2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数z=称是纯虚数，则实数a的值是（）

1—I

A.-2B.—1C.0D.1

2.某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称

的3人，则该企业职工人数为（）

A.150B.130C.120D.

3.已知正方体中，E、尸分别为棱BC和棱CCi

的中点，则异面直线/C和EF所成的角为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.设改,委是两个不共线的向量，若向量记=一汽+人备（kER）与向量元=备-我共线，

则左=（）

A.0B.1C.1D.2

5.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立

事件的是（）

A.“大于3点”与“不大于3点”B.“大于3点”与“小于2点”

C.“大于3点”与“小于4点”D.“大于3点”与“小于5点”

6.已知三个不同的平面a,/7,y和直线n,若aCy=??i,/?ny=n,则“a〃/?”是（（m/

H的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知平面向量五=（1,2）,3=（-2,1），则下列说法正确的是（）

A.若2=0,则|五+瓦=2

B.若町/3,则2=-2

C.若a与3的夹角为钝角，贝版＜2

D.若4=—1,贝嗫在让的投影向量为—患

8.在△ABC中，已知sinA+sinB=cosA+cosB,则△ABC的形状一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列各复数中，模长为1的有（）

A.1B.2-iC.1-iD.i

10.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学

党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100

分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A.a的值为0.05B.估计成绩低于60分的有25人

C.估计这组数据的众数为75D.估计这组数据的第85百分位数为86

11.在锐角AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若a—b=2bcosC,则（）

A.C=2BB.B的取值范围是

Oq

C.B=2CD.3的取值范围是（C,q）

12.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿向上翻折，得三棱锥A-

BCD.^CD=2,点、E,F分别为棱BC,的中点，M为线段/E上的动点.下列说法正确的是（）

BDT)

A.存在某个位置，使1CD

B.存在某个位置，使AC1BD

C.当三棱锥4-BCD体积取得最大值时，4D与平面ABC成角的正切值为?

D.当=时，CM+FM的最小值为J4+24攵

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8,不合格

的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9,如果第二次检测仍不合格,

则作报废处理.则每个零件报废的概率为.

14.在△48C中，BE=AEC，且於=1南+：而，则;I=______.

44

15.一艘轮船航行到4处时看灯塔B在4的北偏东75。，距离124石海里，灯塔C在4的北偏西

30°,距离为12，百海里，该轮船由4沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60。方

向，则COSNCIM=.

16.四面体4BCD中，281平面BCD,CD1BC,CD=BC=2,若二面角4—CD—8的大

小为60。，则四面体28CD的外接球的体积为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知|句=2,历|=4，d与3的夹角为。.

⑴若必区求2不；

（2）若a+B与a垂直，求仇

18.（本小题12.0分）

某小区所有248户家庭人口数分组表示如下：

家庭人口数1234567

家庭数21294950463518

（1）求该小区家庭人口数的中位数；

（2）求该小区家庭人口数的方差.（精确到0.1）

19.（本小题12.0分）

在AABC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,且2as讥6-C）=2%+c.

(1)求角a；

(2)若△ABC的面积为手，求a的最小值.

4

20.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC—AiBiQ中，AB=BC=AA1=1,^ABC=90°,D,E分另ij是棱AiG，

AC的中点.

(1)判断多面体28ED/C1是否为棱柱并说明理由;

(2)求多面体ABEDBiQ的体积；

(3)求证：平面8C]£7/平面4/D

21.(本小题12.0分)

一只口袋里有形状、大小、质地都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1,2,3,4.

甲、乙、丙三名学生约定：

⑴每人不放回地随机摸取一个球；

5)按照甲、乙、丙的次序依次摸取；

(山)谁摸取的球的数字最大，谁就获胜.

用有序数组(a,6,c)表示这个试验的基本事件，例如：(1,4,3)表示在一次试验中，甲摸取的球

的数字是1,乙摸取的球的数字是4,丙摸取的球的数字是3.

(1)列出样本空间，并指出样本空间中样本点的总数；

(2)求甲获胜的概率；

(3)写出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关.

22.(本小题12.0分)

如图，已知四棱锥P—ABC。的底面为矩形，48=PD=2,AD=2，2,。是4。的中点，PO1

平面4BGD.

(1)求证：AG，平面P08；

(2)设平面P4B与平面PC。的交线为八

(i)求证：1//AB-,

3)求I与平面R4C所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】D

(a+i)(l+i)(a-l)+(a+l)i

【解析】解：•••㈡是纯虚数,

(1-oa+o2

(d-1=0

(a+1。0解得：a=1.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0求得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：抽取比例为卷=1，

则该企业职工人数为30+g=150.

故选：A.

利用分层抽样成比例即可得.

本题考查分层抽样，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：连接BCi，&Q,ArB,如图所示:

根据正方体的结构特征，可得

EF//BCr,AC11

则乙4母/即为异面直线AC和EF所成的角

BC]=AiQ=ArB,

为等边三角形

故N&C/=60°

故选c

连接BC1，&G，ArB,根据正方体的几何特征，我们能得到Z&GB即为异面直线AC和EF所成的

角，判断三角形&QB的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角.

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造Z&C/为异面直线4C和

EF所成的角，是解答本题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：由共线向量定理可知存在实数九使沅=抗即一耳+前备=402-&)=4杳一叫,

又曷与&是不共线向量，所以'，解得｛：;：・

故选：C.

由题意，利用两个向量共线的性质，共线向量定理，计算求得k的值.

本题主要考查两个向量共线的性质，共线向量定理的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：对于4“大于3点”与“不大于3点”不能同时发生，

但必有一个发生，是互斥且对立事件，故A错误；

对于B,“大于3点”与“小于2点”不能同时发生，

但能同时不发生，是互斥不对立事件，故B正确；

对于C,“大于3点”与“小于4点”不能同时发生，

但必有一个发生，是互斥且对立事件，故C错误；

对于D,“大于3点”与“小于5点”能同时发生，比如4点，

故不是互斥事件，故。错误.

故选：B.

根据对立事件和互斥事件的定义分别判断即可.

本题考查了对立事件和互斥事件，熟练掌握定义是解题的关键，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由aCy=m,pC\y=n,a//(im//n；反之不成立，可能a与£相交.

aC\y=m,0Ciy=n,则“a〃仪'是"m〃n"的充分不必要条件.

故选：A.

利用面面平行的性质定理及其充要条件的判定方法即可得出.

本题考查了面面平行的性质定理及其充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

7.【答案】D

【解析】解：平面向量为=(1十)，3=(—2,1),

对于4，当4=0时，a+b=(—1,1)，因此|五+b|=J(—1)2+1?=A错误；

对于B,d//b，则有一24=1,解得4=—g,B错误;

对于C,点与3的夹角为钝角，

则日不<0且日与3不共线，

当,不<0时，1x(-2)+4x1<0,解得4<2,

由B选项知，当；IK—现寸，日与石不共线，因此2<2且2。—/C错误；

对于D,当2=-1时，a-b=-3，而洒|=J(―2尸+12=门,

因止次在3上的投影向量为禀•3=-?孔D正确.

\b\\b\5

故选：D.

由向量的坐标运算可判断4由向量共线的坐标运算可判断B；由向量夹角的坐标运算可判断C；

计算出小后，\b\,再计算日在另上的投影向量可判断以

本题考查向量数量积的基本运算，向量共线定理的应用，投影向量的概念，属中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由sinA+sinB=cosA+cosB,得sin/—cosA=-sinB+cosB,

即<lsinQ4-7)=-V-2sin(B一》，

44

又因为4,BG(0,兀)，

所以4—旨(/为，"江(一冷),

所以4_弓=_也_%得4+B=S，

44Z

所以△28C一定为直角三角形.

故选:B.

利用两角和与差的正弦展开式化简可得/至sin(4-。)=-Csin(B-4再根据4B的范围可

得答案.

本题主要考查了和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4中，由|1|=1,所以A正确；

对于B中，由|2_q=J22+(—1)2—所以2错误；

对于C中，由|l+i|=VI2+I2=A/-2，所以C错误；

对于。中，由=702+了=1,所以D正确.

故选：AD.

根据复数模的计算公式，逐项判定，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

10.【答案】CD

【解析】解:对于4根据频率分布直方图可得10(6a+5a+3a+3a+2a+a)=1,a=0,005,

A错误；

对于B,估计成绩低于60分的有(2a+3a)x10x1000=250人，B错误；

对于C,由于最高的小矩形得底边中点处的值为75,故估计这组数据的众数为75,C正确；

对于D,由于a=0.005,(2a+3a+3a+6a)x10=0.7,(2a+3a+3a+6a+5a)X10=0.95,

故设这组数据的第85百分位数为x,贝卜G(80,90),

故0.7+(x—80)X0.005X5=0.85,

%=86,故D正确.

故选：CD.

根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1可判断4；根据众数的估计方法可判断B；根据频数的

计算可判断C；根据百分位数的估计方法可判断£).

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由a—b=2bcosC,可得sizM—sinB=2sinBcosC,

即sin(B+C)-2sinBcosC=sinB,

艮有sinCcosB-cosCsinB=sin(C—B)=sinB,

因为三角形45c为锐角三角形，

所以C—B=8,即C=2B,故A正确，C错误；

由0VBV万，0<2B<—,且4=TC—B—C=TC-3BE(0,—),

解得*<8<也故5正确；

o4

而:==s1n2：=2cosBE(y/~2,V-3),故D正确.

DSITIDSlTlD

故选：ABD.

由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得C=2B,可判断AC；再

由锐角三角形的定义可判断B；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断，

本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4：若4B1GD,又4BJ.AC,ACdCD=C,则AB1平面ACD,即4B1AD,

所以当ABLAD时，使4B1CD,故存在某个位置，使故A正确，

对于B：若2CJ.BD,又4C1B4ABCBD=B,贝ijAC1平面ABD,贝1MC14D,贝！!△4CD是以

CD为斜边的直角三角形，

又由题意知cn<ac,故不存在某个位置，使4C18。，故2错误；

对于C：当三棱锥4-BCD体积取得最大值时,平面2CB，平面BCD,即4E是三棱锥A-BCD的高，

又CD1BC,平面ACBn平面BCD=BC,所以CD_L平面ABC,

所以4口4c是直线与平面ABC所成的角，

由CD=2,贝1JCB=2C，又E是BC的中点，所以=

所以tanz2MC=言=.故C正确；

对于D：当AB=4D时，由ZB=AD=AC,贝1]4在4BCD内的射影是△BCD的外心，

又XBCD的外心是斜边的中点，故平面BCD,

所以EF=1,AF==ypZ,所以COSNFAE=胃，sin/FAE=煮，

将AEFA绕4E旋转，使AEFA至(U4EF',使△4EF'与△4CE在同一平面内，

cosZ-F'AC=cos(45°+4F'AE)=cos(45°+Z-FAE)=cos45°cosZ.FAE—sin45°sinZ.FAE=，

CM+FM的最小值即为CF',

在4AF'C中，由余弦定理可得Cf'2=AF'2+AC2-2AF'-ACcos^F'AC=2+6—2x「x

V-6X^=4+2AA2.

故CF，=J4+2「,故当=时，CM+FM的最小值为，4+2，五,故。正确.

故选：ACD.

由4B1平面4CD,可判断4AACO不可能是以CD为斜边的直角三角形，可判断B；当三棱锥4-

BCO体积取得最大值时,平面4CB，平面BCD,即4E是三棱锥4-BCD的高,求解可判断C；当4B=

AD时，由AB=AD=4C,则4在△BCD内的射影是△BCD的夕卜心，可得AF1平面BCD,将△EF4

绕4E旋转，使AEFA到△4EF，，使A2E尸与AACE在同一平面内，可求CM+FM的最小值判断D.

本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考查线面的位置关系，考查距离和的最小值的

求法，属中档题.

13.【答案】0.02

【解析】解：每台设备报废的概率为：02x(1—0.9)=0.02.

故答案为：0.02.

根据一台设备的检测第一次不合格且第二次也不合格去计算概率可得每台设备报废的概率.

本题考查相互独立事件及积事件的概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：■.-AE=IAB+^AC,

•••^-AE-^-AB=-^-AE,^BE=^-~EC,

444444

：.~BE=^EC,

又砺=4正，则；l=g.

故答案为：

根据平面向量的线性运算，求解即可得出答案.

本题考查平面向量的基本定理，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】0.5

【解析】解：如图,

D

A

在△ABD中，/.BAD=75°,/-ADB=60°,AB=12V-6,

则B=180°—7°-60°=45°,

4BAD12<5x警

因为所以a。==24,

sinZ-ADBsinB

在△ACD中，Z.CAD=30°,AC=AD=24,

乙

贝=AC2+AD2-2AC•ADcosCAD=144,所以CD=12,

CD*2+AD2-AC2

则cosZ_C£M=1

2CD-AD2

故答案为：0.5.

在△ABD中，利用正弦定理求出4D,在△4CD中，先利用余弦定理求出CD,再利用余弦定理即可

得解.

本题主要考查解三角形，属于中档题.

16.【答案】迎守

【解析】解：因4B_L平面BCD,CDu平面BCD,即有48_LCD,而8cleD,ABCBC=B,

AB,BCu平面ABC,

贝iJCD1平面ABC,ACu平面ABC,CD1AC,因此NACB是二面角2—CD—8的平面角，即N4CB

60°,

则4B=2，有，而8。=2，至，有2。=2门，取4。中点。，连接。B,OC,如图，

由于△4CD,△4BD都是以2D为斜边的直角三角形，因此有OC=OB=。。=04=，石,

即四面体4BCD的外接球是以点。为球心，R=为半径的球，

所以四面体28CD的外接球体积是U=与R3=型分.

故答案为：迎产.

根据给定条件，求出棱4B长，再确定几何体的外接球球心，求出球半径即可计算作答.

解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球面性质求解.

17.【答案】解：(1)a//b^

•••6=0。或180°.

当。=0。时，a-b=|a||K|cosO°=8;

当。=180。时，n-b=|a||b|cosl80°=-8)

a-b=+8;

(2)a+3与d垂直，

(a+ft)-a=a2+a•/?=4+a-/?=0，

=

••CL,b-4,

cose=蚂=—\且0°<0<180°,

\a\\b\2

e=120°.

【解析】(1)根据力/3可得出。=0。或180。，然后即可得出R不的值；

(2)根据日+B与谨直即可得出亦3=-4,从而可求出cos”-今然后即可得出。的值.

本题考查了平行向量的定义，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，

考查了计算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为21+29+49=99<124,21+29+49+50=149>124,所以该区

家庭人口数的中位数为4；

--1

(2)该区家庭人口数平均数为：x=4(21xl+29x2+3x49+4x50+5x46+6x35+

Z4o

7x18)=4,

刻区家庭人口数的方差为：S2[21x(1—4)2+29X(2—4)2+…+18X(7—4)2]«2.8.

Z4o

【解析】(1)利用中位数的定义求解；

(2)利用方差的定义求解.

本题考查中位数和方差的定义，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由2as讥G—C)=2b+c,

得2sinAcosC=2sinB+sinC,

又4+B+C=7T,所以2s讥AcosC=2sin(A+C)+sinC,

所以2s讥Ceos/+sinC=0,

整理得sinC(2cosA+1)=0,

因为CE(0,7T),所以sinCA0,故C0Si4=-/,

又AE(0,71),所以a=

(2)因为△4BC的面积S=|besinA=1•be-sin^=

所以be=3,

所以小=62+c2-2bccosA=b2+c2+be>3bc,当且仅当b=c=时等号成立，

即标>9,a>3,

故a的最小值为3.

【解析】(1)由正弦定理，将2as讥6―C)=2b+c边化角，结合诱导公式，得到关于4的方程，

求出cos4的值，即可获解；

(2)利用面积公式、余弦定理，结合基本不等式求出be的最小值，即可求得a的最小值.

本题考查正余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)多面体ZBED/Ci不是棱柱.理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体2BEDB1Q只有1个

面是平行四边形，故不是棱柱.

11

(2)易知三棱柱4BC-的体积U=^XABXBCXAA1=^,

三棱锥4-4声道的体积匕=/x/：x28xBCx441=全，

易知三棱锥Ci-BCE的体积等于三棱锥A-&B1D的体积，

故多面体4BEDB1C]的体积匕=V-271=--2X-=1.

(3)证明：因为D,E分别是4G，AC的中点，所以/〃।।HR,

所以四边形BBiDE为平行四边形

所以BE〃B]D又BEC平面4B1D,u平面所以BE〃平面AB]。.

易知「/),4/1得四边形anCiE为平行四边形•

所以CiE〃a。，又GEC平面4B1。，2。u平面4%。，所以C1£7/平面2B1。

而BEnC]E=E,BE,C]Eu平面BC]E,

所以平面〃平面2%D

【解析】(1)根据棱柱的特征判断即可；

(2)利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；

(3)根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结

合条件即可证明.

本题主要考查棱柱的结构特征，考查面面平行的判定，属于中档题.

21.【答案】解：(1)样本空间。={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),

(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),(3,4,2),

(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2)},

样本点的总数是24；

(2)记“乙获胜”为事件4则4={(3,1,2),(3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),

(4,3,2)},共8个，