2020秋 人教版九年级数学上册21.2.2公式法

21.2.2公式法

——根的判别式及求根公式

一、新课导入

1.导入课题：

(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程/+“^=0包和)吗？

我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.

2.学习目标：

(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情

(2)会用公式法解一元二次方程.

3.学习重、难点：

重点：用求根公式解一元二次方程.

难点：计算时的符号处理.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.

(2)自学时间：15分钟.

(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.

(4)自学参考提纲：

①用配方法把方程a』+及+c=O(a关0)变形为(x+n)?=p(pN0)的形式(先独立探究，再与课本比较).

二次项系数化为1,得/+—+/0；移项得；配方得八三+阂=十+

鼠;变形，得上且二上.

当y-4">0时，与4空>0,方程有两个不等的实数根巧=4-4ac,2=

4y-4ac当J—「0时,匕坐=0,方程有两个相等的实数根％=*=.

2a4a2a

当b-4ac<0时，与孚<0,方程没有实数根.

4a”

4ac叫做一元二次方程/+1)b^=0(@邦)的根的判别式.

当b2—4ac>0时，方程/+11什©=0(2，0)有两个不等的实数根;

当b2—4ac=0时,方程a^+bx+cnCXaWO)有两个相等的实数根;

当b2—4ac<0时，方程a^+bx+cRS#))无实数根.

注意：上述的叙述，反过来也成立.

_-b±-4ac

③当AK)时,一元二次方程a^+bx+cRla#))的实数根可写为二----也------的形式

这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的求根公式.

④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.

f+5x+6=0；9f+12x+4=0；

A=b2-4ac=52-4x1x6=l>0A=b2-4ac=122-4x9x4=0

方程有两个不等的实数根.方程有两个相等的实数根.

2X2+4X-3=2%—4；x(x+4)=8x+12.

方程化为2』+2x+1=0方程化为x2-©-12=0

A=b2-4ac=22-4x2x1=-4<0A=b2-4ac=(-4)2-4x(-12)=64>0

方程无实数根.方程有两个不等的实数根.

2.自学：学生可参考自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.

②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2—4ac的符号进行讨论.

⑵生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：

⑴公式的推导，判别式定义解读；

(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.

①/+3x-2=0；②(34+2)(%+3)=x-2；®2x2+2屈+5=0.

解:△=6?-4ac=32-4x1x(-2)解:原方程化简得解:▲=6?-4ac=(2710^)2—4x2x5

=17>03x2+10x+8=0=0

方程有两个不等的实数根.A=b2-4ac=IO2-4x3x8=4>0方程有两个相等的实数根.

方程有两个不等的实数根.

第二层次学习

1.自学指导:

(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.

(4)自学参考提纲：

①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.

X2-4A-7=0；2^-22工+1=0；5x2-3x=x+\；x2+17=8x.

xi=2+vn»=f=¥xi=i无实数根

f=-J

②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？

先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；计算判别式A=b2-4ac的值，判断方程是否

有解；若AK),利用求根公式计算方程的根，若A<0,方程无实数根.

计算A时，注意a,b,c符号的问题.

③解答本章引言中的问题.

2.自学:学生可参考自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情:看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.

②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.

(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.

4.强化：

(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.

(2)解下列方程：

+x-6=0；②3%-6x-2=0；

孙=2户2=-3x\=1

③4/-6x=0；-4)=5-8x；

n3imi

Xi=0,x2--_1+2卢2=T—

耻-反-；=0；@x2+4.r+8=4x+ll.

4

=

xI=—+l,x2=^--1■X[B，、2~

三、评价

1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知

道一元二次方程a?+bHc=O(a，O)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价(教学反思)：

(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用

公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、

掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.

(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求

根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.

(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.

(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二

次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续

和深化.

«-----------评价作业------------*

(时间：12分钟满分：100分)

一、基础巩固(80分)

1.(10分)一元二次方程a?+bx+c=0(a，0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是

(B)

A.b2-4ac=0B.b2-4ac>0C.b2-4ac<0D.b2-4ac>0

2.(10分)已知一元二次方程：①P+2X+3R,②/-缄-3=0.下列说法正确的是(B)

A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解

C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解

3.（10分）利用求根公式求5f+；=6x的根时，a,b,c的值分别是（C）

2

A.5,6B.5,6,-C.5,-6,iD.5,-6,

4.（20分）不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况:

(l)x2—3x—32=0；(2)16X2-24x+9=0；

解：4=6,一QC=(一3)~一4x2x(-j=21>0

4解:A=b~-4ac=24"-4x16x9=0

方程有两个不等的实数根.方程有两个相等的实数根.

(3)f—42x+9=0；(4)3/+10=2?+8尤

解：A=b2-4ac=(-4V2)2-4x1x9=-4<0,解：方程化为(・网+10=0

方程无实数根.A=b2-4ac=(-8)2-4x1x10=24>0

方程有两个不等的实数根.

5.(30分)用公式法解下列方程：

(1)x2+x-12=0；(2)久2-每一生二。；

解：％i=-4,%2=3解.%―。+81M_8

™,卢2—2

(3)x2+4x+8=2%+11；(4)x(%-4)=2-8x；

解:％［二-3,x2=1解:%i=j6-29x2=-5-2

(5)x2+2%=0；(6)f+2+10=0.

解：盯=0,x2=-2解: