苏教版高数必修五第5讲：等差数列前n项和公式(教师版)

等差数列的前项和____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列前项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系教学难点：数列最值的求解及与函数的关系数列的前项和一般地，我们称为数列的前项和，用表示；记法：显然，当时，有所以与的关系为=1\*GB3① =2\*GB3②等差数列的前项和公式等差数列前项和公式性质等差数列中，依次项之和仍然是等差数列，即成等差数列，且公差为是等差数列等差数列中，若，则；若则若和均为等差数列，前项和分别是和，则有项数为的等差数列，有有偶-奇=，奇/偶=等差数列前项和公式与函数的关系等差数列前项和公式可以写成若令类型一：数列及等差数列的求和公式例1.已知数列的前项和求解析：当时，；当时，当时，上式成立所以答案：练习1.已知数列的前项和求答案：练习2：已知数列的前项和求答案：例2.已知等差数列的前项和为，求及解析：，整理得解得或（舍去）答案：练习3.已知等差数列的前项和为，，求答案：练习4.已知等差数列的前项和为，求答案：例3.在等差数列中，前项和为若求和公差若求满足的所有的值解析：（1）由等差数列前项和公式有（2）由所以即解得或答案：（1）（2）或练习5.设是等差数列的前项和，则___________答案：练习6.在等差数列中，则的前5项和______________答案：15类型二：等差数列前项和公式的性质例4.在等差数列中，若，求若共有项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前项和，求若求解析：（1）由等差数列的性质，知（2）由题意得，知由等差数列的性质知又，即因为数列是等差数列，所以成等差数列，首项为，设其公差为，则为该数列的前10项和，解得，又为该数列的前11项和，故答案：（1）（2）（3）练习7.（2014山东淄博一中期中）设是等差数列的前项和，若，则等于（）A.B.C.D.答案：C练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列的公差，则（）A.2014B.2013C.1007D.1006答案：C例5.已知等差数列和的前项和分别为和，且则=（）A.B.C.D.解析：当为奇数时，等差数列的前项和同理令得答案：C练习9.已知是等差数列，为其前项和，若则的值为______答案：110练习10.已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________答案：20类型三：等差数列前项和公式的最值及与函数的关系例6.已知数列的前项和为这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式求使得最小的值解析：（1）因为当时也适合上式，所以这个数列的通项公式为又因为所以是等差数列（2）因为是正整数，所以当或时最小，最小值为-112答案：（1）是；（2）当或时最小，最小值为-112练习11.已知等差数列的前项和为，为数列的前项和，求数列的通项公式答案：练习12.等差数列中，若，求=_____________答案：例7.已知等差数列中，求使该数列前项和取得最小值的的值解析：设等差数列的公差为，则由题意得即有最小值；又或时，取最小值答案：或时，取最小值练习13.已知等差数列中，则使前项和取得最小值的值为（）A.7B.8C.7或8D.6或7答案：C练习14.数列满足，则使得其前项和取得最大值的等于（）A.4B.5C.6D.7答案：B1.四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于()A．8B．16C．4D．0答案：A2.设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值．答案：C3.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18答案：B4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{eq\f(1,anan＋1)}的前100项和为()A.eq\f(100,101)B.eq\f(99,101)C.eq\f(99,100)D.eq\f(101,100)答案：A5.在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(9,10)B.eq\f(10,9)C．2D.eq\f(2,3)答案：A6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．5答案：D7.(2014·福建理，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38B．20C．10D．9答案：C2.数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于()A．160B．180C．200D．220答案：B3.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15答案：C4.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A．5B．4C．3D．2答案：C5.在等差数列{an}中，a1＞0，d＝eq\f(1,2)，an＝3，Sn＝eq\f(15,2)，则a1＝________，n＝________.答案：2，36.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.答案：257.设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为________．答案：－828.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．答案：89.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{eq\f(1,a2n－1a2n＋1)}的前n项和．答案：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0,5a1＋10d＝－5))，解得a1＝1，d＝－1.由{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n－1a2n＋1)＝eq\f(1,3－2n1－2n)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))，从而数列{eq\f(1,a2n－1a2n＋1)}的前n项和为eq\f(1,2)(eq\f(1,－1)－eq\f(1,1)＋eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))＝eq\f(n,1－2n).10.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n的值．答案：(1)设公差为d，则a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.(2)Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n2n＋22,2)＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，∴n＝11.能力提升11.在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．0B．4475C．8950D．10000答案：C12.等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是()A．a8B．a9C．a10D．a11答案：D13.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A．12B．16C．9D．16或9答案：C14.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为()A．24B．26C．27D．28答案：B15.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝(A．－6B．－4C．－2D．2答案：A16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)答案：A17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝()A．100B．101C．200D．201答案：A18.已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.答案：2719.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，则通项公式an＝________.答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7n＝1,2n－1n≥2))20.设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于()A．4B．5C．6D．7答案：A21.等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．答案：5或622.设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．答案：(1)依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S12＝12a1＋\f(12×11,2)d>0,S13＝13a1＋\f(13×12,2)d<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋11d>0，①,a1＋6d<0.②))由a3＝12，得a1＋2d＝12.③将③分别代入②①，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(24＋7d>0,3＋d<0))，解得－eq\f(24,7)<d<－3.(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．23.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N*，故k＝7为所求．24.在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.答案：(1)解法一：由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58,a4＋a9＝2a1＋11d＝50))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝4)).∴S10＝10a1＋eq\f(10×10－1,2)×d＝10×3＋eq\f(10×9,2)×4＝210.解法二：由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58,a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50)