+。的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.
14.如图所示,A8为。。的直径,点C在。0上,OCLAB,过点C的弦CC与线段08
相交于点E,满足乙4EC=65°,连接4。,则/54。=度.
15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根,则该三角形的周长
为.
16.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线^=区交于A,B两点,P是以点C
x
(2,2)为圆心,半径长为1的圆上一动点,连接AP,。为AP的中点.若线段。。长
三、解答题(本题共11小题,共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明)
17.计算:
(1)Sx2-3x=0;
(2)N-4x+l=0.
18.己知关于x的方程f+/wc+3=0的一个根是1,求机的值和另一个根.
19.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制
成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.
匚
图①图②
20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都
在格点上.(每个小方格的顶点叫格点)
(1)画出△ABC向下平移3个单位后的△4SG;
(2)画出△ABC绕点。顺时针旋转90°后的△4&C2,并求点A旋转到4所经过的路
线长.
A
BCo
21.如图,AB是半圆。的直径,C,。是半圆。上不同于A,8的两点,AD=BC,AC与
BO相交于点尸.BE是半圆。所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:△CB4丝△D48;
(2)若BE=BF,求证:AC平分
22.为进一步开展“睡眠管理”工作,某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名
学生平均每天的睡眠时间为x小时,其中的分组情况是:
A组:xV8.5
B组:8.50<9
C组:9«9.5
。组:9.5WxV10
E组:x210
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求。组所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该校有1500名学生,请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人?
23.体育课上,小明、小强、小华三人在学习训练踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢
一次.
(1)如果从小强开始踢,经过两次踢后,用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的
概率是多少
(2)如果从小明开始踢,经过踢三次后,球踢到了小明处的概率.
24.如图,是©0的直径,点C是。。上一点,NC4B的平分线4。交前于点。,过点
D作DE//BC交AC的延长线于点E.
(1)求证:OE是OO的切线;
(2)过点。作。尸,AB于点F,连接若。尸=1,BF=2,求8。的长度.
25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售,一天可售出100件,后
来经过市场调查,发现这种商品每降低2元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润4320元,则每件商品售价应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?并求最大利润值.
26.阅读理解:
小明热爱数学,在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理:任意平行四边形对角
线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形ABCD中,AC1+BD1=
AB^BC^+CD^DA2.由此,他探究得到三角形的一个性质:三角形两边的平方和等于第
三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.
(1)说理证明:
如图2,在aABC中,若点。为8c的中点,则有:AB2+AC2=2AD2+2B£>2.请你证明小
明得到的三角形性质的正确性.
(2)理解运用:
①在△ABC中,点。为BC的中点,AB=4,AC=3,BC=6,则AO=;
②如图3,。。的半径为6,点4在圆内,且。4=4&,点B和点C在。。上,且/84C
=90°,点E、F分别为AO、BC的中点,则E尸的长为;
(3)拓展延伸:
如图4,已知。0的半径为2代,以A(2,2)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C
都在OO上,。为BC的中点,则AO长的最大值为.
27.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-9+法+c的图象与坐标轴相交于A、B、C
三点,其中A点坐标为(3,0),8点坐标为(-1,0),连接AC、BC.动点P从点A
出发,在线段AC上以每秒加个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点。从点3出
发,在线段8A上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另
一点随之停止运动,连接P。,设运动时间为,秒.
(1)求反c的值.
(2)在P、。运动的过程中,当f为何值时,四边形8CPQ的面积最小,最小值为多少?
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MP。是以点P为直角顶点的等腰
直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。每题的四个选项中,只有一个符合题
意,请把符合题意的选项填在下表中)
1.方程x2-9=0的解是()
A.xi=3,X2=-3B.x=0C.X\=X2=3D.X\=X2=-3
【分析】将方程常数项移到方程右边,利用平方根的定义开方即可得到方程的解.
解:N-9=0,
变形得:f=9,
开方得:X1=3,X2--3;
故选:A.
【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法解一元二
次方程的依据是解题的关键.
2.抛物线y=2(x+1)2-•的顶点坐标为()
A.(1,——)B.(-1,——)C,(-1,—)D.(1,-
2222
【分析】根据题目中的抛物线,可以直接写出该抛物线的顶点坐标.
解::抛物线y=2(x+l)2-'
.♦•该抛物线的顶点坐标为(-1,,
故选:B.
【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质
解答.
3.在射击训练中,某队员的10次射击成绩如图,则这10次成绩的中位数和众数分别是()
C.9.5,9.6D.9.6,9.8
【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列,然后即可得到这组数据的中位数;
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
解:这10次射击成绩从小到大排列是:8.8,9.0,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.8,9.8,
...中位数是C9.4+9.6)+2=9.5(环),
9.6出现的次数最多,故众数为9.6环.
故选:C.
【点评】本题考查众数与中位数,解答本题的关键是明确题意,会求一组数据的中位数.
4.若关于x的一元二次方程f-2r+,"=0没有实数根,则实数,”的取值范围是()
A.m<1B.m>-1C.m>1D.m<-1
【分析】方程没有实数根,则△<(),建立关于,"的不等式,求出,〃的取值范围.
解:由题意知,△=4-4m<0,
.*./?/>1
故选:C.
【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>00方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0=方程有两个相等的实数根;
(3)△<0=方程没有实数根.
5.甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数彳(秒)及方差群如下表所
示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是()
甲乙丙T
X777.57.5
0.450.20.20.45
A.甲B.乙C.丙D.丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越
大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
解:•••丙的平均分最好,方差最小,最稳定,
,应选的同学是丙.
故选:C.
【点评】本题考查了方差,正确理解方差的意义是解题的关键.
6.如图,四边形ABCO内接于Q0,若/8=108。,则/。的大小为()
A.54°B.62°C.72°D.82°
【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可.
解::四边形48C。内接于。。,ZB=108°,
.\ZD=180o-ZB=180°-108°=72°,
故选:C.
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质,熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答
此题的关键.
7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4cm,底面周长是则扇形的半
径为()
A.3cmB.SanC.6cmD.5cm
【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,然后根据勾股定理求得圆锥的
母线长就是扇形的半径.
解:,底面周长是6TTC/W,
底面的半径为3cm,
,圆锥的高为4cm,
...圆锥的母线长为:732+42=5(cm),
扇形的半径为5c/n,
故选:D.
【点评】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一
个直角三角形.
8.如图所示是二次函数丫=渥+以+。图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象
对称轴为直线x=l,给出五个结论:①bc>0;②a+6+c<0;③4"-2>c>0;④方程
苏+法+0=0的根为幻=-1,及=3;⑤当X<1时,y随着*的增大而增大.其中正确结
论是()
A.①②③B.①③④C.②③④D.@(4X§)
【分析】根据抛物线的开口方向得〃<0,对称轴在),轴右侧,得匕>0,抛物线与y轴的
正半轴相交,得c>0,故①正确;当x=l时,y—a+b+c>0,故②错误;当x=-2时,
y=4a-2b+c<0,故③错误;根据对称轴为x=l,与x轴交于点(3,0)可得与x轴的
另一个交点(-1,0),故④正确;由抛物线的对称性,得⑤正确.
解:•••抛物线的开口向下,
.,.a<0,
;对称轴x=l在y轴右侧,
:.b>0,
•••抛物线与y轴的正半轴相交,
/.c>0,故①正确;
当x=l时,y=a+b+c>0,故②错误;
当x=-2时,y=4a-2b+c<0,故③错误;
•••对称轴为x=l,与x轴交于点(3,0),
...与x轴的另一个交点(-1,0),故④正确;
由图象得x<l时,y随着x的增大而增大,故⑤正确;
正确结论有①④⑤,
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系,是二次函数的综合题型,
是一道数形结合题,要熟悉二次函数的性质,观察图形,得出正确结论.
二、填空题(共8小题,每题3分,共24分)
9.将抛物线y="向上平移3个单位长度,所得抛物线的函数解析式为y=2%2+3.
【分析】直接运用平移规律”左加右减,上加下减”,在原式上加3即可得新函数解析
式尸2^+3.
解:•.,=汰2向上平移3个单位长度,
,新抛物线为>="+3.
【点评】此题比较容易,主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加
右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3C,则该天气温的极差是12c.
【分析】根据极差的公式计算,即用9℃减去-3℃即可.
解:这天气温的极差是9-(-3)=12℃.
故答案为12c.
【点评】本题考查了极差的知识,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法
是用一组数据中的最大值减去最小值.
11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球,如果已知袋中只有一4个红球,且
摸出红球的概率为那么袋中的球共有12个.
【分析】根据红球的概率公式列出方程求解即可.
解:设袋中的球共有机个,其中有4个红球,则摸出红球的概率为冬,
m
根据题意有9=5,
m3
解得:m=12.
故本题答案为:12.
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用,如果一个事件有〃种可能,而且这
些事件的可能性相同,其中事件A出现,"种结果,那么事件A的概率尸(A)=皿.
n
12.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20ircm,则此扇形的面积是240ncM.
【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径,然后利用扇形的面积公式即可求解.
解:设扇形的半径是R,由题意得:/=151jR=20m
loO
解得:R=24cnt,
则扇形的面积s=—//?=—X20nX24=24X10n=240nc/n2.
22
故答案是:2407r.
【点评】本题考查了扇形的面积公式,正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键.
13.抛物线>=-必+6x+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是-3<x<l
【分析】根据抛物线的对称轴为》=-1.一个交点为(1,0),可推出另一交点为(-3,
0),结合图象求出y>0时,x的范围.
解:根据抛物线的图象可知:
抛物线的对称轴为x=-1,已知一个交点为(1,0),
根据对称性,则另一交点为(-3,0),
所以y>0时,x的取值范围是-3<xVl.
故答案为:
【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性,找出抛物线'=-好+6+。的完
整图象.
14.如图所示,AB为的直径,点C在。。上,且OCLA8,过点C的弦CC与线段08
相交于点E,满足NAEC=65°,连接AO,则NBA£>=20度.
【分析】由直角三角形的性质得出NOCE=25°,由等腰三角形的性质得出NOOC=N
OCE=25°,求出NOOC=130°,得出NBO£>=NDOC-NCOE=40°,再由圆周角
定理即可得出答案.
解:连接O。,如图:
':OC±AB,
AZCOE=9D°,
VZAEC=65°,
・・・NOCE=9(T-65°=25°,
*:OC=OD,
:.ZODC=ZOCE=25°,
・・・NOOC=180°-25°-25°=130°,
:.ZBOD=ZDOC-ZCOE=40°,
AZBAD=—ZBOD=20°,
2
故答案为:20.
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角
和定理:熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根,则该三角形的周长
为12.
【分析】先解一元二次方程,由于未说明两根哪个是腰哪个是底,故需分情况讨论,从
而得到其周长.
解:解方程N-12r+35=0,
得制=5,也=7,
•门〈第三边<7,
二第三边长为5,
.,•周长为3+4+5=12.
【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论.
16.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线y=K交于A,8两点,P是以点C
x
(2,2)为圆心,半径长为1的圆上一动点,连接4P,。为4P的中点.若线段。。长
度的最大值为2,则%的值为.
----2~
【分析】确定0Q是△ABP的中位线,0。的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=
BP-PC=4-1=3,则(,77-2)2+(-w-2)』32,即可求解.
解:连接BP,点。是A8的中点,则。。是△ABP的中位线,
当8、C、P三点共线时,PB最大,则0Q=*8P最大,
而0。的最大值为2,故BP的最大值为4,
贝|J8C=BP-PC=4-1=3,
设点B(m,-in),则(m-2)2+(-w-2)2=32,
解得:
.'.k—m(-〃?)=--,
2
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,确定0Q是△ABP的中位线
是本题解题的关键.
三、解答题(本题共U小题,共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明)
17.计算:
(1)5/-3x=0;
(2)x2-4x+l=0.
【分析】(1)提公因式法因式分解,可得结论;
(2)直接利用配方法解方程得出答案.
解:(1)V5X2-3x=0,
.,.x(5x-3)=0,
;.x=0或5x-3=0,
.__3
..Xl=0n,X2——;
5
(2)•.•/-4x+l=0,
.'.x2-4x=-1,
.".x2-4x+4=-1+4,
(x-2)2=3,
•'.X-2=±盯,
解得:JCI=2+5/3,X2=2-遮.
【点评】此题主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程,熟练应用因式分解法
解方程是解题关键.
18.已知关于x的方程x2+妙+3=0的一个根是1,求,〃的值和另一个根.
【分析】先把x=l代入关于x的方程/+妙+3=0求出的值,再把片的值代入方程,
利用根与系数的关系即可得出结论.
解:;关于x的方程声如+3=0的一个根是1,
/.12+/«+3=0,
.".m=-4,
.•.把机=-4代入方程x2+/nx+3=0得x2-4x+3=0,
设方程的另一个根为a,则l+a=4,
.♦.a=3.
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,熟知制,X2是方程炉+px+q=0的
两根时,X}+X2=-p,XlX2=q是解题的关键.
19.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制
成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.
【分析】设金色纸边的宽为X分米,关键题意列出方程,求出方程的解即可.
解:设金色纸边的宽为X分米,
方程为(8+2x)(6+2x)=80,
解方程得:》=-8或犬=1,
经检验x=-8或1都是所列方程的解,但是宽不能为负数,
即x=1,
答:金色纸边的宽是1分米.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,能根据题意列出方程是解此题的关键.
20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点都
在格点上.(每个小方格的顶点叫格点)
(1)画出△ABC向下平移3个单位后的
(2)画出绕点。顺时针旋转90°后的△4星。2,并求点A旋转到4所经过的路
【分析】(1)根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标,顺次连接即可;
(2)根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标,顺次连接即可.点A旋转到4所
经过的路线是半径为OA,圆心角是90度的扇形的弧长.
解:(1)画出△ASG;
(2)画出△A2B2c2
22
连接OA,OA2,QA=V2+3=V13,
点4旋转到A2所经过的路线长为1==呼冗•
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图.
作平移图形时,找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为:①确定平
移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和
平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的
图形即为平移后的图形.
作旋转后的图形的依据是旋转的性质,基本作法是①先确定图形的关键点;②利用旋转
性质作出关键点的对应点;③按原图形中的方式顺次连接对应点.要注意旋转中心,旋
转方向和角度.
21.如图,48是半圆0的直径,C,。是半圆。上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与
8。相交于点尸.8E是半圆。所在圆的切线,与AC的延长线相交于点£
(1)求证:△CBA丝△D4B;
(2)若BE=BF,求证:AC平分
【分析】(1)根据圆周角定理得到NACB=/AOB=90°,根据全等三角形的判定定理
即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到根据切线的性质得到/ABE=90°,根
据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论.
【解答】(1)证明:•••A8是半圆。的直径,
AZACB=ZADB=90°,
在RtA>CB4与RtADAB中,J.,
lBA=AB
ARtACBA^RtADAB(HL);
(2)解:,:BE=BF,由(1)知BC_LE尸,
:./E=/BFE,
「BE是半圆0所在圆的切线,
AZABE=90°,
.".ZE+ZBA£=90°,
由(1)知/。=90°,
/.ZDAF+ZAFD=90°,
':NAFD=NBFE,
:.ZAFD=ZE,
:/D4F=90°-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,
:./£>AF=NBAF,
;.AC平分ND48.
【点评】本题考查了切线的性质,全等三角形的判定和性质,圆周角定理,正确的识别
图形是解题的关键.
22.为进一步开展“睡眠管理”工作,某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名
学生平均每天的睡眠时间为x小时,其中的分组情况是:
A组:x<8.5
8组:8.5Wx<9
C组:9«9.5
。组:9.5Wx<10
E组:x210
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了100名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求。组所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该校有1500名学生,请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人?
【分析】(1)根据B组人数和所占的百分比,可以计算出本次调查的学生总人数;
(2)根据(1)中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据,可以计算出A
组和E组的人数,从而可以将条形统计图补充完整:
(3)根据。组的人数和调查的总人数,可以计算出。组所对应的扇形圆心角的度数;
(4)根据条形统计图中的数据,可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人.
解:(1)204-20%=100(名),
即本次共调查了100名学生,
故答案为:100;
(2)选择E的学生有:100X15%=15(人),
选择A的学生有:100-20-40-20-15=5(人),
补全的条形统计图如右图所示;
(3)360°义上90==72°,
100
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确
题意,利用数形结合的思想解答.
23.体育课上,小明、小强、小华三人在学习训练踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢
一次.
(1)如果从小强开始踢,经过两次踢后,用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的
概率是多少
(2)如果从小明开始踢,经过踢三次后,球踢到了小明处的概率.
【分析】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两
次踢后,足球踢到了小华处的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与经过踢三次后,
球踢到了小明处的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
解:(1)画树状图得:
开始
小明〃用
小祸〃冷小祸小明
•••共有4种等可能的结果,经过两次踢后,足球踢到了小华处的有1种情况,
...足球踢到了小华处的概率是:4:
(2)画树状图得:
小祸<1呼小祸小明小祸<1冷〃中小明
;共有8种等可能的结果,经过踢三次后,球踢到了小明处的有2种情况,
...经过踢三次后,球踢到了小明处的概率为:3=3.
84
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两
步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
24.如图,AB是。0的直径,点C是。0上一点,NC48的平分线4。交标于点。,过点
D作DE//BC交AC的延长线于点E.
(1)求证:QE是。。的切线;
(2)过点。作。于点F,连接8D若OF=1,BF=2,求8。的长度.
【分析】(1)连接0。,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出/AOO=ND4E,
从而OO〃AE,由。E〃BC得/E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出N0£>E=
90°,山切线的判定定理得出答案;
(2)先由直径所对的圆周角是直角得出/ADB=90°,再由。尸=1,8尸=2得出OB的
值,进而得出A尸和54的值,然后证明△QBFs/vlB。,由相似三角形的性质得比例式,
从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.
解:(1)连接0。,如图,
':OA=OD,
:.ZOAD=ZADO,
平分NC48,
:.ZDAE=Z0AD,
:.NDAE,
:.OD//AE,
':DE//BC,
.".ZE=90°,
AZ(?£>£=180°-NE=90°,
・・・。£是。。的切线;
(2)〈AB是。。的直径,
AZADB=90°,
VOF=\,BF=2,
・・・。8=3,
.\AF=4,84=6.
VDF1AB,
:・NDFB=90。,
・・・/ADB=/DFB,
又,:/DBF=NABD,
,工DBFS/\ABD,
.BD_BF
••前一丽’
:.BD2=BF*BA=2X6=n.
:.BD=2yf2-
解法二:利用勾股定理求出。凡再利用勾股定理求出8。即可.
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握
圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键.
25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售,一天可售出100件,后
来经过市场调查,发现这种商品每降低2元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润4320元,则每件商品售价应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?并求最大利润值.
【分析】(1)根据总利润=单件利润X销量即可列式计算;
(2)①分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润,从而列出方程求解;
②列出二次函数关系式后配方即可确定最大利润值.
解:(1)原来一天可获利润是:(200-160)X100=4000元;
(2)①,依题意,得(200-160-x)(100+5x)=4320
解得:x=4或工=16
则每件商品应降价4元或16元;
②尸(200-160-x)(100+5%)=-5(x-10)2+4500
.•.当x=10时,y有最大值,最大值是4500元,
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用,解题的关键是能够表示出
销量和单件的利润,难度不大.
26.阅读理解:
小明热爱数学,在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理:任意平行四边形对角
线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形ABCD中,AC^+BD2^
AB^+B^+CD^DA2.由此,他探究得到三角形的一个性质:三角形两边的平方和等于第
三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.
(1)说理证明:
如图2,在AABC中,若点。为的中点,则有:AB2+A(^=2AD2+2BD2.请你证明小
明得到的三角形性质的正确性.
(2)理解运用:
①在△ABC中,点。为2c的中点,A8=4,AC=3,BC=6,贝ijA£>=匹.;
一2一
②如图3,。。的半径为6,点A在圆内,且OA=4,5,点3和点C在。。上,且NB4C
=90°,点E、尸分别为AO、BC的中点,则EF的长为_历_;
(3)拓展延伸:
如图4,已知。。的半径为2遥,以A(2,2)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C
【分析】(1)过点A作AE_LBC于点E,设8O=C£)=x,DE^y,由A4uA/+BE2,
AC2=A£2+C£2,AD1=AE?+DE?,可得A¥+AC^ZAE2+(x-y)2+(x+y)2=2A£(2+2x2+2y2,
BPW-4B2+AC2=2A£2+2BD2+2DE2=2(A^+Dfi2)+2BD2=2AD2+2BD2-
(2)解:①由82+AO2=2A£)2+28£>2ma42+32=2Ar>2+2X32,故AD=YS_;
2
②连接OC,OF,OB,AF,由AF是aABC的中线,或7是△4F0的中线,可得8产=
—AB2+—AC--AF2,OF2=2EF2+2AEr-AF2,而0^=08?-BF2,可推得4£产=20"2
22
-OA2,故跖=VIU;
(3)连接。A,取OA的中点E,连接。E,AD,由(2)的②可知:D^^OB2-
24
=8,有DE=2如,当A,E,。共线时,4。长的最大值为3&.
【解答】(1)证明:过点A作AE_LBC于点E,如图,
A
公
BDEC
设8£>=CQ=x,DE=y,
在RtzMBE中,AB^AE^BE1,
同理可得:AC<2=A£2+CE2,AD1=AEr+DE?,
:.AB2+AC2=2AE2+C£2+BE2=2AE2+(x-y)2+(x+y)2=2A£2+2x2+2/,
•.,8£>2=好,£)£2=y,
AB-+AC2=2AE2+2BD2+2DEr=2(AE2+DEr)+2BD2=2AD2+2BD2;
(2)解:①由(1)知482+40=1402+2班巴
•.•点。为8C的中点,BC=6,
:.BD=3,
•:AB=4,AC=3,
.-.42+32=2AD2+2X32,
:.AD=&
2
故答案为:叵;
2
②连接OC,OF,OB,AF,如图,
;A尸是△4BC的中线,EF是的中线,
lAF^+lBF2=AB2+AC2,2EFQ+2AE?=AF2+OF,1,
..BI^^—AB^—AC2-A产,0尸=2£产+2AE2-A产,
22
':OB=OC,OF是△80C的中线,
J.OFLBC,
:.0^=082-BF2,
J.IEFq+IAE^-AF2=OB2-(—AB2+—AC2-Af2),
22
:AEf1=2OB1-AB2-AG+4A尸_44/,
VZBAC=90°,
:.AB2+ACZ=BC2^(2AF)2=4AF2,
;.4E产=20中.4A/,
\"OA=2AE,
:AAEr=OA2,
:.4E产=2OB?-OA2,
.♦.#=▲032一」OA」_1X62-(4近)2=10,
2424
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