2020高三数学教学案第六章不等式

b

第一课时不等式的性质

c-b

考纲摘录7）若a<6<0,则X8）若则/0,

abab

工^握实数的运算性质及大小顺序之间的关系；

b<0

2、理解不等式的性质定理及其推论的证明；

3、能正确使用不等式的性质，进行两个代数式大小的比较，以2、若-i<a<6<0,则有

及判定某些不等式是否成立。

（）

A.-<-<Z?2<B.L（于<〃

知识概要baba

C.<^<52D._L<1</<勿

知识点：L实数的运算性质abab

3、（1）若3</77<6,m<n<2m,贝!]m+n取值范围是

2、不等式的性质

基本方法：比较两个代数值（或式）的大小：作差比较法与

（2）若角a、夕满足-1<a<夕<5,则2a-/取值范围是

作商比较法.

4、若/（x）=x\g（x）=x2-x+l且、<1,则/（X）与g（x）的大小关系是

重点难点

重点：不等式的性质和比较法的应用.

难点：不等式性质及推论的证明.

例题讲解

基础名东习例1、已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,>0（其中8、b、

ab

1、设a、b、ceR,判断下列各命题的真假

ca均为实数）用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作

1）若^>6,则<5£2>6£22）若^^>6i，则^>6

为结论组成一个命题，确定可组成的正确命题.

3）若a<b<0,则于〉4）若a<6<0,则上<上

ab

5）若a<6<0,则a|>\b\6）若c>a>6>0,则，一

例2、⑴若x<)，<0,试比较，+V)(x_y)与(Y_/)(”的大小

(2)设3>0,b>0且8WZ?,试比较。。・〃与a"•〃的大小。

课后作业

班级学号姓名

例3、在等比数列⑸和等差数列｛仇｝中，团=包>0,而女>0,且

aitai,试比较力与限、、生与女的大小.L已知则下列不等式中：①a+6<a6②|a|>|6|③

ab

8<6④>2,正确的不等式个数是______个.

2、已知8、b是实数，贝ua>6>0是/>从的条件.

3、已知a、bwR,则a+6<1+ab是/+从<1的

条件.

4、命题"a>boL<；’成立的充要条件是_____________.

ab

5、已知a、6w(0,+8),设A=；+],B=E，则A、B的大

例4、设代0=/+以,且l</(-i)<2,2</(1)<4,求/(-2)的取值

la2ba+b

范围。小关系是_____________.

6、若a>l,M=&TT-石,N=&-G，则M与N大小关系

是

7、已知a>2,b>2,比较a+b与ab的大小.

9、已知0<x<1,0<a<1,试比较与gg-］的大小。

8、比较1+农与，2一(1一号的大小.

aVa

10、(选做题)设。,根据函数单调性定义，证明函数

/(x)=log：+k)g;在

(1，为上是增函数.

a

高三数学教学案第上女八'早不―7—等Ayr式P

班级学号

_________姓名________

第二课时算术平均数与几何平均数（一）

考纲摘录

掌握两个（不要求扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的

几何平均数这个定理并会用定理证明简单的不等式.

知识概要

1、均值不等式及成立的条件；

2、均值不等式的变式；

3、理解四个"平均数"的大小关系.

重点难点

均值不等式定理及利用均值不等式证明简单不等式.

基础练习

1、若0<a<l,0<b<l且aw6,则下列代数式中最大的是

A.a2+b2B.a+bC.2abD.2y[ab

2、已知M=(L-i)G-i)p_i),a+b,其中a、b、ce

abc

R,,则M的取值范围是

()

A.0,()B.：，1)C.[1,8)D.[8,+oo)

2、已知a、b、ceR*,求证：

3、已知实数a、b、ce(0,l),且仇3c互不相等，设加=log号,

(1)a4+b"+c-4>a2b2+b2c2+c2a2>abd(a+b+c)

〃=；log产,p=g(104"+10&"),则相、"、p的大小关系是

(2)yla2+b2+ylb2+c2+ylc2+a2>/2(a+b+c)

4、已知8、b、ceR，，且8+b+ci,求证j+?+

abc

例题讲解

例1、设a、6WR：a+b=l,试给出含有a、。两个元素的不等式,

并加以证明.

例3、设数列｛8n｝是等差数列，并且ai>1，公差d>0，求证：flml

3、数列｛an｝通项公式a=，则数列｛an｝中最大项是第________

是递减数列.n~+90

项.

4、设abeR,a+b=3,贝!J2"+2〃的最小.

5、已知a、bwR,且a+b=2,a/b，则1,ab,日产由小到大

的顺序是______________.

6、下列不等式

①x+』22(2)1,r+—|>2

xx

③若0<a<l<b,贝!]io&>io&；<-2

④若0<8<1<匕，则<2

其中正确的是_____________.

课后作业

7、若0<a<6,且a+b=l,试确定g,a,b,/+从的大小.

班级学号姓名

1、已知1<L<],那么(log/)?_____1.(填或">")

ab

2、已知a>6>0,全集I=R,M={》|b<x<等},N={R族<x

<a},

贝UMAc/=.

8、已知a、b、c£R+,且a+b+c\,求证：10、（选做题）已知a、6是正数，求证：

①/+/+C?2；②4〃+6。+〃CWg①若石+1>4b,则对于任何大于1的正数x,恒有以+*>b

x-l

成立；

②若对任何大于1的正数X,恒有以+告>b成立，则石+1>

X-1

4b.

9、已知方程a/+bx+c=0有一根占>0,求证：方程cf+/>x+a=O必

有一根X?,使占+占22.

高三数学教学案第六章不等式

班级学号①若X>0时，当x=时，函数有最________值

_________姓名___________________________/

第三课时算术平均数与几何平均数（二）②若（0,"时，当八=时，函数有最________值

考纲摘录

掌握用两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数的定理求③若x£[4,+8）时，当x=时，函数有最

函数的最值和解决不等式应用题.

;

知识概要3、已知x之|•，贝!J/（x）=x；4x：5有

22x-4

1、如果abe如，中=P（定值），当x=y时,x+y有最小值2VP

（）

（简记为：积定和有最小值）

A.最大值JB.最小值JC.最大值1

44

2、如果&住R，，x+y=S（定值）当3y时，孙有最大值分2（简

4D.最小值1

记为：和定积有最大值.

4、某工厂要建造一个长方体形状的无盖水池，水池容积是4800m3,

深3m如果池底每1m2的造价是150元，池壁每1m2的造价是

重点难点

120元，问如何设计使水池总造价最低？

重点:运用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定

理求函数的最值，特别注意条件："一正、二定、三等".

难点：运用均值定理解决应用题时数学模型的建立。

例题讲解

基础练习

例1、①若正数X、满足x+2y=l,求的最小值

1、已知仁+ig，=1,则的最小值是_____________.%y

Xy

②若x、）'£R+,且2x+8y-孙=0,求x+.v的最小值.

2、已知函数f（x）=2+9x

X

100万元时，企业是亏损还是盈利?(2)当年广告费投入为多少万元时,

企业年利润最大？

例2、试确定实数a的取值范围，使对一切实数x,不等式

x4+(a-1)JC2+120恒成立.

课后作业

班级学号

_________姓名________

例3、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在

1、函数,f(x)=x+L(x£R且在0)的值域是___________.

一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为X

Q闿仅20)；已知生产此产品的固定投入为3万元,每生产1万件

=2、已知〃Z=4+『y(4>2)(X<0)则〃7与〃的大小关系

产品另需再投入32万元,若每件售价为"年平均每件成本的150%"

.

与"年平均每件所占广告费的50%"之和，当年产销量相等.(1)试将

3、已知2+±=2(x>0,y>0),则刈的最小值是___________.

年利润y万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入

4、已知八y是正数且L2=l,则x+y的最小值是__________.

5、若正数4、满足必=4+人+3,则ab的取值范围是__________.

6、周长为定值L的直角三角形的面积最大值是__________.

7、已知〃、/，为正数，且=求小联方的最大值以及达到最

大值时的“、/，值.

9、求函数y=sin?-5sina+7的值域。

3-sina

8、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别是人

y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面

积是8cm2.问八p分别为多少时用料最省？

10、（选做题）（1）已知a>b>0,求/+7rz的最小值。

b（a-b）

（2）求函数y=舞幺（AeR）的最小值。

，？+4

高三数学教学案第六章不等式

班级学号

_________姓名________

第四课时不等式的证明（一）

考纲摘录

掌握用匕H交法、综合法证明简单的不等式.

知识概要

1、比较法：①作差法②作商法

2、综合法：利用已证明过的不等式或不等式性质，从已知条件

出发逐步推出所要证明的不等式成立，也就是"由因导果"•

重点难点

重点：运用比较法、综合法证明简单的不等式.

难点：匕匕较法证明中作差（商）后代数式变形技巧.

综合法证明不等式时不等式性质、重要不等式的联想运用.

基础训练

1、设”6>。,,">0,〃>。,则2卷,处二产由小到大的顺序是

aba+mb+in

2、设0<x<1,则a=瓜,b=1+x,c==中最大的一个是.

例2、已知a、b、C是正数，且a、b、C成等比数列，求证：

3、设实数知占,……，x”的算术平均数是1，任意实数”］，记

a2+b2+c2>(a-h+c)2.

22

P=(X|-x)2+(x2-x)+...+(x„-x),

122

q=(xt-a)+(x2-a)+........+(x“-a),则p与q的大小关系是________

4、已知数列"｝是递增数列，对任意自然数"，"eN.,/=〃2+%

恒成立，则实数4的取值范围是___________.

例3、已知d>0,6>0,求证：

例题选洲

例L(1)已知a、b是正数，且4Kb,求证：/+/>a%+加.

(2)已知8、〃是正数,m1nwN*i且,求证：a'"+h'">例4、设a>0,b>0,a+b=l,

求证：①'+:+々28②(“+1)2+3+^2g

b"+a"•b"""'.ababab2

3、设“>0,b>0,是常数，则当x>耐，函数/(x)=*+aXx+份的

X

最小值是_________.

4、若a>0力>。,且2a+b=1,则S=2〃^-4/_〃的最大值为

5、设。,仇。wR*且〃+b+c=1,贝！之______________.

abc

6、已知a<b<c,求证：a2b+b2c+c2a<ab2+be2+ca2

课后练习

班级学号

_________姓名

1、设”也C,都是正数，P=4ab+4cd,Q=y!tna-\-nc•J—+'■，贝(J7、已知求证：痣今＞鬻

P与Q的大小关系是_________.

2、若々＞0且awl,P=log/"+",Q=log"7,则尸、。的大小关系是

2i22

8、(1)x>0,y>0,求证：1+10、（选做题）（1）设%b、c均是正数，求证：-+也+J2a+"c

xyx+ybca

(2)已知a>b>c,求证：—（2）设七，士,...,x„wR+,

a-bb-ca-c

2222

求证：+上-++\用+/+巧++Xn

9、设/(x)=|lgA|,〃、人是满足/(a)=fS)=2/(^^)的实数其中

0<a<b,

■三数学教学阖第六章不等式

求证：(1)a<l<b；(2)2<4b-b2<3.

班级学号

_________姓名________

第五课时不等式的证明(二)A.ad=beB.ad<be

C.ad>beD.ad与反大小不定

考纲摘录4、若人yeR，且|x|<l,则|y|<l是0<xy<l的条件.

例题选调

掌握用分析法证明简单的不等式；了解用反证法证明简单的不等

式。例L已知0>b>c,且q+b+c=0,求证：后-好〈拒.

a

知识概要

1、分析法：从求证的结论出发，逐步寻求使不等式成立的充分

条件直至所需的条件被确认成立，从而断定待证不等式成立，也就

是“执果索因".

例2、设。>(),求证：a+--^a2+-^<2-72.

2、反证法：据"正难则反"原则，解决结论是"至少有一个"、

"至多有一个"、"都大于"等类型的问题。其证明的一般步骤是：

反设结论T逻辑推理T导出矛盾T肯定结论.

重点难点

重点：用分析法证明简单的不等式.

难点：反证法证明简单不等式过程中矛盾的导出.

基础训练

1、毒-后与方-石的大小关系是_____________.

2、设b、C不全为。，且a+b+c=0,则

()

A.ab+be+ac>0B.<?2>abb2>aca2>bc

彳列3、0<4/<—fer<ci-bt:b<----(kEN,k,>\).

4+1

C.absbe、ac均为负数D.abc<0k

3、设正数%6、C满足a+d=b+c且|。一"|<|力一。|,贝!]()

课后练习

班级学号

姓名

例4、用反证法证明：1'设">b>0,则下列各式中成立的是

(1)若0<。、b、c<2，求证：a(2-b)、伙2-c)、c(2-a)不可能都)

2a+b_a

A.B,2a+b>巴

大于1.a+2bba+2bb

然与f大小不定D.20+，a

已知a+b+c>0,"+历+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.

(2)C.a+2bba+2bb

2、设()<〃<Z?<1,下列不等式中正确的是

)

A.(1-a)*>(l-4)”B.(l+a)a>(1+。)〃

b

C.(l-a/>(l-«)2D.(i-«r

、设〃是三个互异正数〃、b、中的最大数，且，则

3cba

a+db+c(填">"或

4、设“、b、CeR*,则三个数〃+1,b+Lc+L的值至少有一

bca2.

个不2(填或

5、设|〃|<1,\b\<l,则|a+b|+|a*与2的大小关系是

6、已知a>0,/?>0,2c>a+b.求证Ic-yjc2-ab<a<c+ylc2-ab.

9、(1)已知同<1,⑸<1,求证：|上半1<1・

a-b

\-abA

(2)求实数4的取值范围，使不等式对一切实数〃、

a^-b>1

〃恒成立，其中

7、若o<x<，,求证：_/<_L.

yx+1y

8、已知<>0,y>0，且x+y>2,则匕工上匕中至少有一个小于

第六课时不等式的证明（三）

考纲摘录

了解用放缩法、换元法、判别式法等方法证明简单的不等式.

10、（选做题）是否存在常数C,使得不等式丁L+T<c<

2x+yx+2y

—V+4对任意正数X、y恒成立?试证明你的结论。知识概要

x+2y2x+y

放缩法：利用不等式的传递性，对不等式进行放大或缩小，主要

放缩的方法有:增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、

利用函数的性质等。

换元法：主要是三角换元法与增量换元法，注意换元后新变量的

取值范围.

判别式法:根据已知或构造出的一元二次方程、一元二次不等式、

一元二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应

满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法.

基础训绿

1、设x>0,y>0,力=产匕+，则A与B的大小关系是

1+x+y1+x1+y

高三数学教学案第六章不等式

班级______号