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文档简介

2022-2023学年江苏省淮安市吁胎县九年级第一学期期末数学试

一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。每题的四个选项中,只有一个符合题

意,请把符合题意的选项填在下表中)

1.方程9-9=0的解是()

A.x\=3,X2=-3B.x=0C.XI=X2=3D.x\=X2=-3

2-微的顶点坐标为

2.抛物线y=2(x+1))

(1)

A.(1,B.C.(-1,—)D.4

*2

3.在射击训练中,某队员的10次射击成绩如图,则这10次成绩的中位数和众数分别是()

C.9.5,9.6D.9.6,9.8

4.若关于x的一元二次方程炉-2%+加=0没有实数根,则实数〃?的取值范围是()

A.tn<Z1B.m>-1C.m>lD,tn<-1

5.甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数彳(秒)及方差S2如下表所

示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是()

甲乙丙T

X777.57.5

S20.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.如图,四边形48C。内接于。0,若N8=108°,则/。的大小为()

5

A.54°B.62°C.72°D.82°

7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4。小底面周长是7m则扇形的半

径为()

A.3cmB.ScmC.6cmD.5cm

8.如图所示是二次函数以+c图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象

对称轴为直线x=l,给出五个结论:①8c>0;②a+6+c<0;③4a-2/?+c>0;④方程

加+6*+0=0的根为xi=-1,及=3;⑤当X<1时,y随着x的增大而增大.其中正确结

论是()

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④©

二、填空题(共8小题,每题3分,共24分)

9.将抛物线y="向上平移3个单位长度,所得抛物线的函数解析式为.

10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3℃,则该天气温的极差是.

11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球,如果已知袋中只有一4个红球,且

摸出红球的概率为那么袋中的球共有个.

12.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20JICM,则此扇形的面积是cm2.

13.抛物线y=-/+公+。的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.

14.如图所示,A8为。。的直径,点C在。0上,OCLAB,过点C的弦CC与线段08

相交于点E,满足乙4EC=65°,连接4。,则/54。=度.

15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根,则该三角形的周长

为.

16.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线^=区交于A,B两点,P是以点C

x

(2,2)为圆心,半径长为1的圆上一动点,连接AP,。为AP的中点.若线段。。长

三、解答题(本题共11小题,共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说

明)

17.计算:

(1)Sx2-3x=0;

(2)N-4x+l=0.

18.己知关于x的方程f+/wc+3=0的一个根是1,求机的值和另一个根.

19.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制

成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.

图①图②

20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都

在格点上.(每个小方格的顶点叫格点)

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的△4SG;

(2)画出△ABC绕点。顺时针旋转90°后的△4&C2,并求点A旋转到4所经过的路

线长.

A

BCo

21.如图,AB是半圆。的直径,C,。是半圆。上不同于A,8的两点,AD=BC,AC与

BO相交于点尸.BE是半圆。所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.

(1)求证:△CB4丝△D48;

(2)若BE=BF,求证:AC平分

22.为进一步开展“睡眠管理”工作,某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名

学生平均每天的睡眠时间为x小时,其中的分组情况是:

A组:xV8.5

B组:8.50<9

C组:9«9.5

。组:9.5WxV10

E组:x210

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:

(1)本次共调查了名学生;

(2)补全条形统计图;

(3)在扇形统计图中,求。组所对应的扇形圆心角的度数;

(4)若该校有1500名学生,请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人?

23.体育课上,小明、小强、小华三人在学习训练踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢

一次.

(1)如果从小强开始踢,经过两次踢后,用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的

概率是多少

(2)如果从小明开始踢,经过踢三次后,球踢到了小明处的概率.

24.如图,是©0的直径,点C是。。上一点,NC4B的平分线4。交前于点。,过点

D作DE//BC交AC的延长线于点E.

(1)求证:OE是OO的切线;

(2)过点。作。尸,AB于点F,连接若。尸=1,BF=2,求8。的长度.

25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售,一天可售出100件,后

来经过市场调查,发现这种商品每降低2元,其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?

(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润4320元,则每件商品售价应降价多少元?

②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?并求最大利润值.

26.阅读理解:

小明热爱数学,在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理:任意平行四边形对角

线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形ABCD中,AC1+BD1=

AB^BC^+CD^DA2.由此,他探究得到三角形的一个性质:三角形两边的平方和等于第

三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

(1)说理证明:

如图2,在aABC中,若点。为8c的中点,则有:AB2+AC2=2AD2+2B£>2.请你证明小

明得到的三角形性质的正确性.

(2)理解运用:

①在△ABC中,点。为BC的中点,AB=4,AC=3,BC=6,则AO=;

②如图3,。。的半径为6,点4在圆内,且。4=4&,点B和点C在。。上,且/84C

=90°,点E、F分别为AO、BC的中点,则E尸的长为;

(3)拓展延伸:

如图4,已知。0的半径为2代,以A(2,2)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C

都在OO上,。为BC的中点,则AO长的最大值为.

27.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-9+法+c的图象与坐标轴相交于A、B、C

三点,其中A点坐标为(3,0),8点坐标为(-1,0),连接AC、BC.动点P从点A

出发,在线段AC上以每秒加个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点。从点3出

发,在线段8A上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另

一点随之停止运动,连接P。,设运动时间为,秒.

(1)求反c的值.

(2)在P、。运动的过程中,当f为何值时,四边形8CPQ的面积最小,最小值为多少?

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MP。是以点P为直角顶点的等腰

直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。每题的四个选项中,只有一个符合题

意,请把符合题意的选项填在下表中)

1.方程x2-9=0的解是()

A.xi=3,X2=-3B.x=0C.X\=X2=3D.X\=X2=-3

【分析】将方程常数项移到方程右边,利用平方根的定义开方即可得到方程的解.

解:N-9=0,

变形得:f=9,

开方得:X1=3,X2--3;

故选:A.

【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法解一元二

次方程的依据是解题的关键.

2.抛物线y=2(x+1)2-•的顶点坐标为()

A.(1,——)B.(-1,——)C,(-1,—)D.(1,-

2222

【分析】根据题目中的抛物线,可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

解::抛物线y=2(x+l)2-'

.♦•该抛物线的顶点坐标为(-1,,

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质

解答.

3.在射击训练中,某队员的10次射击成绩如图,则这10次成绩的中位数和众数分别是()

C.9.5,9.6D.9.6,9.8

【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列,然后即可得到这组数据的中位数;

一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

解:这10次射击成绩从小到大排列是:8.8,9.0,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.8,9.8,

...中位数是C9.4+9.6)+2=9.5(环),

9.6出现的次数最多,故众数为9.6环.

故选:C.

【点评】本题考查众数与中位数,解答本题的关键是明确题意,会求一组数据的中位数.

4.若关于x的一元二次方程f-2r+,"=0没有实数根,则实数,”的取值范围是()

A.m<1B.m>-1C.m>1D.m<-1

【分析】方程没有实数根,则△<(),建立关于,"的不等式,求出,〃的取值范围.

解:由题意知,△=4-4m<0,

.*./?/>1

故选:C.

【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:

(1)△>00方程有两个不相等的实数根;

(2)△=0=方程有两个相等的实数根;

(3)△<0=方程没有实数根.

5.甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数彳(秒)及方差群如下表所

示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是()

甲乙丙T

X777.57.5

0.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越

大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.

解:•••丙的平均分最好,方差最小,最稳定,

,应选的同学是丙.

故选:C.

【点评】本题考查了方差,正确理解方差的意义是解题的关键.

6.如图,四边形ABCO内接于Q0,若/8=108。,则/。的大小为()

A.54°B.62°C.72°D.82°

【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可.

解::四边形48C。内接于。。,ZB=108°,

.\ZD=180o-ZB=180°-108°=72°,

故选:C.

【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质,熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答

此题的关键.

7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4cm,底面周长是则扇形的半

径为()

A.3cmB.SanC.6cmD.5cm

【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,然后根据勾股定理求得圆锥的

母线长就是扇形的半径.

解:,底面周长是6TTC/W,

底面的半径为3cm,

,圆锥的高为4cm,

...圆锥的母线长为:732+42=5(cm),

扇形的半径为5c/n,

故选:D.

【点评】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一

个直角三角形.

8.如图所示是二次函数丫=渥+以+。图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象

对称轴为直线x=l,给出五个结论:①bc>0;②a+6+c<0;③4"-2>c>0;④方程

苏+法+0=0的根为幻=-1,及=3;⑤当X<1时,y随着*的增大而增大.其中正确结

论是()

A.①②③B.①③④C.②③④D.@(4X§)

【分析】根据抛物线的开口方向得〃<0,对称轴在),轴右侧,得匕>0,抛物线与y轴的

正半轴相交,得c>0,故①正确;当x=l时,y—a+b+c>0,故②错误;当x=-2时,

y=4a-2b+c<0,故③错误;根据对称轴为x=l,与x轴交于点(3,0)可得与x轴的

另一个交点(-1,0),故④正确;由抛物线的对称性,得⑤正确.

解:•••抛物线的开口向下,

.,.a<0,

;对称轴x=l在y轴右侧,

:.b>0,

•••抛物线与y轴的正半轴相交,

/.c>0,故①正确;

当x=l时,y=a+b+c>0,故②错误;

当x=-2时,y=4a-2b+c<0,故③错误;

•••对称轴为x=l,与x轴交于点(3,0),

...与x轴的另一个交点(-1,0),故④正确;

由图象得x<l时,y随着x的增大而增大,故⑤正确;

正确结论有①④⑤,

故选:D.

【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系,是二次函数的综合题型,

是一道数形结合题,要熟悉二次函数的性质,观察图形,得出正确结论.

二、填空题(共8小题,每题3分,共24分)

9.将抛物线y="向上平移3个单位长度,所得抛物线的函数解析式为y=2%2+3.

【分析】直接运用平移规律”左加右减,上加下减”,在原式上加3即可得新函数解析

式尸2^+3.

解:•.,=汰2向上平移3个单位长度,

,新抛物线为>="+3.

【点评】此题比较容易,主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加

右减,上加下减.并用规律求函数解析式.

10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3C,则该天气温的极差是12c.

【分析】根据极差的公式计算,即用9℃减去-3℃即可.

解:这天气温的极差是9-(-3)=12℃.

故答案为12c.

【点评】本题考查了极差的知识,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法

是用一组数据中的最大值减去最小值.

11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球,如果已知袋中只有一4个红球,且

摸出红球的概率为那么袋中的球共有12个.

【分析】根据红球的概率公式列出方程求解即可.

解:设袋中的球共有机个,其中有4个红球,则摸出红球的概率为冬,

m

根据题意有9=5,

m3

解得:m=12.

故本题答案为:12.

【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用,如果一个事件有〃种可能,而且这

些事件的可能性相同,其中事件A出现,"种结果,那么事件A的概率尸(A)=皿.

n

12.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20ircm,则此扇形的面积是240ncM.

【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径,然后利用扇形的面积公式即可求解.

解:设扇形的半径是R,由题意得:/=151jR=20m

loO

解得:R=24cnt,

则扇形的面积s=—//?=—X20nX24=24X10n=240nc/n2.

22

故答案是:2407r.

【点评】本题考查了扇形的面积公式,正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键.

13.抛物线>=-必+6x+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是-3<x<l

【分析】根据抛物线的对称轴为》=-1.一个交点为(1,0),可推出另一交点为(-3,

0),结合图象求出y>0时,x的范围.

解:根据抛物线的图象可知:

抛物线的对称轴为x=-1,已知一个交点为(1,0),

根据对称性,则另一交点为(-3,0),

所以y>0时,x的取值范围是-3<xVl.

故答案为:

【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性,找出抛物线'=-好+6+。的完

整图象.

14.如图所示,AB为的直径,点C在。。上,且OCLA8,过点C的弦CC与线段08

相交于点E,满足NAEC=65°,连接AO,则NBA£>=20度.

【分析】由直角三角形的性质得出NOCE=25°,由等腰三角形的性质得出NOOC=N

OCE=25°,求出NOOC=130°,得出NBO£>=NDOC-NCOE=40°,再由圆周角

定理即可得出答案.

解:连接O。,如图:

':OC±AB,

AZCOE=9D°,

VZAEC=65°,

・・・NOCE=9(T-65°=25°,

*:OC=OD,

:.ZODC=ZOCE=25°,

・・・NOOC=180°-25°-25°=130°,

:.ZBOD=ZDOC-ZCOE=40°,

AZBAD=—ZBOD=20°,

2

故答案为:20.

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角

和定理:熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根,则该三角形的周长

为12.

【分析】先解一元二次方程,由于未说明两根哪个是腰哪个是底,故需分情况讨论,从

而得到其周长.

解:解方程N-12r+35=0,

得制=5,也=7,

•门〈第三边<7,

二第三边长为5,

.,•周长为3+4+5=12.

【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论.

16.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线y=K交于A,8两点,P是以点C

x

(2,2)为圆心,半径长为1的圆上一动点,连接4P,。为4P的中点.若线段。。长

度的最大值为2,则%的值为.

----2~

【分析】确定0Q是△ABP的中位线,0。的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=

BP-PC=4-1=3,则(,77-2)2+(-w-2)』32,即可求解.

解:连接BP,点。是A8的中点,则。。是△ABP的中位线,

当8、C、P三点共线时,PB最大,则0Q=*8P最大,

而0。的最大值为2,故BP的最大值为4,

贝|J8C=BP-PC=4-1=3,

设点B(m,-in),则(m-2)2+(-w-2)2=32,

解得:

.'.k—m(-〃?)=--,

2

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,确定0Q是△ABP的中位线

是本题解题的关键.

三、解答题(本题共U小题,共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说

明)

17.计算:

(1)5/-3x=0;

(2)x2-4x+l=0.

【分析】(1)提公因式法因式分解,可得结论;

(2)直接利用配方法解方程得出答案.

解:(1)V5X2-3x=0,

.,.x(5x-3)=0,

;.x=0或5x-3=0,

.__3

..Xl=0n,X2——;

5

(2)•.•/-4x+l=0,

.'.x2-4x=-1,

.".x2-4x+4=-1+4,

(x-2)2=3,

•'.X-2=±盯,

解得:JCI=2+5/3,X2=2-遮.

【点评】此题主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程,熟练应用因式分解法

解方程是解题关键.

18.已知关于x的方程x2+妙+3=0的一个根是1,求,〃的值和另一个根.

【分析】先把x=l代入关于x的方程/+妙+3=0求出的值,再把片的值代入方程,

利用根与系数的关系即可得出结论.

解:;关于x的方程声如+3=0的一个根是1,

/.12+/«+3=0,

.".m=-4,

.•.把机=-4代入方程x2+/nx+3=0得x2-4x+3=0,

设方程的另一个根为a,则l+a=4,

.♦.a=3.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,熟知制,X2是方程炉+px+q=0的

两根时,X}+X2=-p,XlX2=q是解题的关键.

19.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制

成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.

【分析】设金色纸边的宽为X分米,关键题意列出方程,求出方程的解即可.

解:设金色纸边的宽为X分米,

方程为(8+2x)(6+2x)=80,

解方程得:》=-8或犬=1,

经检验x=-8或1都是所列方程的解,但是宽不能为负数,

即x=1,

答:金色纸边的宽是1分米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用,能根据题意列出方程是解此题的关键.

20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点都

在格点上.(每个小方格的顶点叫格点)

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的

(2)画出绕点。顺时针旋转90°后的△4星。2,并求点A旋转到4所经过的路

【分析】(1)根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标,顺次连接即可;

(2)根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标,顺次连接即可.点A旋转到4所

经过的路线是半径为OA,圆心角是90度的扇形的弧长.

解:(1)画出△ASG;

(2)画出△A2B2c2

22

连接OA,OA2,QA=V2+3=V13,

点4旋转到A2所经过的路线长为1==呼冗•

【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图.

作平移图形时,找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为:①确定平

移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和

平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的

图形即为平移后的图形.

作旋转后的图形的依据是旋转的性质,基本作法是①先确定图形的关键点;②利用旋转

性质作出关键点的对应点;③按原图形中的方式顺次连接对应点.要注意旋转中心,旋

转方向和角度.

21.如图,48是半圆0的直径,C,。是半圆。上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与

8。相交于点尸.8E是半圆。所在圆的切线,与AC的延长线相交于点£

(1)求证:△CBA丝△D4B;

(2)若BE=BF,求证:AC平分

【分析】(1)根据圆周角定理得到NACB=/AOB=90°,根据全等三角形的判定定理

即可得到结论;

(2)根据等腰三角形的性质得到根据切线的性质得到/ABE=90°,根

据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论.

【解答】(1)证明:•••A8是半圆。的直径,

AZACB=ZADB=90°,

在RtA>CB4与RtADAB中,J.,

lBA=AB

ARtACBA^RtADAB(HL);

(2)解:,:BE=BF,由(1)知BC_LE尸,

:./E=/BFE,

「BE是半圆0所在圆的切线,

AZABE=90°,

.".ZE+ZBA£=90°,

由(1)知/。=90°,

/.ZDAF+ZAFD=90°,

':NAFD=NBFE,

:.ZAFD=ZE,

:/D4F=90°-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

:./£>AF=NBAF,

;.AC平分ND48.

【点评】本题考查了切线的性质,全等三角形的判定和性质,圆周角定理,正确的识别

图形是解题的关键.

22.为进一步开展“睡眠管理”工作,某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名

学生平均每天的睡眠时间为x小时,其中的分组情况是:

A组:x<8.5

8组:8.5Wx<9

C组:9«9.5

。组:9.5Wx<10

E组:x210

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:

(1)本次共调查了100名学生;

(2)补全条形统计图;

(3)在扇形统计图中,求。组所对应的扇形圆心角的度数;

(4)若该校有1500名学生,请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人?

【分析】(1)根据B组人数和所占的百分比,可以计算出本次调查的学生总人数;

(2)根据(1)中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据,可以计算出A

组和E组的人数,从而可以将条形统计图补充完整:

(3)根据。组的人数和调查的总人数,可以计算出。组所对应的扇形圆心角的度数;

(4)根据条形统计图中的数据,可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人.

解:(1)204-20%=100(名),

即本次共调查了100名学生,

故答案为:100;

(2)选择E的学生有:100X15%=15(人),

选择A的学生有:100-20-40-20-15=5(人),

补全的条形统计图如右图所示;

(3)360°义上90==72°,

100

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确

题意,利用数形结合的思想解答.

23.体育课上,小明、小强、小华三人在学习训练踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢

一次.

(1)如果从小强开始踢,经过两次踢后,用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的

概率是多少

(2)如果从小明开始踢,经过踢三次后,球踢到了小明处的概率.

【分析】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两

次踢后,足球踢到了小华处的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.

(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与经过踢三次后,

球踢到了小明处的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.

解:(1)画树状图得:

开始

小明〃用

小祸〃冷小祸小明

•••共有4种等可能的结果,经过两次踢后,足球踢到了小华处的有1种情况,

...足球踢到了小华处的概率是:4:

(2)画树状图得:

小祸<1呼小祸小明小祸<1冷〃中小明

;共有8种等可能的结果,经过踢三次后,球踢到了小明处的有2种情况,

...经过踢三次后,球踢到了小明处的概率为:3=3.

84

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

24.如图,AB是。0的直径,点C是。0上一点,NC48的平分线4。交标于点。,过点

D作DE//BC交AC的延长线于点E.

(1)求证:QE是。。的切线;

(2)过点。作。于点F,连接8D若OF=1,BF=2,求8。的长度.

【分析】(1)连接0。,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出/AOO=ND4E,

从而OO〃AE,由。E〃BC得/E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出N0£>E=

90°,山切线的判定定理得出答案;

(2)先由直径所对的圆周角是直角得出/ADB=90°,再由。尸=1,8尸=2得出OB的

值,进而得出A尸和54的值,然后证明△QBFs/vlB。,由相似三角形的性质得比例式,

从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.

解:(1)连接0。,如图,

':OA=OD,

:.ZOAD=ZADO,

平分NC48,

:.ZDAE=Z0AD,

:.NDAE,

:.OD//AE,

':DE//BC,

.".ZE=90°,

AZ(?£>£=180°-NE=90°,

・・・。£是。。的切线;

(2)〈AB是。。的直径,

AZADB=90°,

VOF=\,BF=2,

・・・。8=3,

.\AF=4,84=6.

VDF1AB,

:・NDFB=90。,

・・・/ADB=/DFB,

又,:/DBF=NABD,

,工DBFS/\ABD,

.BD_BF

••前一丽’

:.BD2=BF*BA=2X6=n.

:.BD=2yf2-

解法二:利用勾股定理求出。凡再利用勾股定理求出8。即可.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握

圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键.

25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售,一天可售出100件,后

来经过市场调查,发现这种商品每降低2元,其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?

(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润4320元,则每件商品售价应降价多少元?

②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?并求最大利润值.

【分析】(1)根据总利润=单件利润X销量即可列式计算;

(2)①分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润,从而列出方程求解;

②列出二次函数关系式后配方即可确定最大利润值.

解:(1)原来一天可获利润是:(200-160)X100=4000元;

(2)①,依题意,得(200-160-x)(100+5x)=4320

解得:x=4或工=16

则每件商品应降价4元或16元;

②尸(200-160-x)(100+5%)=-5(x-10)2+4500

.•.当x=10时,y有最大值,最大值是4500元,

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用,解题的关键是能够表示出

销量和单件的利润,难度不大.

26.阅读理解:

小明热爱数学,在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理:任意平行四边形对角

线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形ABCD中,AC^+BD2^

AB^+B^+CD^DA2.由此,他探究得到三角形的一个性质:三角形两边的平方和等于第

三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

(1)说理证明:

如图2,在AABC中,若点。为的中点,则有:AB2+A(^=2AD2+2BD2.请你证明小

明得到的三角形性质的正确性.

(2)理解运用:

①在△ABC中,点。为2c的中点,A8=4,AC=3,BC=6,贝ijA£>=匹.;

一2一

②如图3,。。的半径为6,点A在圆内,且OA=4,5,点3和点C在。。上,且NB4C

=90°,点E、尸分别为AO、BC的中点,则EF的长为_历_;

(3)拓展延伸:

如图4,已知。。的半径为2遥,以A(2,2)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C

【分析】(1)过点A作AE_LBC于点E,设8O=C£)=x,DE^y,由A4uA/+BE2,

AC2=A£2+C£2,AD1=AE?+DE?,可得A¥+AC^ZAE2+(x-y)2+(x+y)2=2A£(2+2x2+2y2,

BPW-4B2+AC2=2A£2+2BD2+2DE2=2(A^+Dfi2)+2BD2=2AD2+2BD2-

(2)解:①由82+AO2=2A£)2+28£>2ma42+32=2Ar>2+2X32,故AD=YS_;

2

②连接OC,OF,OB,AF,由AF是aABC的中线,或7是△4F0的中线,可得8产=

—AB2+—AC--AF2,OF2=2EF2+2AEr-AF2,而0^=08?-BF2,可推得4£产=20"2

22

-OA2,故跖=VIU;

(3)连接。A,取OA的中点E,连接。E,AD,由(2)的②可知:D^^OB2-

24

=8,有DE=2如,当A,E,。共线时,4。长的最大值为3&.

【解答】(1)证明:过点A作AE_LBC于点E,如图,

A

BDEC

设8£>=CQ=x,DE=y,

在RtzMBE中,AB^AE^BE1,

同理可得:AC<2=A£2+CE2,AD1=AEr+DE?,

:.AB2+AC2=2AE2+C£2+BE2=2AE2+(x-y)2+(x+y)2=2A£2+2x2+2/,

•.,8£>2=好,£)£2=y,

AB-+AC2=2AE2+2BD2+2DEr=2(AE2+DEr)+2BD2=2AD2+2BD2;

(2)解:①由(1)知482+40=1402+2班巴

•.•点。为8C的中点,BC=6,

:.BD=3,

•:AB=4,AC=3,

.-.42+32=2AD2+2X32,

:.AD=&

2

故答案为:叵;

2

②连接OC,OF,OB,AF,如图,

;A尸是△4BC的中线,EF是的中线,

lAF^+lBF2=AB2+AC2,2EFQ+2AE?=AF2+OF,1,

.­.BI^^—AB^—AC2-A产,0尸=2£产+2AE2-A产,

22

':OB=OC,OF是△80C的中线,

J.OFLBC,

:.0^=082-BF2,

J.IEFq+IAE^-AF2=OB2-(—AB2+—AC2-Af2),

22

:AEf1=2OB1-AB2-AG+4A尸_44/,

VZBAC=90°,

:.AB2+ACZ=BC2^(2AF)2=4AF2,

;.4E产=20中.4A/,

\"OA=2AE,

:AAEr=OA2,

:.4E产=2OB?-OA2,

.♦.#=▲032一」OA」_1X62-(4近)2=10,

2424

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