2023年山西省晋中市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年山西省晋中市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.已知平面向量a=(l,1),b=(l,-1),则两向量的夹角为()。

A三

3B-f

C，fD.小

2.下列函数为奇函数的是()。

4"="B.*=]°g2工

"=3'D.,=sinj

3.已知一次函数y=2x+b的图像经过点(2,1),则该图像也经过点()。

A.(l,7)B.(1,-3)C.(1,5)D.(1,-1)

4.设两个正数a,b满足a+b=20,则ab的最大值为()。

A.100B.400C.50D.200

5.直三棱柱的每个侧面的面积为5,底面积是10,全面积是()

A.15B.20C.25D.35

6.二次函数y=(l/16)x2的图象是一条抛物线，它的焦点坐标是()

A.A.(-4,0)B,(4,0)C,(0,-4)D,(O,4)

7.16.抛物线炉=2px(p>0)的焦点到准线的距离是

A.A.p/4B.p/2C.PD.2p

j2

Q已知柿+4=1的焦点在y轴上,则m的取值范削是

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.-"

9.若a,b,c成等比数歹！J,则Iga,Igb,Ige成()

A.A.等比数列

B.等差数列

C等比数列或等差数列

D.无法确定

10.设f(x)为偶函数，若f(-2)=3,则f(2)=()。

A.6B.-3C.0D.3

]]5.已知sina=-j-.(<a<")，那么tana=

A.A.3/4

3_

B.

4

C.'

D.O

函数y=2-(>sinx)2的最小值是()

(A)2(B)l-J-

4

(C)(D)-1I

12.44

llLl嫩针4=(1.2.3.4).fr={x|-l<x<3}.则/C8=

)(

13.人…(B){1.2}(C)11.2.3D)|-I.O.l,2}

14.

（14）8名选手在有8条跑道的运动场进行百米赛苑,其中有2名中国选手.按电机抽霎方式袂

定选手的电1.2名中国选手在相体的图1的钱率为

（A）y⑻+（C）|（D）古

15.不等式工的簿集为（）

A.A.(1,+oo)B.(-oo,-1)C.(-1,O)U(1,+oo)D.(-oo,-1)U(1,+

]6「；「、''()

A.A.{x|O<x<1}B.{x|-1<x<1}C,{x|0<x<2}D,{x|x>1)

*函数■尸+1的值就是()

A.A.(O,+oo)B.(-co,+oo)C.(l,+℃)D.[l,+oo)

18.sin0-cos0,tan0<O,则0属于()

A.(7l/2,7l)

C.(-a7i/2,0)

D.(-7i/2,0)

过点(1,2),倾斜角a的正弦值为方的直线方程是()

(A)4x-3y+2=0(B)4x+3y-6=0

(C)3x-4y+6=0(D)y=±y(x-1)+2

19.3

20.若函数f(x)=ax2+2ax(a>；0),则下列式子正确的是

A.f(-2)>f(1)

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能确定f(-2)和f(1)的大小

I一符「

21.(73+i>»()

AL+、乌

A.A.

n1

B.

DJ"

用0,1,2,3这四个数字，组成的没有重复数字的四位数共有

(A)24个'(B)18个

22(C)12个(D)l0个

23.曲线了、””—在点(1,-1)处的切线方程为()o

A.z—y—2=0B.x—^=0

C.x+>=0D.z+y—2=0

f,r=r3cos^»

方程J表示的曲线是

24.'()

A.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

25.函数Ax)=『++3—9,已知/(x)在*m-3时取得极值,则。=A.2B.3C.4D,5

26.已知偶函数y=f(x)在区间[a,6](0<a<b)上是增函数,那么它在区间

[-b,-a]上是()

A.增函数B.减函数C.不是单调函数D.常数

27.若函数y=f(x)的定义域为[-1,1],那么f(2x-l)的定义域是

A.[O,1]B.[-3,1]C,[-1,1]D.[-1,O]

28.函数y=sinx+cosx的导数是()

A.A.sinx-cosxB.cosX-sinxC.sinx+cosxD.-sinx-cosx

若抛物线£=的焦点坐标为(o,-丹则a=

(A)2(B)|-

(C)4(D)4-

29.4

(x-2y)'的展开式中，Py?的系数为

30<\)-40(B)-10(C)10(D'40

二、填空题(20题)

31.已知A(-l,-1),B(3,7)两点，则线段的垂直平分线方程为

32.设f(x+l)=z+2石+1,则函数f(x)=

33.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

34.已知直线3x+4y-5=0,x2+y2的最小值是,

35M11+丁+4）（1一i）的次部为

36.

M-1

蚣X向=-------------

37.直线3x+4y-12=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则△OAB的周长为

已知随机变量6的分布列是：

02345

P0.10.20.30.20.10.1

曲线y=—；2；+1在点(-i0)处的切线方程为_______,

«+2

双曲线：；一力;=15>0/>。)的渐近线与实轴的夹角是。，仃蕉

40.点且垂在于实轴的弦氏等于.

41.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

42.1g(tan43otan45°tan47°)=.

43在△ABC中，若coaA=^-^,/C=15CT,BC=l,JI8AB=__.

44.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

45.

某射手有3发子弹，射击一次,命中率是0.8,如果命中就停止射击，否则一直射到

46.子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是______

47.设函数f(x)=x+b,且f(2)=3,则f(3)=

48椭圆x2+my2=l的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的

值是.

49.f(u)=u-Lu=(p(x)=lgx,贝!J1(p(10))=

不等式5言5>°的解集为

二、简答题（10题）

（23）（本小题满分12分）

设函数/（*）=/-2x2+3.

（I）求曲线y=/-2/+3在点（2,H）处的切线方程;

51（D）求函数人工）的单调区间.

52.

（本小题满分12分）

已知函数〃X）=—1吟求（1次动的单调区间；（2）〃工）在区间片,2］上的最小值

53.（本小题满分12分）

已知F?是椭圆卷+乙=I的两个焦点,尸为椭圆上一点,且Z,FJ%=30°,求

△尸K八的面积.

54.

（本小题满分12分）

已知叁效方程

X=+e")cosd,

(%=y(e*-e")sinft

(1)若，为不等于零的常■，方程表示什么曲线？

(2)若8(84容keN.)为常♦.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线丁=会，0为坐标原点,广为抛物线的焦点.

(I)求10/1的值；

(n)求抛物线上点P的坐标,使尸P的面积为

55.

56.

(本小题满分12分)

已知数列中=2,a..1=ya..

(I)求数列la」的通项公式；

(0)若数列la」的前n项的和S.=3,求n的值.

10

57.

(本小题满分12分)

已知樵WI的离心率为乎，且该椭画与双曲若=1焦点相同,求椭圆的标准

和准线方程.

58.(本小题满分12分)

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

59.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

60.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

四、解答题(10题)

61.

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500件，如果这种村

衫每件涨价1元，其梢售量就减少10件,商店为了获得大利润，问售价应为多少？

62.建一个容积为5400m3,深6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价

为15元，池底每平方米的造价为30元.

(I)写出总造价y(元)为水池的长x(m)的函数解析式；

(II)问蓄水池的长与宽分别为多少时总造价最低.

63.A、B、C是直线L上的三点，P是这条直线外-点，已知AB=BC=a,

NAPB=9（T,NBPC=45。.求：

（I）ZPAB的正弦；

（11）线段「8的长；

（III）P点到直线L的距离.

64.已知a、b、c成等比数列，x是a、b的等差中项，y是b、c的等差

中项，证明a/x+c/y=2.

65.电流强度I随时间t的变化的函数关系式是I=Asin3t,设3=100兀

（弧度/秒）A=5（安倍）

I.求电流强度I变化周期与频率

II.当t=0,1/200,1/100,3/200,1/50（秒）时,求电流强度I（安培）

m.画出电流强度I随时间t的变化的函数的图像

66.

已知等比数列的各项都是正数0一2.前3项和为14.

CI）求（呢）的通项公式；

C1）越瓦=lo处a..求数列（砧的前20项和.

若7U)是定义在(0.♦«»)上的增畸数，且人-)•/(*)-/(y).

y

U)0/U)的值;

Q1*不等式…+L-/J：，＜2

两条直线X+2ay-1=0与(3Q-1)x-Qy-1=0平行的充要条件是什么？

68.

已知等差数列1al.I中,5=9,a3+a,=0.

(1)求数列I。」的通项公式；

69.仁)当n为何值时，数列la.I的前n项和S.取得最大值，并求该最大值.

70.甲、乙二人各射击一次，若甲击中目标的概率为0.8,乙击中目标的

概率为0.6.试计算：

(I)二人都击中目标的概率；

(II)恰有一人击中目标的概率；

(in)最多有一人击中目标的概率.

五、单选题(2题)

71,若等比数列(。力的公比为3皿，=9,则％=

A.27B.1/9C.1/3D.3

已知上有一点尸.它到左准线的距离为•剜奴P到右焦点的距离。

72.旬，’》内7、：力

A.A,3：1B.4：1C,5：1D,6：1

六、单选题(1题)

73.抛物线=3/的准线方程为()。

参考答案

1.C

该小题主要考查的知识点为向量的数量积的性质.【考试指导】

2.D

该小题主要考查的知识点为函数的奇偶性.【考试指导】f(x)=sinx=-sin(-

x)=-f(-x),所以Y=sinx为奇函数.

3.A该小题主要考查的知识点为一次函数.【考试指导】因为一次函数

y=2z+b的图像过点(-2,1),所以，l=2x(-2)+b,b=5,即y=2z+5.结合

选项，当x=l时，y=7,故本题选A.

4.A

该小题主要考查的知识点为函数的最大值.

因为a+6，2y/aA,所以必《

(a+6)z400

-4—=丁=I。。.

5.D

由S全=3S侧+2S底=5x3+10x2=35,应选D

6.D

7.C

8.D

9.B

10.D该小题主要考查的知识点为偶函数的性质.【考试指导】因为f（x）

为偶函数,所以f（2）=f（-2）=3.

11.B

12.C

13.B

14.B

15.C

1一1/一1

由工〉一•祖2--->0.---->0解得T>1或一lVx<0.（答案为C）

xrr♦

16.A

由•可得Z>-I,由logf£>0.可得0；r〈l.MriN—•:n|0VhVI}.（答案为A）

17.C

«尸>0.尸弓）'+1>1•二其值域为（88）.（答案为。

18.C

不论角0终边落在直角坐标系中任意位置，都宥sine-cos9-tane>10.因此

选C.本题考查三角函数在各象限的符号等概念.是三角函数中的基本知

识.

19.D

20.B

解法1由a>0,二次函数的图像开口向上，对称轴为了=-1^=-1，所以

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a>0,所以f(-2)<f⑴.

【解题指要】本题考查一元二次函数的知识.在研究二次函数的过程

中，要充分利用二次函数的图像辅助研究.

21.B

1一向=1一描=1一遍=(1一闻，

<V3+i)*3+2V3i-1-24-2i/3i2(1+V3i)(l-V3i)

二二21(9案为B)

o44

22.B

23.C

该小题主要考查的知识点为曲线的切线方程.【考试指导】

y=3J^-4,iMx=1Bty=3—4=-I.

故曲段在点(1,-1)处的切歧方程为y+1=-l(x-l),

即i+y=0.

24.B

消去参数，化曲线的参数方程为普通方程，

(号)+())I♦即M+W=I.

所以方程广：r也表示的曲线是椭圆.(答案为㈤

25.D

n”析:如题，(*13/+2«+3.则当-*0.带人创用,r

26.B由偶函数的性质：偶函数在［a,b］和［-b,-a］上有相反的单调性，可

知，y=f(x)在区间［a,b］(0<a<6)是增函数,它在［-b,-a］上是减函数.

27.A

由已知得-lS2x-l<L0S2x<l,故求定义域为0<x<l

28.B

29.D

30.D

31.x+2y-7=0设线段的垂直平分线上任-点为P(x,y)

«|PA|=|PBI,IP

/[z-(-《-1次―/(jr-3)1+(y-7)，.

磬理得,*+2》—7・0.

32.设x+l=t，则x=t-l将它们代入

入人才+】)=才+26+1中，得

/(/)=/—1+24-1+1=?+2Jt-1.则

/(x)=x+2JL\.

33.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作B点关于工轴时林的点8'(2.-6).连接

AH'.AB'即为入射光段所在直线,由两点式知

1+3二

4*2.r+y4-2=0.

2+3-6-4

34.1

V3x+4y-5=0^y=:-3/4x+5/4,x2+y2=x2+(-3/4x+5/4)2=25/16x(x2-15)

/8x+25/16—a=25/16>l,又,当x=-b/2a时，y=4ac-b2/4a=l,是开口向上

的抛物线，顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),有最小值1.

35.

36.

37.

12【解析】令y=0,将A点坐标为（4.0）；令

r=0.得B点坐标为（0,3）.由此得！AB|■

厅干不'=5.所以△OAB的周长为3+4+5=12

y--v(*+l)

解设如双前线分焦点垂自于实轴的弦为人・

L的方程为了「『.，”

所以丁"

乂由渐近线方弗y二士卫工.及渐近线与实轴夹角

<2

为口,故"所以y:-也--b•'-

uaa

T6♦lana,弦"为2/"atlo.

【分析】表稣6受u西蛾的*■近我等概念.

41.

42.0Ig(tan43°tan450tan470)=Ig(tan430tan450cot430)=Igtan45°=Igl=0.

43.''

△ABC中.0<LAVl80',sinA>0.sinA=v^l—cos^A=*/1—()*^in»

BCsinL'_lXsin150*2

由正弦定理可知A8

44.

【答案】尝M

弋=A1_V3•

3,-a•卞a•—=—a-

4L4

由题意知正三校做的倒校长为孝a.

二.(倒;净.射；也

"7)<%・条=绍.

(19)；

45.J

461⑵6

47.4由题可知f(2)=2+6=3,得b=l,故f(3)=3+b=3+l=4.

48.

答案:

十【解析】由/+枕/7得/+牛=1

m

因其焦点在〉,轴上•故

c一2.y・1.

m

乂因为加=2•2A.即2JJ=4Am=：

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质.对于椭圆标准方程而言，应注

忌：

①焦点在工*上§+孑-l(a>6>0)i

焦点在yj+^-l(a>6>0).

②长防长=勿.短弦长=2A.

49.

*.*9>(x)=lgx,

.,,^(10)=1810=1,

.,./[?!(10)]=9>(10)-1=11=0.

50.

X>-2,且XH-l

(23)M：(1)/(«)=4zJ-4x,

八2)=24,

所求切线方程为y-ll=24(x-2),BP24x-y-37=0.……6分

(11)令/(外=0,解得

Zj=-19X2=0tx3=1.

当X变化时J(x)/(X)的变化情况如下表:

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+«)

r(«)-00-0

AG、232z

人工)的单调增区间为(+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

(I)函数的定义域为(0,+8).

f(x)=l-p令/(动=0,得x=l.

可见,在区间(0/)上J(x)<0;在区间(L+8)上J(x)>0.

则/(x)在区间(0.1)上为减函数;在区间(I,+8)上为增函数•

(2)由⑴知.当工=1时取极小值,其值为/U)=1Tnl=1.

又-In9+ln2V2)-2-Ln2.

52l»><•<I心<Inj

即;<In2VL>KI)J(2)1).

因此V(x)在区间：；.2］上的最小值是1.

53.

由已知.棚圈的长轴长2a=20

设IPFJ=m.l"/=n,由桶H)的定义知,m+n=20①

又J=100-64=36,c=6,所以K(-6,0),三(6,0)且16印=12

在》F、八中,由余弦定理得/+/_2gle830。=12’

m，+/—^5mna144②

m2^2mn+n2=400,③

③-②.得(2♦万)mn=256,nwi=256(2-6)

因此的面枳为:10词030。=64(2-6)

54.

(I)因为"0,所以e'+eVO^-eVO.因此原方程可化为

■：SCO80,①

e+e

...2X,-②

«-esing>

这里e为参数.0+②1,消去参数。.得

(e，+e—)?(e，-e-，)k'即运土"上支今1

44

所以方程表示的曲线是椭厕.

⑵由”学入N.知Z"0.曲"。.而r为参数，原方程可化为

因为2e'e-=2e*=2,所以方程化简为

?上.

一号「

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由（1）知，在椭圆方程中记＜?=运普二二”=让昼

则<?“'-炉=1"=1,所以焦点坐标为（±1.0）.

由（2）知.在双曲线方程中记『=88%’炉=.匕

一则J=a'+/=l,C=1.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（1）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

（25）解：（I）由已知得尸（J,0）,

O

所以IOFI=4-.

O

（n）设P点的横坐标为八（%>0）

则p点的纵坐标为容或-4.

△OFP的面积为

1耳1，右/T=了1，

解得4=32,

55.故尸点坐标为（32,4）或（32,-4）.

56.

（1）由已知得。.《0，2°=彳，

所以山是以2为首项.与为公比的等比数列，

所以a.=2（^j,即

（n）由巳知可唬且上g".所以（丹=（打’

12分

解得n=6.

57.

由已知可得椭圆焦点为F.（-6,0）,4（6.0）............3分

设椭圆的标准方程为5+m=1（。>6>0）,则

a2=6S+5,

6=也解得｛二2：…,分

3'

所以椭圆的标准方程为t+?=1•……9分

桶08的准线方程为X=±%5……12分

□

58.

利润=常售总价-进货总价

设每件提价X元(MNO),利润为y元，则每天售出(100-10M)件.借售总价

为(10+z)•(lOO-Uk)元

进货总价为8(100-1(h)元(OWxWlO)

依题意有:y=(10+s)•(100-10x)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-10xJ+80x+200

/=-20x+80,^-/=0得H=4

所以当，=4即售出价定为14元一件时,,得利润量大，最大利润为360元

59.解

设点B的坐标为(4由)，则

1481=，(孙+5)，+yj①

因为点B在椭圆上.所以2x,s+yj=98

yj=98-2xj②

将②代人①，得

J1

M8I=y(x,+5)+98-2x1

I

=</-(x,-lOxl+25)+148

=7-(*,-5)1+148

因为-3一%WO,

所以当》=5时，-(与-5)'的值最大，

故M8I也最大

当句=5时.由②.得y,=±4百

所以点8的坐标为(5.4々)或(5.-4吁)时以81最大

60.

设/("的解析式为/U)=ax+b,

依题意得通解方程组得

[2(-a4-6)-o=-1,99

解设衬衫每件提高*元售出时,利润为y元，此时卖出的件数为500-10x件,

获得收入是(50+x)(500-10x)元.则利润

y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x-

20)1+9000,

61所以当x=20时，利润)取得最大值9000元,此时售价为50+20=70元

62.

<I)设水池的长为*m),宽为警(m).

池壁的面积为2X6Cr+饕

池壁造价为15X2X6(x+鬻)(元).

DX

池底的面积为竿=900(mi).

池底造价为30X900=27000(元).

所以总造价函数为

y=15X2X6(x+-)+2?000

0X

=180x+^^4-27000(x>0).

X

(O)y=180-^^.

令y'=0.解得H=±30(取正舍负》.

当0<T<3。时.y'VOi

当m>30时.y'>0.

z=30是惟一极小值点，

即是锻小值点.

所以当蓄水池的长与宽分别30(m)时,水池的总造价锻低,

63.

PC=/APH的”布干分岐.

<1>由外角平分线帽・蜜耳，

PA_AC.i.anPA.PB/

PBBCT"P8"f'jPA”通-丁

<I>PB-AB»in/PAB=R.

(■)作PD，AB(椰阳所示),其中「A.」,.*PD=PA3nzpAH=•1■，.

64.

由已知条件将①

.•.ZcHHac十灰，2”=。"'ac，②

②中两式相加得・2”+2==帅+2球+加，

又①中后两式相乘得，

\xy=（a+6）（b+c）

=a6+从+ac+反=ab+2ac<枇，

・・・2a#2y=5,即：+：=2.

65.

⑴丁=舒=念=枭），，7=50『）.

所以电流强度I变化的周期为白S,频率为

3U

50次/s.

（II）列表如下:

1I31

4秒）0

200loo200而

/=5sinlOOx/050-50

（01）下图为I随，变化的图像:

66.

CI〉设等比数列(4)的公比为g,由题设可得2+2什2炉=M.«IJ+g-6

所以342・%=-3(舍去3该数列的通项公式为“.=2\

(II)因为A—log»a.j|ofc2--n,

设？、=,+'+…+%=1+2+”T20=-}X20X(2D+D=210.

67.

*设I?./(I>-/II)"I，・Q

N/(6)=1,附不导式可区换叁力，+